《数值分析概要》课件

数值分析概要本课件旨在概述数值分析的基本概念、方法和应用，并介绍一些常用的数值分析软件工具数值分析的定义和应用场景定义应用场景数值分析是利用计算机来解决数学问题的学科它研究如何将连数值分析广泛应用于科学计算、工程设计、金融分析、数据挖掘续数学问题转化为离散问题，并利用计算机进行数值计算，从而、人工智能等领域，例如优化设计、预测分析、数据模拟等获得问题的近似解数值分析的发展历程117世纪牛顿、莱布尼茨等数学家奠定了微积分的基础，为数值分析的发展奠定了理论基础219世纪高斯、雅可比等数学家提出了数值分析的许多重要方法，如高斯消元法、雅可比迭代法等320世纪随着电子计算机的出现，数值分析得到了飞速发展，并应用于各个领域，促进了科学技术的进步数值分析的基本概念和数学基础基本概念数学基础误差、精度、收敛性、稳定性、数值分析需要以微积分、线性代迭代等概念是数值分析中的重要数、矩阵理论等数学知识为基础概念，理解这些概念是进行数值，这些知识是进行数值分析计算分析的基础和推导的基础误差分类及其产生原因舍入误差截断误差由于计算机采用有限位数表示实数，在使用近似公式或迭代算法时，由于导致在运算过程中产生的误差截断无限过程而产生的误差测量误差由于测量工具或方法的误差，导致数据本身存在误差误差分析的方法和应用误差分析1误差估计2误差控制3误差传播分析4误差分析方法5插值概念及其方法插值概念插值方法插值是指利用已知的离散数据点，构造一个函数来逼近原函数，常用的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值、三次样条插值使得该函数在已知数据点处与原函数的值相等等，每种方法都有其特点和适用范围插值算法的应用举例数据拟合图像处理利用插值方法可以对离散数据点进行拟合，得到一个连续的函在图像处理中，插值方法可以用来对图像进行缩放、旋转、平数，便于后续分析和应用移等操作，提高图像的质量和效果数值微分的基本理论12导数定义数值微分导数是函数变化率的度量，表示函数用差商来近似导数，是数值微分的基在某一点的切线斜率本思想数值微分方法及其特点向前差分1利用当前点和下一个点的函数值来近似导数向后差分2利用当前点和前一个点的函数值来近似导数中心差分3利用当前点前后两个点的函数值来近似导数，精度较高数值微分在实际中的应用温度变化率速度和加速度利用数值微分可以计算温度变化率，预测未来的温度变化趋势利用数值微分可以计算物体的速度和加速度，用于运动分析和控制数值积分概述积分定义数值积分积分是求曲边图形面积、体积等利用近似公式或迭代算法来计算问题的工具，是微积分的另一个定积分，是数值积分的基本思想重要概念常见的数值积分方法梯形公式辛普森公式将曲线下的面积近似为梯形的面积将曲线下的面积近似为抛物线的面积，精度较高数值积分方法的优缺点分析优点缺点12能够解决许多无法用解析方法精度有限，受步长和函数性质求解的积分问题的影响数值积分在工程中的应用面积计算利用数值积分可以计算不规则图形的面积，例如土地面积、建筑面积等体积计算利用数值积分可以计算不规则物体的体积，例如储罐体积、桥梁体积等力矩计算利用数值积分可以计算物体的力矩，用于结构力学分析和设计常微分方程数值解法概述常微分方程数值解法常微分方程是指未知函数和其导数之间的关系式，它是描述许多利用数值方法求解常微分方程的近似解，是数值分析的重要内容自然现象的数学模型欧拉法及其改进算法欧拉法改进算法利用当前点的函数值和导数值来预测下一个点的函数值，是一种包括改进欧拉法、后退欧拉法、中点法等，通过改进预测公式来简单但精度较低的算法提高精度龙格库塔法及其应用-龙格库塔法应用-一种精度较高的常微分方程数值解法，通过对导数进行多次广泛应用于科学计算、工程设计、金融分析等领域，例如求值来提高精度轨道计算、天气预报等离散边值问题数值解法有限差分法1将微分方程离散化为差分方程，利用差分方程求解近似解有限元法2将连续区域划分为有限个单元，将微分方程转化为单元上的代数方程，求解近似解偏微分方程数值解法简介12偏微分方程数值解法偏微分方程是指未知函数和其偏导数利用数值方法求解偏微分方程的近似之间的关系式，它是描述许多自然现解，是数值分析的重要内容象的数学模型有限差分法在偏微分中的应用偏微分方程1差分方程2线性方程组3数值解4有限差分法5有限元法在偏微分中的应用区域划分1将连续区域划分为有限个单元，例如三角形、四边形等单元方程2将偏微分方程转化为每个单元上的代数方程全局方程组3将所有单元方程组装成一个全局方程组，并求解近似解数值优化概述优化问题数值优化在满足一定约束条件下，寻找目标函数的最优解利用数值方法来求解优化问题，是数值分析的重要内容一维无约束优化方法梯度下降法牛顿法沿着目标函数的负梯度方向进行搜索，直到找到最优解利用目标函数的二阶导数信息来进行搜索，收敛速度较快多维无约束优化方法最速下降法沿着目标函数的负梯度方向进行搜索，收敛速度较慢共轭梯度法利用目标函数的共轭梯度信息来进行搜索，收敛速度更快有约束优化方法及其应用拉格朗日乘子法罚函数法将约束条件引入到目标函数中，将约束条件转化为罚函数，通过通过求解拉格朗日函数来找到最最小化罚函数来找到最优解优解数值分析软件工具介绍MATLAB Python功能强大、易于使用，广泛应用于数值分析、科学计算等领域免费开源，拥有丰富的科学计算库，例如、等NumPy SciPy数值分析在科学计算中的前景大数据分析人工智能12数值分析方法可以用于处理和数值优化、数值积分等方法可分析海量数据，提取有用信息以用于训练人工智能模型，提高模型的性能本课程重点及总结1误差分析、插值方法、数值微分、数值积分、常微分方程数值解法、偏微分方程数值解法、数值优化等内容2数值分析是解决科学计算问题的重要工具，掌握数值分析方法能够有效地提高科学计算的效率和精度答疑环节欢迎大家积极提问，我们将尽力解答您的疑问。