《数值方法原理》课件

《数值方法原理》本课程将介绍数值方法的基本原理、常见算法和应用实例，帮助学生掌握数值计算的理论基础和实践技能课程目标与安排目标安排

1.掌握数值方法的基本理论和算法

1.数值方法概述

2.了解数值方法在科学与工程领域的应用

2.误差分析

3.培养数值计算的实践能力

3.插值与拟合

4.数值积分数值方法概述定义应用数值方法是指用数值计算来求解数值方法广泛应用于科学、工程数学问题的技术它利用计算机、金融、生物学等多个领域它进行计算，并以近似解的方式得为解决现实生活中遇到的复杂问到问题的结果题提供了有效工具优势数值方法能处理许多无法用解析方法求解的数学问题，并提供精确的近似解误差分析舍入误差截断误差计算机存储和运算时产生的误差，主用近似公式代替精确公式产生的误差要由于有限位数的存储精度导致，主要由于近似公式本身的精度限制稳定性分析考察算法在误差传播过程中的稳定性，避免误差的累积和放大插值与拟合12插值拟合根据已知数据点，找到一条曲线，使其通过所有数据点根据已知数据点，找到一条曲线，使其最接近所有数据点数值积分牛顿科特斯公式-利用等距节点的函数值来近似计算积分复化求积公式将积分区间分成若干个子区间，对每个子区间分别用牛顿-科特斯公式计算高斯求积公式利用非等距节点的函数值来提高积分的精度常微分方程数值解欧拉方法最简单的显式一阶方法，使用前一个时刻的值来预测下一个时刻的值1龙格库塔方法-2更高阶的显式方法，使用多个中间点来提高精度隐式方法3使用下一个时刻的值来计算下一个时刻的值，需要求解方程组偏微分方程数值解差分法1将偏导数用差商代替，将偏微分方程转化为差分方程组有限元法2将解域划分为若干个有限元，将偏微分方程转化为代数方程组有限体积法3将解域划分为若干个控制体积，将偏微分方程转化为积分方程求根问题12二分法牛顿法将区间不断二分，缩小包含根的区间利用函数的导数来迭代逼近根3割线法利用函数的两个点的割线来迭代逼近根线性代数问题矩阵运算线性方程组求解特征值问题包括矩阵加减、矩阵乘法、矩阵求逆等高斯消元法、LU分解法、乔莱斯基分解法求解矩阵的特征值和特征向量等特征值问题幂法分解法QR通过迭代计算矩阵的幂来逼近最大特征值将矩阵分解为正交矩阵Q和上三角矩阵R，迭代计算特征值优化算法差分方法中心差分向前差分向后差分利用相邻节点的函数值来近似计算导利用当前节点和下一个节点的函数值利用当前节点和前一个节点的函数值数来近似计算导数来近似计算导数有限元方法网格生成1将解域划分为若干个有限元插值函数2在每个有限元上定义插值函数，将未知函数近似表示方程求解3将偏微分方程转化为代数方程组，并用数值方法求解有限体积法控制体积将解域划分为若干个控制体积通量计算计算每个控制体积边界上的通量方程求解将偏微分方程转化为积分方程，并用数值方法求解蒙特卡洛方法12随机抽样统计估计从一个概率分布中随机抽取样本利用样本的统计量来估计问题的解样条函数三次样条函数贝塞尔曲线由三次多项式组成的函数，能满足平滑性和连续性条件由控制点定义的曲线，在计算机图形学中应用广泛傅里叶分析傅里叶级数傅里叶变换将周期信号分解成不同频率的正弦波的叠加将非周期信号分解成不同频率的正弦波的叠加小波分析小波函数小波变换具有有限能量和非周期性的函数利用小波函数将信号分解成不同，能有效地分析信号的局部特征尺度和位置的信号神经网络神经元模型1模拟生物神经元的结构和功能网络结构2由多个神经元连接而成，形成多层网络训练算法3利用样本数据对网络参数进行调整，提高网络的预测能力模糊系统模糊集用隶属度函数来描述事物的不确定性模糊规则用模糊语言表达事物之间的关系推理机制根据模糊规则进行推理，得到模糊结论仿真编程实践MATLAB Python强大的数值计算软件，提供丰富的函数库和图形工具通用的编程语言，拥有丰富的科学计算库和机器学习库应用MATLAB/PythonMATLAB Python

1.求解线性方程组

1.实现机器学习算法

2.进行插值与拟合

2.进行数据分析和可视化

3.计算数值积分

3.开发数值计算应用现代数值方法进展高性能计算并行计算利用超级计算机来加速数值计算将计算任务分解成多个子任务，并行执行以提高效率云计算利用云平台提供计算资源，降低计算成本实际工程应用案例天气预报金融市场利用数值方法模拟大气运动，预测天利用数值方法进行风险评估和投资决气变化策医学影像利用数值方法对医学影像进行处理和分析数值方法的挑战与发展123复杂性精度人工智能随着问题的复杂性增加，数值方法的追求更高的精度，需要开发更精确的人工智能技术与数值方法结合，将为求解难度也随之增加算法和更高性能的计算平台数值计算带来新的发展方向本课程小结基本原理1掌握数值方法的基本理论和概念算法应用2学习常见算法的应用场景和实现方法实践能力3培养利用数值方法解决实际问题的实践能力思考与讨论数值方法的局限性1数值方法的精度和稳定性并非绝对的，受多种因素影响数值方法的未来2人工智能、量子计算等新技术的应用将推动数值方法的发展参考文献12数值分析数值方法原理[姓名][姓名]3数值计算MATLAB[姓名]。