托勒密定理 [4托勒密定理与西姆松定理]

托勒密定理托勒密定理与西姆松定理托勒密定理与西姆松定理

[4]托勒密（）定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积（两对角线所包矩形的§4面积）等于两组对边乘积之和（一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面ptolemy积之和）即定理在四边形中，有.证在四边形内取点，使，则和相abcd ab cd ad bc ac bd似又abcd ebae cadabe acdabe acdabbeab cd ac beaccd且和相似abaebac eadabc aed acadbced adbc aced（）acad且等号当且仅当在上时成立，即当且仅当、、、四点共圆时成立；并且当ab cd adbc acbeed abcd adbc acbd且仅当四边形内接于圆时，等式成立；e bda bc d

一、直接应用托勒密定理abcd例、如图，是正外接圆的劣弧上任一点（不与、重合），求证＋12p△abc bc pa=pb分析此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为繁冗若借助托勒密pc.定理论证，则有＋，.

二、完善图形借助托勒密定理pa·bc=pb·ac pc·ab∵ab=bc=ac.∴pa=pb+pc.例、证明勾股定理在中，，求证＋证明如图，作以的斜边为一对角线的矩形，显然是圆内接四边形由托勒密定2“”rt△abc∠b=90°ac2=ab2bc2理有rt△abc ac abcd abcd.＋又是矩形，，，把代人，得＋ac·bd=ab·cd ad·bc.

①例、如图，在中，的平分线交外接圆于，连结，求证（＋∵abcd∴ab=cd ad=bc ac=bd.

②②①ac2=ab2bc

2.）证明连结，依托勒密定理有3△abc∠a dbd ad·bc=bd abac.cd＝＋，ad·bc ab·cd ac·bd.故＋（＋）

三、构造图形借助托勒密定理∵∠1=∠2∴bd=cd.例若、、、是实数，且＋，＋求证＋ad·bc=ab·bd ac·bd=bd ab ac.证明如图作直径的圆，在两边任作和，使＝，，4a bx ya2b2=1x2y2=

1.ax by≤

1.＝，ab=1ab rt△acb rt△adb aca bc=bbd x＝ad由勾股定理知、、、是满足题设条件的据托勒密定理有y.＋＝，＋

四、巧变原式妙构图形，借助托勒密定a bx y.理ac·bd bc·ad=ab·cd.∵cd≤ab1∴ax by≤

1.例、已知、、是的三边，且（＋），求证分析将（＋）变形为＋，从而联想到托勒密定理，进而构造一个等5a bc△abc a2=b bc∠a=2∠b.腰梯形，使两腰为，两对角线为，一底边为a2=b bca·a=b·b bc证明如图，作的外接圆，以为圆心，为半径作弧交圆于，连结、、bac.，△abc a bc dbd dc又（对同弧），∴∠abd=∠bac.da.∵ad=bc acd bdc依托勒密定理有∵∠bda=∠acb∴∠1=∠

2.＋而已知（＋），即＋bc·ad=ab·cdbd·ac.

①a2=b bca·a=b·cb

2.

②

五、巧变形妙引线借肋托勒密定理∴∠bac=2∠abc.例、在中，已知，分析将结论变形为＋，把三角形和圆联系起来，可联想到托勒密6△abc∠a∶∠b∶∠c=1∶2∶4定理，进而构造圆内接四边形ac·bc ab·bc=ab·ac如图，作的外接圆，作弦，连结、在圆内接四边形中，由托勒.密定理有＋△abc bd=bc ad cd.adbc易证，，＋，ac·bd bc·ad=ab·cd练习已知中，求证【分析】ab=adcd=ac∴ac·bc bc·ab=ab·ac

1.△abc∠b=2∠c ac=ab+ab·bc过作的平行线交的外接圆于，连结则，由托勒密定理，a bc△abc dbd cd=da=ab ac=bd练习由外接圆的弧上一点分别向边、与作垂线、和ac·bd=ad·bc+cd·ab，

2.abc bcp bcac abpk plpn22bcacab证连接、、，对于四边形利用托勒密定理有pkplpmpa pbpc abpcbc apac bpab cpbcacabap pk bp plcp pm由可知和相似pkplpmkbp laprt kbprt lappkpbap pkbp pl同理可得plpabp plcp pm可得bcacabap pkbp plcp pmpkplpm由bcacab从外接圆上任意一点向、、或它们的延长线引垂线，西姆松pkplpm（）定理（西姆松线）abc pbc ca ab垂足分别为、、，则、、三点共线simson证明连接、，显然，只需证明即可；、d e f d e f.、、四点共圆，同理可得de dfbdf edcbdp bfp90b又且f pd bdfbpf edcepc、、三点共线bfp pec90注pce180pca pbabpf epcbdf edc d e f直线叫做的关于点的西姆松线；西姆松定理的逆定理也成立，即1def abc p2从一点向的三边（或它们的延长线）引垂线，若其垂足、、在同一直线上，则在的外接圆上；p abcd e f西姆松定理还可推广为p abc从外接圆上任意一点引与、、分别成同向的等角直线、、，它3们与三边交点分别为、、，则、、三点共线abcpbc ca ab pdpe pf例、设的三条垂线、、的垂足分别为、、；从点作d ef d ef、、、的垂线，其垂足分别为、、、，求证、、、在同一直线上；7abc ad be cf defd证明设的垂心为，则、、、四点共圆由西姆松定理有、、三点共ab becf acp q r sp q r s线又、、、四点共圆abc oo ecdqrs且由西姆松定理有、、三点共线、、、四点共圆o fb d例、四边形是圆内接四边形，且是直角，若从作直线、的垂线，p qr p qrs垂足8abcd db ac ad分别为、，则直线平分线段证明作，由西姆松定理有、、共线，又ef ef bd四边形为矩形bg dcfeg bfdfdg dgb90对角线平分另一条对角线bfdg例、求证四条直线两两相交所构成的四个三角形的外接圆相交于一点，且由该点fg bd向四条直线所作垂线的垂足在一条直线上；证明如图，设四条直线、、、9中，交于点，ab bc cdad交于点，圆与圆的另一个交点为abcdebc adf bcecdf，即圆过点同理圆也过点圆、圆、圆g bgfbgc cgfbec cda、圆交于同一点bgf a180abf gaed gbce cdfabfaed若点向、、、所作垂线的垂足分别为、、、、，由西姆松定理可知g、、在一条直线上，g abbccdda el m n p、、在一条直线上，故、、、在同一条直线上l m n例、设的外接圆的任意直径为，则关于、的西姆松线是互相垂直的m np lmnp提示由、向作垂线并延长交外接圆于点、，先证、分别与点、10abc pqp qp q bcpqpa qapq的西姆松线平行，再证是矩形，则作业设是的边上的中线，直线交于求证pp paqa过的重心的直线分别交、于、，交于求证

1.ad△abc bccf adf

2.△abc gab acefcb d、、分别在的、、边上，，、、交成求

3.def△abc bccaab以各边为底边向外作相似的等腰、、求证、、相交adbecf△lmn s△lmn于一点

4.△abc△bce△caf△abg aebf cg已知正七边形求证

5.a1a2a3a4a5a6a7的边上的高的延长线交外接圆于，作于，延长交延长线于求证

6.△abc bcad ppe⊥ab eedac正六边形的对角线、分别被内分点、分成的比为f bc·ef=bf·ce+be·cf，且、、共线求（）

7.abcdef acce mn amac=cn为内一点，分别以、、表示到、、的距离，以、、表ce=kbmnk23-imo-5示到、、的距离求证（）（）（）

8.o△abc dadb dco bccaabra rbrc（）o abc1a·ra≥b·db+c·dc;2a·ra≥c·db+b·dc;3ra+rb+rc≥2中，、、分别为垂心、重心、外心求证、、三点共线，且da+db+dc（欧拉线）

9.△abc h g ohgo hg=2go和与的三边所在直线都相切，、、、为切点，、的延长线交于求证

10.⊙o1⊙o2Δabc ef gh egfh如图，在四边形中，对角线平分在上取一点，与相交p pa⊥bc于，延长交于

11.abcd ac∠bad cde beac求证f dfbc g分析截（梅氏定理）评注也可以添加辅助线证明过、、之一作∠gac=∠eac的平行线

1.cef△abd→abd cf分析连结并延长交于，则为的中点截（梅氏定理）截（梅氏定理）

2.ag bcm mbc deg△abm→dgf△acm→∴==评注梅氏定理梅氏定理塞瓦定理=1评注托勒密定理

3.

4.评注西姆松定理（西姆松线）评注面积法

5.评注面积法

6.

7.评注同一法

8.评注同一法

9.证明连结交于对用塞瓦定理，可得

10.因为是的角平分线，由角平分线定理，可得，故

11.bd ach△bcd过作的平行线交的延长线于，过作的平行线交的延长线于则ah∠bad，c abag icadae j所以，从而又因为，，故因此，，从而ci=cj，即ci//ab cj//ad∠aci=π-∠bac=π-∠dac=∠acj△aci≌△acj∠iac=∠jac∠gac=∠eac。