《离散数学基础》课件

《离散数学基础》课程介绍本课程将深入浅出地讲解离散数学的基础理论和应用，为同学们学习计算机科学、人工智能等相关专业打下坚实基础集合论基础集合的概念集合的运算集合是数学中的一个基本概念，用于描述对象的集合集合可以集合运算包括交集、并集、差集、补集等，这些运算用于描述集包含任何类型的对象，例如数字、字母、符号、甚至其他集合合之间关系，例如两个集合的共同元素，或一个集合中包含所有元素但另一个集合中不包含的元素集合的定义与运算集合的定义集合的运算12集合由若干个元素组成，这些集合运算包括交集、并集、差元素可以是任何类型，例如数集、补集等，用于描述集合之字、字母、符号、甚至是其他间关系，例如两个集合的共同集合元素，或一个集合中包含所有元素但另一个集合中不包含的元素集合的性质3集合运算具有某些性质，例如交换律、结合律、分配律等，这些性质可以简化集合运算离散函数与关系离散函数离散关系离散函数是定义域和值域都为离散集合的函数，例如将自然数映离散关系是指在离散集合上的关系，例如小于、等于、大于等关射到自然数的函数系等价关系与划分等价关系划分等价关系是满足自反性、对称性划分是指将一个集合分成若干个和传递性的关系，例如“等于”关非空子集，且这些子集互不相交系，所有子集的并集等于原集合等价关系与划分的关系等价关系可以将一个集合划分成若干个等价类，每个等价类对应一个划分中的一个子集偏序关系与格偏序关系格偏序关系是满足自反性、反对称性和格是具有特定运算和性质的偏序集，传递性的关系，例如“小于等于”关系例如“最小公倍数”和“最大公约数”运算布尔代数1布尔代数是一种代数系统，用于研究逻辑运算2布尔代数的基本运算包括与、或、非运算，这些运算用于组合逻辑表达式3布尔代数在计算机科学中有着广泛的应用，例如逻辑电路设计、数据库管理等组合计数基础加法原理如果一个事件可以分成若干个互斥的事件，则事件发生的总方法数等于每个事件发生的事件发生的总方法数的和乘法原理如果一个事件需要依次完成若干个步骤，则事件发生的总方法数等于每个步骤发生的事件发生的总方法数的积排列与组合排列是指从n个不同元素中选取r个元素进行排列，组合是指从n个不同元素中选取r个元素进行组合，不考虑元素的顺序排列与组合排列1n个不同元素中选取r个元素进行排列，总方法数为nPr=n!/n-r!组合2n个不同元素中选取r个元素进行组合，总方法数为nCr=n!/r!*n-r!应用3排列和组合在概率论、统计学、密码学等领域有着广泛的应用离散概率论基础样本空间1样本空间是所有可能结果的集合事件2事件是样本空间的子集概率3概率是指事件发生的可能性大小，它是一个介于0和1之间的数字概率计算4概率计算包括计算事件的概率、条件概率、独立事件的概率等随机变量与概率分布12随机变量概率分布随机变量是将样本空间的每个结果映射到一个数值的函数概率分布描述随机变量取值的概率34期望方差期望是随机变量的平均值方差是随机变量取值与其期望值的偏差的平方离散随机过程马尔可夫链泊松过程马尔可夫链是一种特殊的离散随机过程，其未来的状态只与当前泊松过程是一种特殊的离散随机过程，它描述在一段时间内发生状态有关，与过去的状态无关的事件数量，例如电话呼叫的次数图论基础概念图的定义图的类型图是由顶点和边组成的结构，其中顶点表示对象，边表示对象之图的类型包括无向图、有向图、加权图等，不同的图类型对应不间的关系同的关系图的遍历与连通性深度优先搜索广度优先搜索深度优先搜索算法沿着一条路广度优先搜索算法从一个顶点径一直搜索到尽头，然后回溯开始，先访问其所有邻接节点到上一个节点，继续搜索其他，然后依次访问这些邻接节点路径的邻接节点，直到访问完所有可达的节点连通性连通性是指图中所有节点之间是否相互连通，如果所有节点之间都相互连通，则图是连通的最短路径问题1迪杰斯特拉算法是一种求解单源最短路径问题的算法，它可以找到从一个源点到图中所有其他节点的最短路径2贝尔曼-福德算法是一种求解单源最短路径问题的算法，它可以处理负权边的情况3弗洛伊德算法是一种求解所有节点对之间最短路径问题的算法，它可以处理负权边的情况网络流模型及应用最大流问题最大流问题是指在网络中寻找从源点到汇点的最大流量最小割问题最小割问题是指在网络中寻找将源点和汇点分离的最小容量的割集应用网络流模型在交通运输、资源分配、通信网络等领域有着广泛的应用生成树与最小生成树生成树最小生成树生成树是连通图的子图，它包含最小生成树是指所有生成树中权所有顶点，且不包含任何回路值之和最小的生成树普里姆算法克鲁斯卡尔算法普里姆算法是一种求解最小生成克鲁斯卡尔算法是一种求解最小树问题的算法，它从一个顶点开生成树问题的算法，它按照边权始，逐步加入与当前树最近的边从小到大排序，依次加入边，直到所有顶点都被连接图的染色与着色问题图的染色着色问题图的染色是指将图的每个顶点分配一个颜色，使得相邻的顶点颜着色问题是指寻找图的最小染色数，即使用最少的颜色来完成图色不同的染色匹配理论基础1匹配是指在图中找到一些边，使得这些边所连接的顶点互不相同2二分图匹配是指在二分图中寻找匹配，使得一个集合中的每个顶点都与另一个集合中的一个顶点匹配3匈牙利算法是一种求解二分图最大匹配问题的算法，它可以找到一个集合中尽可能多的顶点与另一个集合中的顶点匹配图论中的优化问题旅行商问题背包问题旅行商问题是指寻找一条最短路径，使得这条路径经过所有城市背包问题是指在有限的容量下，选择一些物品放入背包，使得总一次且仅一次价值最大算法分析基础算法效率复杂度分析算法效率是指算法执行所需的计算时间和空间资源复杂度分析是对算法效率的评估，包括时间复杂度和空间复杂度递归算法设计递归的概念递归的步骤应用123递归是指函数调用自身，直到满足递归算法的设计包括定义基本情况递归算法在许多问题中都有应用，一个基本情况、递归步骤、函数调用例如斐波那契数列、阶乘计算、汉诺塔问题等分治算法设计分治的概念分治的步骤分治是指将一个问题分解成若干分治算法的设计包括分解问题、个子问题，解决子问题，然后合解决子问题、合并解并子问题的解得到原问题的解应用分治算法在许多问题中都有应用，例如归并排序、快速排序、二分查找等贪心算法设计贪心策略应用贪心策略是指在每一步选择局部最优贪心算法在许多问题中都有应用，例解，希望最终得到全局最优解如活动选择问题、哈夫曼编码、最小生成树问题等动态规划算法设计1动态规划是指将一个问题分解成若干个子问题，并存储子问题的解，避免重复计算2动态规划算法的设计包括定义状态、状态转移方程、边界条件、求解最优解3动态规划算法在许多问题中都有应用，例如最长公共子序列问题、背包问题、矩阵链乘问题等回溯算法设计回溯的概念回溯是指在搜索过程中，当发现当前路径无法找到解时，回退到上一个节点，继续搜索其他路径回溯的步骤回溯算法的设计包括定义搜索空间、定义约束条件、定义目标函数、进行回溯搜索应用回溯算法在许多问题中都有应用，例如八皇后问题、迷宫问题、旅行商问题等算法复杂度分析时间复杂度空间复杂度时间复杂度是指算法执行所需的计算时间，通常用大O符号表示空间复杂度是指算法执行所需的存储空间，通常用大O符号表示、问题与完全性P NPNPP问题NP问题P问题是指可以在多项式时间内NP问题是指可以在多项式时间解决的问题内验证解的问题NP完全性NP完全问题是指最难的NP问题，如果能找到一个NP完全问题的多项式时间解法，则所有NP问题都可以用多项式时间解决完全问题的近似算法NP近似算法近似率近似算法是指对于NP完全问题，近似率是指近似解与最优解之间寻找一个近似解，而不是精确解的差距应用近似算法在许多问题中都有应用，例如旅行商问题、背包问题、图着色问题等算法的并行计算并行计算优势并行计算是指使用多个处理器或计算并行计算可以提高算法的执行效率，机同时执行计算任务尤其适用于处理大规模数据课程总结与展望本课程学习了离散数学的基础理论和应用，包括集合论、图论、算法设计等内容，为同学们学习计算机科学、人工智能等相关专业打下坚实基础。