正弦定理的多种证法

正弦定理的多种证法在中，角、、的对边分别为、、，则，这就是正弦定理⊿abc a b ca b c abc在这个定理的证明过程中蕴涵着丰富的几何意义为了简单，仅以锐角三角形为例作sinasinbsinc.简要说明直角三角形的情形非常简单，钝角三角形的情形与锐角三角形类似.、三角形高法..，是的边上的高；，是的边上的高；，1是的边上的高根据这个几何意义，定理证明如下作锐角三角形asinb bsina⊿abc casinc csina⊿abc b bsinc的高，则，同理csinb⊿abc a.abc因此所以cd cd=asinb bsina.bcab.sinbsincsinasinb、三角形外接圆法abc.sinasinbsinc是的外接圆直径根据这个几何意义，定理证明如下，，2作锐角三角形的外接圆直径，连结根据同弧所对的圆周角相等及直径所abc⊿abc.sinasinbsinc对的圆周角是直角得，，，（为的外接圆半径），abc cddb.所以∠a=∠d∠dbc=90°cd2r r⊿abc.cbaa同理，2r.cd2rsina因此所以bc2r2r.sinbsinc、三角形面积法abc2r.sinasinbsinc sinasind，，是三角形的面积根据这个几何意义，定理证明如3下111absinc bcsina acsinb abc.22作锐角三角形的高，则所以三角形的面积2abc cdcd=asinb.abc同理，，所以，11ab cdacsinb.22同除以，再取倒数有11111s absincs bcsina bcsina acsinb absinc

22222、向量的数量积法abc1abc.sinasinbsinc2s），（）则在锐角三角形中，作高，则4（），（）分b bcosa.abc cd2别是向量，与向量的数量积利用这个几何2acdcos bbcdcos a意义，定理证明如下cb ca cd.22作锐角三角形的高把，变形为（因为abc cd.asinb bsina acos，所以（），所以，ab=cb ca0=ab cd=cb cacd所以（）（），cb cdcacd即所以acdcos bbcdcos a22同理asinb bsina.因此ab.sinasinbbc.sinbsinc５、如果想避开分类讨论，可以把三角形放在平面直角坐标系中，利用坐标法abc.sinasinbsinc证明如下.以为原点，以射线为轴的正半轴建立平面直角坐标系，且使点落在轴的上方，则边上的高即为点的纵坐标根据三角函数的定义，点的纵坐标c cax bxac b.b所以三角形的面积同理，h asinc.abc sbh absinc.s acsinbs bcsina.12121同除以，再取倒数有所以，212这种证法之所以避开分类讨论，是因为利用了一般三角函数的定义，前面的四种几abc1abc.sinasinbsinc2bcsina acsinbabsinc何证法都需要分类讨论，因为它们的证明中仅仅利用了锐角三角函数的定义这个方法是证明正弦定理最简单的方法，体现了坐标法的优越性..第二篇正弦定理、余弦定理和射影定理的三种统一证法正弦定理、余弦定理和射影1212定理的三种统一证法近年来，许多数学刊物都载文证明正弦定理、余弦定理与射影定理的等价性，阐明它们是可以相互推出的，但在探讨它们三者的统一证明方面的文章较少下面分别通过构造向量、建立直角坐标系和作三角形的高，巧妙给出统一证明正弦定理、余弦定理和射影定理的三种方法，这又从另一个侧面说明了它们的统一性方法

一、构造向量法如图，在中，、、分别是三个内角、、所对的边构造向量、、，则，，1△abc a b cab c abbcac|ab|=c|ac|=b|bc|=a方法

二、建立直角坐标系法方法

三、作高法如图，在中，、、分别是三个内角、、所对的边过点作，垂足为点3△abc abcabc c cd⊥ab第三篇正弦定理的证明正弦定理的证明用余弦定理d（）a^2+b^2-2abcosc=c^2cosc=a^2+b^2-c^2/2ab（）sinc^2=1-cosc^2sinc^2/c^2=4a^2*b^2-a^2+b^2-c^2^2/4a^2*b^2*c^2同理可推倒得=/4a^2*b^2*c^2得证sina^2/a^2=sinb^2/b^2=sinc^2/c^2正弦定理三角形中证明如下在三角形的外接圆里证明会比较方便abc bc/sina=ac/sinb=ab/sinc例如，用边和经过的直径，构成的直角三角形可以得到（为三角形外接圆半径）bc b bd dbc角角2rsind=bc r得到a=d同理，2rsina=bc这样就得到正弦定理了2rsinb=ac2rsinc=ab一种是用三角证2用面积证asinb=bsina用几何法，画三角形的外接圆听说能用向量证，咋么证呢三角形为锐角三角形时，过作单位向量垂直于向量，则与向量夹角为，与向量夹角为（），与向量夹角为（），设，，，abc aj ab j ab因为90j bc90-bjca90+a ab=c bc=a ac=b即ab+bc+ca=0（）（）j*ab+j*bc+j*ca=0所以|j||ab|cos90+|j||bc|cos90-b+|j||ca|cos90+a=0asinb=bsina用余弦定理3（）a^2+b^2-2abcosc=c^2cosc=a^2+b^2-c^2/2ab（）sinc^2=1-cosc^2sinc^2/c^2=4a^2*b^2-a^2+b^2-c^2^2/4a^2*b^2*c^2同理可推倒得=/4a^2*b^2*c^2得证用余弦定理（）sina^2/a^2=sinb^2/b^2=sinc^2/c^2（）同a^2+b^2-2abcosc=c^2cosc=a^2+b^2-c^2/2absinc^2=1-理可推倒得得证cosc^2sinc^2/c^2=4a^2*b^2-a^2+b^2-c^2^2/4a^2*b^2*c^2=/4a^2*b^2*c^2sina^2/a^2=sinb^2/b^2=sinc^2/c^2满意答案好评率4正弦定理100%步骤在锐角中，设，，作垂足为点

1.△abc bc=aac=bab=c ch⊥ab hch=a·sinbch=b·sina得到∴a·sinb=b·sina同理，在中，a/sina=b/sinb步骤△abc b/sinb=c/sinc证明

2.a/sina=b/sinb=c/sinc=2r如图，任意三角形，作的外接圆作直径交于abc abco.连接bd⊙o d.因为直径所对的圆周角是直角，所以度da.因为同弧所对的圆周角相等，所以等于∠dab=90所以类似可证其余两个等式∠d∠c.余弦定理c/sinc=c/sind=bd=2r平面向量证法如图，有（平行四边形定则两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）（）（）∵a+b=c（）∴c·c=a+b·a+b（以上粗体字符表示向量）∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|cosπ-θ又（）（注意这里用到了三角函数公式）∵cosπ-θ=-cosc再拆开，得∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|cosθ同理可证其他，而下面的（）就是将移到左边表示一c^2=a^2+b^2-2*a*b*cosc下cosc=c^2-b^2-a^2/2ab cosc平面几何证法在任意中做△abc所对的边为，所对的边为，所对的边为ad⊥bc.则有，，∠cc∠bb∠aa根据勾股定理可得bd=cosb*c ad=sinb*c dc=bc-bd=a-cosb*c（）（）ac^2=ad^2+dc^2b^2=sinb*c^2+a-cosb*c^2（）b^2=sinb²·c²+a^2+cosb²·c^2-2ac*cosbb^2=sinb^2+cosb^2*c^2-2ac*cosb+a^2（）b^2=c^2+a^2-2ac*cosb第四篇正弦定理的背景正弦定理的背景cosb=c^2+a^2-b^2/2ac在中，、、为角、、的对边，为的外接圆半径，则有称此定理为正弦定理△abc abcabc r△abc正弦定理是由伊朗著名的天文学家阿布尔威发﹝﹞首先发现与证明的中亚细亚人阿尔比鲁尼﹝﹞给三角形的正弦定理作出了一个证明也有说正─940-998弦定理的证明是世纪的阿塞拜疆人纳速拉丁在系统整理前人成就的基础上得出973-1048的13用心爱心专心第五篇正弦定理的证明正弦定理的证明1（方法一）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况当是锐角三角形时，设边上的高是，根据任意角三角函数的定义，有，则abcab cdcd=asinb bsinaa同理可得sin b从而sinasinacsinc bsinbb思考是否可以用其它方法证明这一等式由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量sinbcsinc来研究这个问题（方法二）利用向量证明如图，在中，过点作一个单位向量，使当为钝角或直角时，同理可证上述结论abc aj jac从上面的研探过程，可得以下定理bac正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asin bsinc理解定理sin[]（）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正-1-数，即存在正数1使，，；k（）a ksinab ksinbc ksinc下面还介绍几种证明的方法，供感兴趣同学探索2（方法三）利用复数证明如图，如图，建立平面直角坐标系在复平面内，过点作的平行线，过点作的平行线，交于点

2.a bcc等价于，，ab d.根据复数相等的定义，实部等于实部，虚部等于虚部可以得出asina bsinb csinc asinabsinbcsincbsinb asinacsinc（方法四）利用的外接圆证明Ⅰ.如图，是的外接圆，设半径为，分abc别连结、、，过点作，垂足为o abcroa oboc ood bc证明d（方法五）利用的外接圆证明Ⅱ是的外接圆，如图，设半径为，连结并延长，交于点，连结abc证明o abcr boo dad（方法六）利用的高线证明如图，在中，过点作，垂足为证明abc abc bbd ac d（方法七）利用两角和的正弦公式证明如图，在中，过点作，垂足为此题还能这样入手abcbbdacd以下过程同上。