导数的应用：求解极值问题（高等数学课件）

导数的应用求解极值问题本课件将探讨导数在求解极值问题中的应用，并通过案例分析、实际问题建模以及典型习题演练，帮助您深入理解导数的强大功能导数的概念回顾定义符号导数是函数变化率的度量，表示函数在某一点处的瞬时变化速度导数通常用fx或df/dx表示，其中fx表示函数，x表示自变它反映了函数值随自变量变化而变化的快慢程度量导数的几何意义切线斜率变化率导数在某一点处的数值等于函数曲线在该点处的切线斜率导数表示函数在某一点处的变化率，即函数值随自变量变化而变化的快慢程度导数的求解方法求导法则求导公式符号运算123常见的求导法则包括加减法、乘对于常见的函数，例如幂函数、指可以使用数学软件或在线工具进行法、除法、链式法则等数函数、对数函数等，都有对应的符号运算，自动求解导数求导公式函数的单调性与极值单调性极值函数的单调性是指函数值随自变量变化而变化的趋势，可以分为极值是指函数在某个区间内取得的最大值或最小值，也称为局部单调递增和单调递减两种极值利用导数确定函数的单调性导数的符号临界点12如果导数大于零，则函数在该导数为零或不存在的点称为临区间内单调递增；如果导数小界点，临界点可能对应函数的于零，则函数在该区间内单调极值点递减利用导数求解函数的极值求导数求临界点12先求出函数的一阶导数，即导找到导数函数的根和导数函数数函数不存在的点，即临界点判断极值3使用一阶导数检验法或二阶导数检验法判断临界点是否为极值点极值的定义最大值最小值如果函数在某个点取得最大值，且该点附近的所有函数值都小于如果函数在某个点取得最小值，且该点附近的所有函数值都大于该最大值，则该点称为函数的极大值点该最小值，则该点称为函数的极小值点求解极值的一般步骤确定函数的定义域求导数12首先要确定函数的定义域，因求出函数的一阶导数，即导数为极值点只能在定义域内出现函数求临界点判断极值34找到导数函数的根和导数函数使用一阶导数检验法或二阶导不存在的点，即临界点数检验法判断临界点是否为极值点，并确定是极大值还是极小值案例分析一求函数的最大值和最小值问题步骤求函数在区间上的最大值和最小求导数求临界点，解得fx=x^3-3x^2+2[-1,2]

1.fx=3x^2-6x

2.fx=0x值=0,x=

23.判断极值fx=6x-6，f0=-60，，因此为极大值点，为极小值点f2=60x=0x=2案例分析二求几何图形的最大面积问题步骤已知矩形的周长为，求其最大面积设矩形的长为，宽为，则，即20cm

1.x y2x+2y=20x+y=

102.求面积求导数S=xy=x10-x=10x-x^

23.S=10求临界点，解得判断极值-2x

4.S=0x=

55.S=-，因此为极大值点，此时面积最大20x=5案例分析三求几何图形的最小周长问题步骤已知圆形的面积为平方厘米，求其最小周长设圆的半径为，则，解得求周长

101.rπr^2=10r=√10/π

2.化简由于周长C=2πr=2π√10/π

3.C=2√10π

4.只与有关，且固定，因此周长最小值即为r r2√10π极值问题的应用背景生产管理工程设计经济决策例如，如何确定最优的生产规模，以最例如，如何设计最优的结构，以最大化例如，如何选择最优的投资方案，以最大化利润或最小化成本承载能力或最小化材料消耗大化投资回报或最小化风险最优化问题的数学模型目标函数约束条件12需要最大化或最小化的目标量对决策变量的限制条件，通常，通常用函数表示用等式或不等式表示决策变量3需要优化的变量，通常是函数自变量最优化问题的求解策略建立数学模型求解模型12将实际问题转化为数学模型，使用数学方法求解数学模型，包括目标函数和约束条件例如导数法、拉格朗日乘数法等检验结果3检验求解结果是否符合实际问题要求，并进行必要的调整最优化问题的主要难点模型建立求解方法12将实际问题转化为数学模型需不同的最优化问题需要使用不要对问题进行抽象和简化，需同的求解方法，有些问题可能要一定的经验和技巧没有解析解，需要使用数值方法求解结果检验3需要验证求解结果是否符合实际问题要求，并进行必要的调整实际案例分析一生产管理问题问题步骤一家公司生产两种产品和，每生产一件产品需要个小时，建立数学模型设公司每天生产产品件，产品件，则目A BA

21.A xB y每生产一件产品需要个小时，公司每天可生产个小时已标函数为，约束条件为，，B320Z=10x+15y2x+3y≤20x≥0y≥知产品每件利润为元，产品每件利润为元，求公司每天求解模型使用拉格朗日乘数法求解，得到，A10B

1502.x=5y=生产和各多少件，才能获得最大利润？检验结果符合实际问题要求，公司每天生产产品A B10/

33.A件，产品件，可以获得最大利润5B10/3实际案例分析二工程设计问题问题步骤求解模型设计一座桥梁，需要选择最优的材料和

1.建立数学模型根据桥梁的设计要求使用有限元分析等数值方法求解数学模结构，以最大化桥梁的承载能力或最小，建立目标函数和约束条件，例如目标型，得到最优的材料选择和结构设计化造价函数是最大化承载能力，约束条件是材料强度和成本限制实际案例分析三经济决策问题问题步骤求解模型一位投资者需要选择最优的投资组合，

1.建立数学模型根据投资者的风险偏使用现代投资组合理论等数学方法求解以最大化投资回报率或最小化投资风险好和投资目标，建立目标函数和约束条数学模型，得到最优的投资组合分配方件，例如目标函数是最大化收益率，约案束条件是投资金额和风险限制导数在最优化问题中的作用寻找极值点判断极值类型12导数可以用来确定函数的极值导数可以用来判断极值点是最点，即最大值点或最小值点大值点还是最小值点优化目标函数3导数可以用来找到目标函数的最优解，从而解决最优化问题导数的应用技巧总结充分利用导数的几何意义熟练掌握导数的求解方法灵活运用导数的应用技巧123将导数与函数图像联系起来，可以熟练掌握求导法则和公式，可以提根据不同的问题，选择合适的导数更好地理解导数的含义高求解导数的速度和准确率应用技巧，例如一阶导数检验法、二阶导数检验法等常见错误及其纠正求导错误判断极值错误12常见的求导错误包括忘记链常见的判断极值错误包括没式法则、混淆导数和微分、误有考虑导数不存在的情况、误用求导公式等将拐点当作极值点、未考虑函数定义域等模型建立错误3常见的模型建立错误包括目标函数或约束条件错误、没有考虑实际问题限制等典型习题演练一问题步骤求函数求导数fx=x^4-4x^3+6x^2-

1.fx=4x^3-12x^2+的极值求临界点4x+112x-4=4x-1^

32.，解得判断极fx=0x=

13.值，fx=12x-1^2f1=0，因此为拐点，不是极值点x=1典型习题演练二问题步骤已知长方形的长为，宽为，周长为建立数学模型，即x y

1.2x+2y=20，求长方形面积的最大值，面积20x+y=10S=xy=x10-x求导数求临

2.S=10-2x

3.界点，解得判断S=0x=

54.极值，因此为极S=-20x=5大值点，此时面积最大典型习题演练三问题步骤一个圆柱形容器的容积为立方厘建立数学模型设圆柱的底面半径

1001.米，求其表面积的最小值为r，高为h，则πr^2h=100，表面积S=2πr^2+2πrh=2πr^2+求导数2πr100/πr^

22.S=求临界点4πr-200/r^

23.S=，解得∛判断极值0r=50/π

4.，因此S=4π+400/r^30r=∛为极小值点，此时表面积50/π最小知识拓展与思考多元函数的极值条件极值导数的概念可以推广到多元函在约束条件下的极值问题，可数，并用于求解多元函数的极以使用拉格朗日乘数法求解值数值方法对于没有解析解的最优化问题，可以使用数值方法求解，例如梯度下降法、牛顿法等本课程的重点与难点重点难点12理解导数在求解极值问题中的应用，掌握求解极值的一般模型建立、求解方法选择、结果检验，需要一定的经验和步骤技巧课后思考题思考题一思考题二如何判断一个函数是否存在极如何将实际问题转化为最优化值？如何求解函数的极值？问题的数学模型？思考题三导数在哪些实际问题中可以得到应用？参考文献与资料参考文献资料高等数学，同济大学数学系，在线数学资源，例如维基百科高等教育出版社、数学网站等。