《一元二次方程应用》课件

一元二次方程应用一元二次方程定义与基本形式一元二次方程是指只含有一个未知数其基本形式为ax^2+bx+c=0a≠0，且未知数的最高次数为2的方程，其中a,b,c为常数，x为未知数a称为二次项系数，b称为一次项系数，c称为常数项一元二次方程的解法完全平方公式法配方法将一元二次方程转化为完全平方将一元二次方程的常数项移到等形式，然后求解式右侧，然后在等式两边同时加上一次项系数的一半的平方，使等式左侧成为完全平方因式分解法公式法将一元二次方程分解为两个一次利用一元二次方程的求根公式直因式的乘积，然后分别令两个一接求解方程次因式为零，求解方程完全平方法求解一元二次方程步骤一1将常数项移到方程的右边步骤二2将方程两边同时加上一次项系数一半的平方步骤三3将方程左边化为完全平方步骤四4将方程两边开平方步骤五5求解方程完全平方法是一种利用完全平方公式将一元二次方程转化为平方形式的解法通过将方程两边同时加上或减去特定的常数，将左边配成一个完全平方，然后开平方求解此方法广泛应用于解一元二次方程，尤其在系数不方便进行因式分解的情况下配方法求解一元二次方程移项开方将方程中的常数项移到等式右边，使等式左边只保留含未知数的项将等式两边同时开平方，解出未知数的值123配方将等式左边化为完全平方形式，即x+a²或x-a²因式分解法求解一元二次方程将方程化为一般形式1ax²+bx+c=0将方程左边因式分解2x+mx+n=0解方程3x+m=0或x+n=0判别式法求解一元二次方程定义对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，其判别式Δ=b2-4ac应用判别式可以用来判断一元二次方程根的情况关系Δ0，方程有两个不相等的实数根关系Δ=0，方程有两个相等的实数根关系Δ0，方程没有实数根一元二次方程的基本解法总结因式分解法公式法配方法将一元二次方程化为两个一次因式的乘利用求根公式直接求解方程的解，适用将一元二次方程通过配方转化为完全平积，然后根据“积为零，则其中至少有于任何一元二次方程，但计算量较大，方形式，然后开方求解适用于任何一一个因式为零”的性质求解适用于系需要记忆公式元二次方程，但需要掌握配方法的技巧数较小，易于分解的方程几何问题实例一个长方形的菜园，长比宽多5米，如果将长和宽都增加2米，面积将增加40平方米，求原来菜园的长和宽一元二次方程应用实例分析1问题描述解题步骤一个长方形的周长为20米，长比宽多2米求这个长方形

1.设长方形的宽为x米，则长为x+2米的长和宽

2.根据题意，列出方程2x+x+2=

203.解方程2x+2=

104.求解x=4，则长方形的宽为4米，长为6米一元二次方程应用实例运动问题2运动问题是常见的应用场景之一，涉及到速度、时间、距离之间的关系我们可以利用一元二次方程来解决各种运动问题，例如相遇问题、追赶问题、行程问题等等运动问题实例分析匀速运动变速运动相遇问题运动问题通常涉及到物体在一定时间内的变速运动指的是物体在相同时间内移动不相遇问题指的是两个物体从不同地点出发距离变化，包括匀速运动和变速运动匀同距离，可以用加速度、速度和时间来描，以不同的速度朝着同一个方向移动，最速运动指的是物体在相同时间内移动相同述例如，运动员在加速跑时，速度在不终相遇可以使用速度、时间和距离的公距离，可以用速度、时间和距离的公式来断变化式来计算相遇时间和相遇地点描述利润问题实例问题描述分析思路某公司生产一种产品，成本价为每件20元，销售价为每件30元，设降价x元，则每件产品的售价为30-x元，每天可售出100+20x每天可售出100件为了增加销量，公司决定降价销售市场调查件每天的利润为30-x-20100+20x元我们将利润表示为x表明，每降价1元，每天可多售出20件问公司应该将价格降价的函数，并求出最大值即可多少元才能使每天的利润最大？利润问题实例分析3问题描述分析过程计算结果某公司生产一种产品，成本为每件10设实际利润为x元，根据题意可列方程解方程得x=8000元，即实际利润为元，售价为每件20元，预计销售量为x=20-10*8008000元1000件，但实际销售量只有800件，实际利润是多少？一元二次方程应用实例混合问题4混合问题是数学中常见的应用题型，通常涉及两种或多种物质混合，通过分析混合前后物质的量和浓度等信息，建立方程并求解例如，某商店出售两种不同浓度的酒精溶液，分别为60%和80%，现在要将两种溶液混合，配制成70%的酒精溶液，求每种溶液需取多少毫升混合问题实例分析4混合问题方程列式混合问题是利用一元二次方程解决的常混合问题中，通常需要根据混合前后物见应用之一这类问题通常涉及两种或质的量、浓度或价格等信息列出方程多种物质的混合，需要通过方程列出混要注意区分混合前后的量、浓度或价格合后的总量和浓度或价格等条件，从而，以及它们之间的关系求解未知量解方程求解列出方程后，通过解一元二次方程求解未知量在解题过程中，要注意判断解的合理性，确保所得结果符合实际情况一元二次方程应用实例面5积问题矩形花园的面积计算是应用一元二次方程解决面积问题的典型例子例如，假设一个矩形花园的长比宽多5米，面积为84平方米我们可以用一元二次方程来求解花园的长和宽面积问题实例分析5问题描述解题思路一个长方形的长比宽多2米，面积为15平方米，求长方形的长和设长方形的宽为x米，则长为x+2米，根据题意可列出方程宽xx+2=15解方程得x=3或x=-5，由于宽不可能为负数，所以长方形的宽为3米，长为5米年龄问题实例现在小明爸爸的年龄是小明的3倍，5年后爸爸的年龄是小明的2倍问小明和爸爸现在分别多少岁？年龄问题实例分析6问题解题思路小明今年10岁，爸爸今年35岁设x年后，爸爸的年龄是小明的，几年后爸爸的年龄是小明的33倍根据题意，可以列出方程倍？35+x=310+x解方程得x=5答案5年后，爸爸的年龄是小明的3倍抛物线问题实例抛物线是一种常见的几何图形，它可以用来描述很多现实生活中的现象，比如抛射运动、卫星轨道、天线形状等等在解抛物线问题时，我们需要利用一元二次方程的知识，将实际问题转化为数学模型，并求解出相应的答案例如一个物体以速度v0从地面上抛出，其运动轨迹可以描述为一个抛物线已知物体抛出后的最高点高度为h，求物体抛出后经过t秒时的垂直高度我们可以利用一元二次方程来求解这个问题抛物线问题实例分析7抛物线方程图形分析抛物线问题通常涉及到抛物线方程，利用抛物线图像分析问题的几何关系通过建立方程来解决问题，找到关键点和特征计算求解根据方程和图像信息，进行计算，求解问题的答案工程问题实例施工队伍工程机械项目规划假设一个施工队伍需要修建一条长为1000一个工厂需要生产一批产品，用10台机一个工程项目需要在10天内完成，计划米的公路，每天可以完成100米的工程器可以生产100件产品，如果现在增加5每天完成100个工作量单位，现在需要提现在，他们需要增加一组新的施工人员，台机器，需要生产200件产品，请问还需前2天完成项目，问每天需要完成多少并希望每天可以完成150米的工程问要多少天才能完成？个工作量单位？需要增加多少名工人才能完成这个目标？工程问题实例分析8问题类型解题思路关键点该实例属于工程问题，涉及工作效率通常需要设未知数，根据题意列出一要注意单位的统一，例如时间单位、和时间之间的关系通常会给出两个元二次方程，然后利用相关解法求解工作量单位等还要注意“工作量=工作组的效率或时间，要求求解共同未知数，最后根据未知数的含义检验效率×时间”这个基本公式的应用完成一项工作所需的时间或工作效率答案是否合理一元二次方程应用实例电9路问题电路问题通常涉及电阻、电容、电压和电流等因素，这些因素之间存在着复杂的数学关系一元二次方程可以用来解决一些电路问题，例如计算电路的总电阻、电流或电压例如，在一个简单的串联电路中，总电阻等于各个电阻的总和如果已知总电阻和部分电阻，就可以用一元二次方程计算出未知的电阻电路问题实例分析问题描述解题步骤12一个电路中，已知电源电压为

1.将已知条件代入欧姆定律12伏，电阻为R欧姆，电流为I12=4I安培，根据欧姆定律，电压、

2.化简方程I=3电流和电阻的关系为U=IR

3.因此，电路中的电流为3安假设电路中的电阻为4欧姆培，求电路中的电流结论3通过一元二次方程的应用，我们可以轻松地计算出电路中的电流，这在实际应用中具有重要意义一元二次方程应用实例化学问题10假设某化学反应中，反应物A与反应物B反应生成产物C，反应方程式为A+B→C已知反应开始时，A的质量为10克，B的质量为20克经过一段时间后，A的质量减少了x克，那么B的质量也减少了x克，C的质量增加了x克设C的质量为y克，根据质量守恒定律，可以列出以下方程10-x+20-x=y已知C的质量y与x之间的函数关系式为y=2x2，将此关系式代入上述方程，得到10-x+20-x=2x2化简得2x2+2x-30=0解此方程，可以求得x的值，从而得到A、B和C的质量变化情况化学问题实例分析10化学反应方程式一元二次方程化学反应方程式是描述化学反应的符号表示，它包含了反应物、一元二次方程式是数学中的一种常用方程式，它包含一个未知数生成物和反应条件等信息通过化学反应方程式，我们可以了解，并且未知数的最高次幂为2一元二次方程的解法可以帮助我反应中物质的种类和数量，以及反应的发生条件们求解化学问题中物质的量、反应速率等重要信息一元二次方程应用案例总结几何问题运动问题利润问题混合问题利用一元二次方程解决几何图利用一元二次方程解决速度、利用一元二次方程解决商品的利用一元二次方程解决不同浓形的周长、面积、体积等问题时间、距离等运动问题成本、售价、利润等问题度溶液的混合问题应用技巧整理审题列方程12仔细阅读题目，明确题意，找出题目中所给的已知条件和所求的根据题意，设未知量为x，并根据题意列出关于x的一元二次方程未知量确定所求的未知量是否满足一元二次方程的结构，以便需要注意的是，方程要能够准确地反映题目的实际情况，并要将题目转化为一元二次方程符合一元二次方程的一般形式解方程检验34利用各种解一元二次方程的方法，求出方程的解要注意解的合将得到的解代入原方程，检验解的正确性同时，也要检验解的理性，要与实际情况相符若解不合理，需要重新审题，分析原实际意义是否合理，例如，解是否为负数或零，以及解是否符合因，并进行修正题目中的限制条件等一元二次方程应用题型分类几何问题运动问题涉及图形的面积、周长、体积等涉及速度、时间、距离等关系，计算，例如求矩形长宽、圆形半例如相遇问题、追及问题等径等利润问题混合问题涉及成本、售价、利润等关系，涉及不同浓度、比例的物质混合例如求成本、售价、利润率等，例如求混合后的浓度等一元二次方程应用题型分析几何问题运动问题利润问题混合问题包括求面积、周长、体积等涉及物体运动的速度、时间包括商品的成本、售价、利涉及不同浓度或价格的物质几何图形相关问题，常涉及、距离等，需要运用速度、润等，需要运用利润、成本混合，需要运用混合后的浓方程的建立和求解时间、距离之间的关系进行、售价之间的关系进行分析度或价格进行分析和求解分析和求解和求解一元二次方程应用题型训练1以下是关于一元二次方程应用的训练题，请认真思考并尝试解答问题问题12一块长方形土地的长比宽多5米，面积某公司生产一种产品，固定成本为为84平方米求这块土地的长和宽10000元，每件产品的成本为50元，每件产品的售价为100元若该公司生产并销售x件产品，则该公司获得的利润为多少？当生产并销售多少件产品时，该公司获得的利润为5000元？问题问题34一个圆形花坛的半径为5米，现要在花某商店用1000元购进了一批水果，售价坛周围修建一条宽度为x米的环形小路为进价的

1.5倍，结果卖出80%后，还，使小路与花坛的面积之和为169π平方剩下120元的水果求这批水果的进价米求小路的宽度x和售价这些问题涉及到了常见的应用题型，例如几何问题、利润问题、混合问题等通过练习，你能够更好地理解一元二次方程在实际生活中的应用一元二次方程应用题型训练2现在，让我们来进行一些练习，以巩固你对一元二次方程应用的理解以下是一些典型题型的示例，你可以尝试独立解答，然后与我的讲解进行对比例题1某商店购进一批商品，进价为每件20元，如果以每件30元的价格销售，可售出400件若想售出500件，则销售价格应定为多少元？例题2某工厂生产一种产品，每件成本为20元，售价为30元，每月可售出1000件为了提高利润，工厂决定降低售价，预计每降低1元，每月可多售出100件要使每月利润最大，售价应定为多少元？例题3有一块长方形土地，长比宽多5米，如果长减少3米，宽增加2米，面积就减少了10平方米求这块土地原来的长和宽例题4小明骑自行车从甲地到乙地，他先以每小时15千米的速度行驶了半小时，然后又以每小时20千米的速度行驶了1小时，正好到达乙地求甲乙两地之间的距离题型训练3以下是一元二次方程应用题型的训练题，请同学们认真解答

1.584一个长方形的长比宽多米，面积为平方米，求这个长方形的长和宽

2.一辆汽车从A地出发，以60千米/小时的速度匀速行驶，到达B地后立即返回A地，返程速度为40千米/小时，整个行程共用5小时，求A地到B地的距离

3.一批货物需要用甲、乙两种货车一起运送，已知甲货车单独运送需要20小时，乙货车单独运送需要30小时，如果甲、乙两种货车一起运送，需要多少小时？一元二次方程应用题型训练4我们来一起解一元二次方程应用题！工程问题利润问题

1.

2.两台机器合作完成一项工程，已知某公司生产一种产品，成本为每件5甲机器单独完成这项工程比乙机器元，售价为每件8元为了扩大销售单独完成这项工程少用2小时，两台，公司决定降价销售，预计销售量机器合作需要3小时完成这项工程，会增加20%，但利润不低于原来的求甲机器单独完成这项工程需要多80%求降价后每件产品的售价应少小时？不低于多少元？面积问题年龄问题

3.

4.一个长方形的周长为24米，它的长爸爸现在的年龄是儿子的3倍，5年比宽多2米，求这个长方形的面积前爸爸的年龄是儿子年龄的5倍，求爸爸和儿子现在的年龄题型训练5请尝试独立完成以下问题，检验你对一元二次方程应用题的掌握程度•某商场为促销，将一种商品的售价降低了20%，结果销量增加了50%，销售额比降价前增加了10%，求这种商品原来的售价•有一个长方形，它的长比宽多5米，面积为150平方米，求这个长方形的长和宽如果你遇到困难，可以回顾前面的知识点或参考相关例题进行解答一元二次方程应用题型训练6一元二次方程应用题型训练6，包含了各种类型的问题，涵盖了生活中的实际应用，例如几何问题、运动问题、利润问题、混合问题、面积问题、年龄问题、抛物线问题、工程问题、电路问题、化学问题等题型训练7一道有趣的应用题一个矩形花园的长比宽多2米，面积为48平方米，求这个花园的长和宽**解题思路:**设花园的宽为x米，则长为x+2米，根据面积公式，可列方程xx+2=48，解得x=6或x=-8由于宽不能为负数，所以花园的宽为6米，长为8米**总结:**本题考查了一元二次方程的应用，需要根据实际问题建立方程，并注意解题过程中要排除不合理的解一元二次方程应用题型训练8**例题**一艘轮船在静水中的速度为20千米/小时，它从A港顺流航行到B港需要3小时，返航需要4小时求A港和B港之间的距离以及水流速度**解题思路**设港和港之间的距离为千米，水流速度为根据题意，可以列出方程组A Bx y12千米小时/x/20+y=3x/20-y=434**解方程组，得到x=120，y=5**因此，A港和B港之间的距离为120千米，水流速度为5千米/小时题型训练9题目1某公司生产一种产品，已知每件产品的成本为10元，销售单价为15元该公司每月固定支出为2000元如果该公司要实现月利润为5000元，那么该公司每月至少要生产多少件产品？题目2一个长方形的花园，长比宽多4米，如果将长和宽都增加2米，面积就增加56平方米求这个花园原来的长和宽题目3某商店购进一批商品，按成本价提高20%出售，后因商品滞销，又降价20%出售，结果每件商品亏损2元求每件商品的进价解题思路解题技巧训练目标认真审题，找到问题的关键，将文字信息转注意单位换算，利用公式，合理运用配方法通过训练，熟练掌握一元二次方程应用题型化为数学表达式，列出一元二次方程，并求，因式分解法等方法进行求解，并进行检验的解题方法，提高解决实际问题的能力解方程，最后检验答案是否符合题意题型训练10请同学们完成以下练习，并尝试用不同的方法解决问题，感受一元二次方程在生活中的应用**练习题:**•某公司生产一种产品，成本为每件20元，售价为每件30元，销售量与售价之间存在线性关系当售价为30元时，销售量为100件，售价每提高1元，销售量减少5件问如何定价才能使利润最大？一元二次方程应用练习总结通过练习，巩固对一元二次方程应用总结常见题型和解题思路，建立清晰的理解，掌握解题技巧，提高解题效的解题框架，应对不同类型的应用问率题培养数学思维能力，增强对实际问题的分析和解决能力，提升学习兴趣和自信心一元二次方程应用知识点回顾基本概念解题步骤应用技巧回顾一元二次方程的基本概念，包括定义复习解一元二次方程的常用方法，包括配回顾解应用题的步骤，包括建立方程、解、标准形式、解的概念、判别式等方法、因式分解法、公式法等方程、检验答案等，并熟悉常见的应用题类型，如几何问题、运动问题、利润问题等一元二次方程应用考点预测掌握一元二次方程的各种解法熟练运用一元二次方程解应用题理解一元二次方程与实际问题的联系应用小结灵活运用注意细节12一元二次方程应用在各个领域应用题的解题过程中，要认真，需要灵活运用方程知识进行分析题意，提取有效信息，建建模和求解例如，在工程问立数学模型同时，注意单位题中，可以将实际问题转化为和解的合理性，避免出现错误一元二次方程，从而求解工程量、时间等关键参数拓展知识3通过一元二次方程应用的学习，可以拓宽对数学知识的理解和运用，提高解决实际问题的能力例如，可以学习更高阶的方程知识，以及其他数学工具来解决更加复杂的问题。