《利用导数研究函数极值与性质》课件

利用导数研究函数极值与性质本课件将带领您深入探索函数极值与性质的奥秘，并通过导数工具揭示其背后的数学原理和应用课程目标掌握导数的概念和运算法则，熟练运用导数工具解决函数极值深入理解导数与函数单调性、极值点、凹凸性、拐点之间的关与性质问题系函数的基本概念定义函数是指一个将输入值映射到输出值的对应关系它可以被描述为一个公式、表格或图像自变量函数的输入值，通常用表示x因变量函数的输出值，通常用表示y函数图像函数图像是一个点集，表示所有自变量和因变量的对应关系导数的定义及几何意义定义几何意义导数是函数在某一点的变化率，代表导数反映了函数曲线在该点处的切线函数曲线在该点处的切线斜率斜率，即函数变化的速率导数的运算法则加减法法则乘法法则除法法则两个函数的和或差的导数等于它们各自两个函数的积的导数等于第一个函数的两个函数的商的导数等于分子导数乘以导数的和或差导数乘以第二个函数加上第一个函数乘分母减去分子乘以分母导数，再除以分以第二个函数的导数母的平方函数单调性与极值点单调性1函数在某个区间内单调递增，则导数在该区间内恒大于零；函数在某个区间内单调递减，则导数在该区间内恒小于零极值点2函数的极值点是指导数为零或不存在的点，该点附近的函数值比周围的点大或小函数凹凸性与拐点凹凸性函数在某个区间内凹，则二阶导数在该区间内恒大于零；函数在某个区间内凸，则二阶导数在该区间内恒小于零拐点函数的拐点是指二阶导数为零或不存在的点，该点附近的函数曲线形状发生改变，从凹变为凸或从凸变为凹例题解析寻找极值点步骤1求函数的一阶导数步骤2令一阶导数等于零，解出方程，得到可能的极值点步骤3验证可能的极值点是否为真正的极值点，可以使用一阶导数判定法则例题解析判断函数单调性步骤1求函数的一阶导数1步骤22确定一阶导数为零的点步骤33在每个区间内，选择一个点，代入一阶导数表达式，判断导数的符号，从而确定函数在该区间的单调性例题解析确定函数凹凸性步骤11求函数的二阶导数步骤22确定二阶导数为零的点步骤33在每个区间内，选择一个点，代入二阶导数表达式，判断导数的符号，从而确定函数在该区间的凹凸性总结复习1导数函数变化率，几何意义为切线斜率2单调性导数符号与函数单调性关系3极值点导数为零或不存在的点4凹凸性二阶导数符号与函数凹凸性关系函数的概念回顾定义域值域单调性奇偶性函数的自变量的取值范围函数的因变量的取值范围函数值随自变量的变化而变函数关于原点或轴的对称y化的趋势，可以是递增或递性减函数的基本性质渐近线极值拐点当自变量趋于无穷大或某个特定值时，函函数在某个区间内的最大值或最小值函数曲线的凹凸性发生改变的点数图像所逼近的直线导数的概念与计算定义计算方法12导数是函数在某一点的变化导数的计算可以通过求极限、率，反映了函数曲线在该点处公式法或数值方法进行的切线斜率运算法则3导数运算遵循一系列法则，例如加减法法则、乘法法则和除法法则导数的应用探讨函数单调性2利用导数判断函数的单调性，可以确定函数在某个区间内的变化趋势函数极值1利用导数求函数的极值点，可以确定函数的最大值或最小值函数凹凸性利用导数判断函数的凹凸性，可以确定3函数曲线的形状变化导数与单调性导数为正1函数在该点附近单调递增导数为负2函数在该点附近单调递减导数为零3函数在该点可能存在极值点，但需要进一步验证导数与凹凸性二阶导数为正函数在该点附近凹向上二阶导数为负函数在该点附近凹向下二阶导数为零函数在该点可能存在拐点，但需要进一步验证一阶导数判定法则极大值如果一阶导数在极值点左侧为正，右侧为负，则该点为极大值点极小值如果一阶导数在极值点左侧为负，右侧为正，则该点为极小值点二阶导数判定法则凹向上如果二阶导数在该点附近恒为正，则函数在该点附近凹向上1凹向下2如果二阶导数在该点附近恒为负，则函数在该点附近凹向下例题求函数极值点1步骤11求函数的一阶导数步骤22令一阶导数等于零，解出方程，得到可能的极值点步骤33使用一阶导数判定法则验证可能的极值点是否为真正的极值点例题判断函数单调性2123求导分区间检验符号求函数的一阶导数确定一阶导数为零的点，将定义域分成若在每个区间内，选择一个点，代入一阶导干区间数表达式，判断导数的符号，从而确定函数在该区间的单调性例题确定函数凹凸性3步骤步骤步骤123求函数的二阶导数确定二阶导数为零的点，将定义域分成若在每个区间内，选择一个点，代入二阶导干区间数表达式，判断导数的符号，从而确定函数在该区间的凹凸性习题练习寻找极值点1练习求函数的极值点fx=x^3-3x^2+2习题练习判断单调性2练习提示判断函数的单调性求函数的一阶导数，并分析其符号变化fx=x^2-2x+1习题练习确定凹凸性3练习1确定函数的凹凸性fx=x^3-3x提示2求函数的二阶导数，并分析其符号变化复习总结单调性判定导数概念一阶导数符号决定函数单调性21函数变化率，几何意义为切线斜率极值点判定一阶导数为零或不存在的点可能为极3值点，需进一步验证拐点判定5二阶导数为零或不存在的点可能为拐凹凸性判定点，需进一步验证4二阶导数符号决定函数凹凸性函数基本概念回顾定义1函数是指一个将输入值映射到输出值的对应关系定义域2函数的自变量的取值范围值域3函数的因变量的取值范围图像4函数图像是一个点集，表示所有自变量和因变量的对应关系导数的定义和几何意义定义1导数是函数在某一点的变化率，代表函数曲线在该点处的切线斜率几何意义2导数反映了函数曲线在该点处的切线斜率，即函数变化的速率导数的运算法则12加减法法则乘法法则两个函数的和或差的导数等于它们各两个函数的积的导数等于第一个函数自导数的和或差的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数3除法法则两个函数的商的导数等于分子导数乘以分母减去分子乘以分母导数，再除以分母的平方导数与函数性质关系单调性凹凸性极值点导数符号与函数单调性关系密切二阶导数符号与函数凹凸性关系密切导数为零或不存在的点可能为极值点，但需要进一步验证单调性与极值判定单调性极值点12导数为正，函数单调递增；导数为负，函数单调递减导数为零或不存在的点可能为极值点，可以使用一阶导数判定法则进行验证凹凸性与拐点判定凹凸性拐点二阶导数为正，函数凹向上；二阶导数为负，函数凹向下二阶导数为零或不存在的点可能为拐点，需要进一步验证实际应用案例1问题1假设火箭发射后高度是时间的函数，求火箭在发射ht t后的最高点高度解法2求函数的一阶导数，令其等于零，解出方程，得到可能ht的极值点，然后验证该点是否为极大值点实际应用案例2问题假设过山车的高度是时间的函数，求过山车在运行过程中的最ht t大斜率解法求函数的一阶导数，该导数表示过山车在每个时刻的斜率，然ht后找到导数的最大值实际应用案例3问题假设汽车行驶的路程是时间的函数，求汽车在某个时st t间段内的平均速度解法使用导数的概念，平均速度等于路程的变化量除以时间变化量，即除以st2-st1t2-t1知识扩展与思考泰勒公式隐函数可以用来逼近函数，并应用于数隐函数的导数可以利用隐函数求值计算、误差分析等领域导法进行求解多元函数多元函数的导数涉及偏导数的概念，可以用来研究多元函数的极值和性质学习心得体会通过本次学习，我对导数的概念有了更深入的理解，并掌握了在学习过程中，我遇到了许多困难，但通过不断的思考和练利用导数工具研究函数极值与性质的方法我觉得导数在数学习，最终克服了这些困难，并获得了学习的成就感这次学习领域有着广泛的应用，它可以帮助我们更深入地理解函数的变让我认识到学习是一个不断探索和进步的过程，需要我们保持化规律，并解决实际问题积极的态度和求知的心课程总结与展望总结展望本课程系统地介绍了导数的概念、运希望大家能够将所学知识应用到实际算法则以及导数在研究函数极值与性问题中，并不断探索导数在其他数学质中的应用领域和科学领域的应用。