《微分与函数的极值》课件

《微分与函数的极值》本课件将带领大家深入了解微分与函数的极值概念，并探讨其在实际应用中的重要性课程目标掌握函数的极值概念，包括极值的定义能够运用微分中值定理解决实际问题理解多元函数极值的概念，并能运用其、求解方法和应用解决相关问题函数的基本概念函数的定义一个映射，将每个自变函数的表示方法解析式、图像、表函数的分类一次函数、二次函数、量都对应唯一一个因变量例如，函格等指数函数、对数函数、三角函数等数fx=x²，将每个x值都对应唯一一个x²值函数的图像及其特征单调性函数在某一区间内，极值函数在某一点附近取得拐点函数曲线的凹凸性发生渐近线当自变量无限增大或其值随自变量的变化而单调递的局部最大值或最小值，称为变化的点，称为拐点减小时，函数曲线无限接近的增或递减极值直线，称为渐近线函数的单调性单调递增当自变量增大时，函数的值单调递减当自变量增大时，函数的值单调区间函数保持单调性的自变量的也增大减小取值范围函数的极值极大值函数在某一点附近取得的最大值，称为极大值极小值函数在某一点附近取得的最小值，称为极小值极值点函数取得极值的点，称为极值点极值的定义设函数fx在点x=x₀的某个邻域内有定义，如果对于该邻域内的任意一点x，都有fx≤fx₀，则称fx在点x=x₀处取得极大值如果对于该邻域内的任意一点x，都有fx≥fx₀，则称fx在点x=x₀处取得极小值求极值的基本方法求导数求出函数的一阶导数fx求驻点求解方程fx=0，得到函数的驻点判断极值通过函数的二阶导数fx来判断驻点是否为极值点，并确定极值的类型极值的必要条件如果函数fx在点x=x₀处取得极值，则fx₀=0或fx₀不存在换句话说，极值点一定是驻点或不可导点，但驻点或不可导点不一定是极值点极值的充分条件1如果fx₀=0，且fx₀＞0，则2如果fx₀=0，且fx₀＜0，则3如果fx₀=0，且fx₀=0，则需fx在点x=x₀处取得极小值fx在点x=x₀处取得极大值要进一步判断fx在x=x₀处的极值类型最大值和最小值问题在闭区间[a,b]上，函数fx的最大值和最小值一定存在1求函数fx在闭区间[a,b]上的最大值和最小值，需要比较函数在2区间端点和极值点处的函数值最大最小值应用举例例如，要设计一个容积最大的长方体盒子，已知盒子的表面积为S我们可以用函数的极值来求解盒子的最大容积拐点的定义设函数fx在点x=x₀的某个邻域内有定义，如果函数fx在点x=x₀处，曲线的凹凸性发生变化，则称点x=x₀为函数fx的拐点拐点求解方法判断拐点通过观察函数曲线的凹凸性变求拐点求解方程fx=0，得到函数的拐化来确定拐点的位置求二阶导数求出函数的二阶导数fx点注意，拐点不一定是二阶导数为零的点，但二阶导数为零的点可能是拐点函数的凹凸性凹函数函数图像在某一区间内，其曲凸函数函数图像在某一区间内，其曲凹凸区间函数保持凹凸性的自变量的线向上凹陷线向下凸起取值范围函数的渐近线水平渐近线当自变量无限增大或减小时，函数曲线无限接近的水平直线垂直渐近线当自变量趋近于某一点时，函数曲线无限接近的垂直直线斜渐近线当自变量无限增大或减小时，函数曲线无限接近的斜直线渐近线的求解1水平渐近线求极限limx→±∞fx，如果极限存在，则该极限值为水平渐近线的方程2垂直渐近线求极限limx→x₀fx，如果极限为无穷大，则x=x₀为垂直渐近线的方程3斜渐近线求极限limx→±∞fx/x，如果极限存在，则该极限值为斜渐近线的斜率再求极限limx→±∞[fx-k*x]，其中k为斜率，如果极限存在，则该极限值为斜渐近线的截距期中复习本次期中考试将涵盖函数的基本概念、单调性、极值、拐点、渐近线等内容，并侧重于对函数图像特征的理解和分析期中考试请认真准备考试，并提前熟悉考试内容，祝大家考试顺利！微分中值定理微分中值定理是微积分中的一个重要定理，它揭示了导数与函数值之间的关系该定理指出如果函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b内可导，则在a,b内至少存在一点ξ，使得fξ=[fb-fa]/b-a定理RolleRolle定理是微分中值定理的一个特例，它指出如果函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b内可导，且fa=fb，则在a,b内至少存在一点ξ，使得fξ=0平均值定理平均值定理是微分中值定理的另一个特例，它指出如果函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b内可导，则在a,b内至少存在一点ξ，使得fξ=[fb-fa]/b-a导数的应用1求切线方程导数可以用来求函数在某一点处的切线方程2求函数的极值导数可以用来求函数的极值3求函数的拐点导数可以用来求函数的拐点4求函数的渐近线导数可以用来求函数的渐近线显函数和隐函数显函数因变量可以显式地用自变量表示，例如y=x²隐函数因变量与自变量之间通过一个方程隐式地联系起来，例如x²+y²=1隐函数微分法隐函数微分法是一种求隐函数导数的方法它通过对隐函数方程两边同时求导，并利用链式法则，来求出隐函数的导数高阶导数高阶导数是函数的一阶导数的导数例如，二阶导数是函数的一阶导数的导数，三阶导数是函数的二阶导数的导数，等等高阶导数可以用来研究函数的凹凸性、拐点等性质对数函数的导数对数函数的导数可以用以下公式求得dlnx/dx=1/x例如，lnx的导数为1/x指数函数的导数指数函数的导数可以用以下公式求得da^x/dx=a^x*lna例如，e^x的导数为e^x*lne=e^x反三角函数的导数反三角函数的导数可以用以下公式求得darcsinx/dx=1/√1-x²，darccosx/dx=-1/√1-x²，darctanx/dx=1/1+x²复合函数的导数复合函数的导数可以用链式法则求得链式法则指出复合函数的导数等于外函数对内函数的导数乘以内函数的导数例如，设y=fu，u=gx，则dy/dx=dy/du*du/dx参数方程的微分参数方程是一种用参数来表示曲线方程的方法例如，曲线x=t²,y=t³可以用参数t来表示参数方程的微分可以用以下公式求得dy/dx=dy/dt/dx/dt微分中的应用问题求最值例如，求一个长方形的求切线方程例如，求函数y=x³最大面积，已知其周长为定值在点1,1处的切线方程求运动轨迹例如，求一个抛射体的运动轨迹函数相关性分析相关性分析是用来研究两个变量之间关系的一种统计方法微分可以用来分析函数的相关性，例如，我们可以通过观察函数的一阶导数和二阶导数，来判断函数的单调性、极值和凹凸性函数的驻点驻点是指函数一阶导数为零的点驻点可能是函数的极值点，也可能不是例如，函数fx=x³在x=0处取得驻点，但不是极值点函数的临界点临界点是指函数一阶导数为零或不存在的点临界点可能是函数的极值点，也可能不是例如，函数fx=|x|在x=0处取得临界点，但不是极值点驻点和临界点的性质驻点一定是临界点，但临界点不一定是驻点驻点可能对应着极值点，也可能对应着拐点，而临界点可能对应着极值点、拐点，也可能什么都不对应凹凸性与二阶导数二阶导数可以用来判断函数的凹凸性如果二阶导数在某一区间内恒大于零，则函数在该区间内是凹函数；如果二阶导数在某一区间内恒小于零，则函数在该区间内是凸函数二阶导数为零的点可能是函数的拐点函数的最值函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值和最小值求函数的最值需要先求函数的极值，再比较函数在定义域的端点和极值点处的函数值，找出最大值和最小值最值应用问题例如，要设计一个容积最大的长方体盒子，已知盒子的表面积为S我们可以用函数的最值来求解盒子的最大容积多元函数极值多元函数的极值是指函数在定义域内取得的局部最大值或最小值求多元函数的极值需要先求函数的偏导数，然后求解偏导数为零的点，并判断这些点是否为极值点多元函数的极值应用例如，要设计一个容积最大的长方体盒子，已知盒子的表面积为S我们可以用多元函数的极值来求解盒子的最大容积曲线和曲面的极值曲线和曲面的极值是指曲线或曲面在空间中取得的局部最大值或最小值求曲线和曲面的极值需要先求曲线或曲面的导数，然后求解导数为零的点，并判断这些点是否为极值点期末复习期末考试将涵盖本学期所有内容，包括函数的极值、微分中值定理、隐函数微分法、高阶导数、多元函数极值等建议大家认真复习课本内容，并做一些习题练习期末考试祝大家期末考试取得好成绩！课程总结通过本课程的学习，我们掌握了函数的极值概念，并了解了其在实际应用中的重要性希望大家能够将所学知识应用到实际问题中，并不断提升自己的数学能力。