《概率与概率分布》课件

概率与概率分布本课件将带您深入了解概率论的基本概念，以及各种重要的概率分布及其应用课程导言概率论基础概率分布本课程将深入探讨概率论的基本我们将研究离散和连续随机变量概念，包括随机事件、概率、条的各种概率分布，包括二项分布件概率、独立事件、全概率公式、泊松分布、正态分布等和贝叶斯公式等应用本课程将阐释概率论和概率分布在实际应用中的重要性，例如在数据分析、风险管理、机器学习等领域概率的基本概念随机现象样本空间在相同条件下，可能出现多随机现象所有可能结果的集种结果，而事先不能确定具合称为样本空间，记为S体出现哪种结果的现象称为例如抛一枚硬币，样本空随机现象例如抛一枚硬间正面，反面S={}币，可能出现正面或反面事件概率样本空间的子集称为事件事件发生的可能性大小，称S，记为、、等例如为事件的概率，记为A BC PA抛一枚硬币出现正面，是概率是介于到之间01一个事件的数，表示事件不可能发0生，表示事件必然发生1随机事件定义特点随机事件是指在特定条件下，可能发生也可能不发生的事件不确定性在试验之前，无法确定事件是否发生•:它是一种不确定的结果，但在重复试验中，其发生的概率重复性随机事件可以被重复进行试验•:可以被估计概率性事件发生的可能性可以用概率来表示•:事件的互斥和互补互斥事件互补事件如果两个事件不可能同时发生，则称这两个事件是互斥的如果一个事件发生，另一个事件一定不发生，则称这两个事例如，抛掷一枚硬币，正面朝上和反面朝上是互斥事件件是互补的例如，抛掷一枚硬币，正面朝上和反面朝上是互补事件事件的运算并运算1事件和事件的并运算，表示事件或事件或和A B A BA同时发生用符号∪表示B“A B”交运算2事件和事件的交运算，表示事件和事件同时A BA B发生用符号表示“A∩B”差运算3事件和事件的差运算，表示事件发生而事件A BA B不发生用符号表示“A-B”概率的公理性质非负性规范性12对于任意事件，其概率样本空间的概率为AΩ1非负，即这，即这表示PA≥0PΩ=1表明概率是一个非负的数样本空间包含了所有可能值，代表了事件发生的可发生的事件，其概率为能性100%可加性3对于互斥事件和，其并集的概率等于它们概率之和，即A B∪这表明互斥事件的概率可以累PA B=PA+PB加概率的性质非负性必然事件的概率为可加性1任何事件的概率都大于等于，即对于必然事件，其概率为，即对于互斥事件和，其并集的概01A B率等于它们各自概率的和，即PA≥0PΩ=1PA∪B=PA+PB古典概型定义公式举例古典概型是指在所有可能的结果中，每个事件的概率等于事件中包含掷一枚骰子，每个面出现的概率都是A PA A1/6结果出现的可能性都相等的情况下，计算的结果数除以所有可能结果总数掷两枚骰子，得到点数之和为的概7事件发生的概率率为6/36=1/6几何概型定义特点几何概型是指样本空间是样本空间中的点具有等可一个几何区域，事件发生能性，事件发生的概率可的概率等于事件对应区域以用几何区域的度量来表的面积（或体积）与样本示空间区域的面积（或体积）之比应用几何概型常用于解决一些与面积、体积相关的概率问题，例如命中目标、随机点落在特定区域的概率等频率概型实验次数事件频率稳定性频率概型基于大量重复实验的结果，通例如，在抛硬币的实验中，如果重复抛随着实验次数的增加，事件发生的频率过观察事件发生的频率来估计概率掷次，其中正面朝上的次数为会趋于稳定，最终收敛于该事件的真实10052次，那么正面朝上的频率为，概率52/100可以近似估计为正面朝上的概率主观概率定义应用局限性主观概率是基于个人经验、信念和直主观概率在商业决策、风险评估和投主观概率容易受到个人偏见、情绪和觉对事件发生可能性的一种判断它资领域有着广泛的应用例如，投资认知偏差的影响，因此需要谨慎使用不受客观数据和统计分析的影响，而者会根据对市场趋势的个人判断来制它也难以量化和客观比较是取决于个人的主观认知定投资策略条件概率及其应用定义1事件已经发生的情况下，事件发生的概率BA公式2PA|B=PAB/PB应用3预测、决策、风险评估等条件概率是一种重要的概率概念，它描述了在某个事件发生的前提下，另一个事件发生的可能性条件概率在很多领域都有应用，例如预测未来事件、做出决策、评估风险等独立事件定义公式如果事件的发生不影响事件发生的概率，反之亦然，则两个事件和相互独立的条件是A BA BPA∩B=PAPB称事件和事件相互独立A B乘法公式事件的独立性如果事件的发生不影响事件发生的概率，则称A B事件和事件是相互独立的，反之则称为不独立A B的乘法公式对于两个事件和，如果它们相互独立，则它们A B同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积PA∩B=PA*PB应用乘法公式在计算多个事件同时发生的概率时非常有用，例如计算连续多次投掷硬币正面朝上的概率全概率公式全概率公式1PA=∑PBiPA|Bi事件Bi2构成样本空间的完备事件组PBi3事件的先验概率BiPA|Bi4在事件发生的条件下，事件发生的条件概率Bi A全概率公式可以用来计算事件的概率，即使发生在多个互斥的事件之下它将事件的概率分解成在每个发生条件AABi ABi下的概率之和，加权平均每个条件概率贝叶斯公式公式1PA|B=[PB|A*PA]/PB解释2用于更新先验概率，基于新的证据应用3机器学习、医疗诊断、风险评估等领域贝叶斯公式是概率论中一个重要的公式，它可以用来计算一个事件在另一个事件已经发生的情况下发生的概率这个公式在许多领域都有应用，例如机器学习、医疗诊断、风险评估等等离散随机变量定义特点离散随机变量是指其取值只能是离散随机变量的主要特点是其取有限个或可数个值的随机变量值可以被计数，并且可以被表示换句话说，其取值可以是整数，为一个有限的或可数的集合这也可以是有限个离散值离散随与连续随机变量形成对比，连续机变量通常用于描述事件发生的随机变量可以在一个给定的范围次数，如掷硬币正面朝上的次数内取任意值或一小时内接到的电话次数示例一些离散随机变量的常见示例包括掷骰子得到的点数•一小时内接到的电话次数•一个样本中出现缺陷产品的数量•离散随机变量的分布函数定义公式性质离散随机变量的分布函数，也称为累积分布对于一个离散随机变量，其分布函数单调递增随着的增大，不会减X Fx•x Fx函数（），表示随机变量取值小于或等定义为小CDF于某个特定值的概率右连续在的右极限处，存在且•x FxFx=PX≤x等于本身Fx取值范围的取值范围在到•Fx01之间二项分布定义公式12二项分布描述了在次独立试n PX=k=nCk*p^k*验中，每次试验只有两种可能1-p^n-k结果（成功或失败），且每次试验的成功概率为，则在p n次试验中获得次成功的概率k应用3二项分布广泛应用于各种领域，例如掷硬币、产品质量检验、调查问卷等泊松分布泊松分布的应用泊松分布公式泊松分布是用于描述在特定时间段或特定空间内事件发生的概率分布它可泊松分布的公式为以用来模拟各种现象，例如电话呼叫中心在特定时间段内接到的电话数量PX=k=λ^k/k!*e^-λ•某一区域内某一特定时间段内发生的交通事故数量•其中特定时间段内在特定区域内检测到的放射性衰变数量•是事件平均发生率•λ是事件发生次数•k是自然常数•e超几何分布定义应用特点超几何分布描述了从有限总体中抽取超几何分布常用于以下场景样本的抽取是无放回的，这意味着•样本，当样本中成功的次数取决于总每次抽取后都不会将样本放回总体从有限总体中抽取样本，例如从一•体的成功次数时，随机变量的概率分中批产品中抽取样品进行质量检验布样本中成功的次数取决于总体的成•功次数从人群中抽取样本，例如从某个城•市的人口中抽取样本进行调查连续随机变量定义分布函数如果随机变量的值可以在某个区间内连续随机变量的分布函数是一个函数取任何值，则称为连续随机变量例，它表示随机变量取小于或等于某个如，人的身高、体重、温度等值的概率概率密度函数连续随机变量的概率密度函数是一个函数，它表示随机变量取某个值附近的概率连续随机变量的分布函数定义性质对于连续随机变量，其分单调递增当小于X x1x2布函数定义为取值时，小于或等于Fx XFx1小于或等于的概率，即x Fx2右连续对于任意，x Fx+Fx=PX≤x等于Fx极限值，F-∞=0F+∞=1均匀分布连续概率分布特征例子均匀分布是一种连续概率分布，其中在每个值都有相同的概率区间外一个标准六面骰子的结果，每个面都---一个特定区间内的所有值出现的概率都的值概率为零概率密度函数为常有相同的概率一台机器产生的随--相同也就是说，在这个区间内，每个数机数，每个数在特定范围内都有相同的值都有相等的概率概率正态分布定义参数正态分布，也称为高斯分布，正态分布由两个参数确定平是一种常见的连续概率分布均值和标准差平均μσ它以其钟形曲线而闻名，曲线值决定了曲线的中心位置，而对称，峰值位于平均值处正标准差决定了曲线的形状，即态分布在自然界和社会现象中数据点的分散程度标准差越广泛存在，例如人类身高、血大，曲线越平坦，数据点越分压和考试成绩散；标准差越小，曲线越尖锐，数据点越集中重要性正态分布在统计学和概率论中起着至关重要的作用它广泛用于假设检验、置信区间估计和预测模型由于许多自然现象和社会现象都近似于正态分布，因此它在数据分析、决策制定和科学研究中得到广泛应用正态分布的性质对称性峰度标准差正态分布曲线关于其均值对称，这意正态分布曲线呈钟形，在均值处达到标准差决定了正态分布曲线的形状，味着曲线两侧的面积相等峰值，然后逐渐下降标准差越大，曲线越扁平，反之，曲线越尖锐正态分布的标准化标准化目的将任意正态分布转换为标准正态分布，方便比较不同正态分布的概率标准化公式Z=X-μ/σ标准正态分布均值为，标准差为的正态分布，记为01N0,1应用通过标准化，可以使用标准正态分布表查找概率，简化计算正态分布的应用1234统计推断质量控制金融领域医学研究正态分布是统计推断的基础，在质量控制中，正态分布可以正态分布在金融领域有着广泛在医学研究中，正态分布可以它允许我们对样本数据进行分用于监控生产过程，识别异常的应用，例如，可以用于模拟用于分析数据，并识别治疗方析，并推断总体参数例如，情况，并确保产品的质量稳定资产价格的变化，估算风险，法的效果例如，可以利用正我们可以使用正态分布来检验例如，可以利用正态分布来以及构建投资组合态分布来比较不同治疗组的患假设，构建置信区间，以及进设定产品的合格范围，并识别者恢复情况行预测超出范围的产品中心极限定理概念重要性中心极限定理指出，当样本量足够中心极限定理在统计学中非常重要大时，无论总体分布如何，样本均，因为它使我们可以使用正态分布值的分布都近似于正态分布这意来分析许多现实世界中的数据，即味着，即使总体分布不是正态分布使我们不知道总体的真实分布这，我们仍然可以利用正态分布的性在估计总体参数、进行假设检验和质来进行推断构建置信区间时非常有用应用中心极限定理在许多领域都有应用，例如质量控制估计产品的平均质量•民意调查预测选举结果•金融分析投资组合的风险•随机变量的期望期望是随机变量所有可能取值的期望可以被认为是随机变量的“加权平均值，权重为每个取值的中心值或平均值”“”概率期望可以用于计算随机变量的长期平均值随机变量的方差方差的定义计算公式意义方差是用来衡量随机变量与其期望值的，其中方差越大，随机变量的取值越分散；方VarX=E[X-EX^2]离散程度的指标，反映了随机变量取值为随机变量的期望值差越小，随机变量的取值越集中EX X的波动程度随机变量的协方差和相关系数协方差相关系数12衡量两个随机变量之间线性关是协方差的标准化形式，取值系的程度协方差为正表示两范围在到之间相关系数-11个变量同向变化，协方差为负的绝对值越大，表示两个变量表示两个变量反向变化，协方之间的线性关系越强相关系差为零表示两个变量之间没有数为正表示两个变量同向变化线性关系，相关系数为负表示两个变量反向变化，相关系数为零表示两个变量之间没有线性关系大数定律概念重要性应用大数定律是指当样本容量足够大时，大数定律是概率论和统计学中最基本大数定律在现实生活中有着广泛的应样本均值会趋近于总体均值也就是的概念之一，它提供了理论基础，使用，例如保险公司根据大数定律计说，随着样本量的增加，样本均值对我们可以通过样本数据推断总体特征算保费、赌场根据大数定律设置赔率总体均值的估计越来越准确、市场调查中通过样本数据推断总体特征等几何分布定义参数几何分布描述的是在独立重复试几何分布只有一个参数，即成功验中，直到获得第一次成功所需的概率*p*的试验次数的概率分布例如，在掷骰子中，直到掷出的次6数的概率分布遵循几何分布公式性质几何分布的概率质量函数为几何分布具有无记忆性，这意味，着过去的结果不会影响未来结果PX=k=1-p^k-1*p其中是试验次数，是成功的概率例如，如果已经连续掷k p的概率了次都没有掷出，则下106一次掷出的概率仍然是61/6指数分布定义公式案例指数分布是一种连续概率分布，用于描指数分布的概率密度函数为例如，如果一个设备的平均故障时间为:述事件发生的时间间隔它常用于分析小时，那么我们可以使用指数1000事件发生的时间，例如设备故障、客户分布来计算该设备在未来小时内fx=λe^-λx500服务等待时间或顾客到达商店的时间发生故障的概率其中是事件发生率，是时间间隔λx伽马分布定义参数12伽马分布是用来描述随伽马分布有两个参数****机事件发生时间的概率形状参数和尺度参****α**分布它在可靠性分析数形状参数控制****βα、排队论和生存分析分布的形状，尺度参数****β等领域有着广泛的应用控制分布的尺度**性质3伽马分布具有非负性，即随机变量的值总是大于或等于****零它还有形状可变性，可以根据不同的参数组合呈现****出不同的形状，例如单峰、多峰或呈指数衰减卡方分布卡方分布是一种重要的概率分布，广卡方分布的概率密度函数由自由度参泛应用于假设检验和置信区间估计数决定，通常记为χ2卡方分布常用于检验样本方差与总体方差之间的差异，以及检验变量之间是否存在关联性分布t分布概述分布特点应用场景t t分布是一种连续概率分布，常用于样自由度影响形状分布的形状取决分布在假设检验中广泛应用，例如t•t t本量较小且总体标准差未知的情况下进于自由度，自由度越大，分布越接比较两个样本均值、检验单个样本均值t行统计推断它与正态分布类似，但更近正态分布是否等于某个特定值等强调样本大小的影响尾部更厚分布的尾部比正态分布•t更厚，这意味着极端值的出现概率更高分布F分布是一种连续概率分布，用于比分布的公式依赖于自由度，用于表F F较两个样本方差的比率示样本方差的差异程度分布表用于查阅特定自由度下的值F F，从而进行假设检验概率分布的选择数据类型数据分布应用场景首先，要确定数据是离散的还是连续其次，要观察数据的分布情况直方最后，要考虑数据应用的场景不同的离散数据指的是可以计数的数据图或箱线图可以帮助识别数据的分布的概率分布适用于不同的场景例如，例如硬币抛掷的结果连续数据指类型常见的数据分布包括正态分布，二项分布适用于独立事件的重复试的是可以取任何值的数据，例如身高、泊松分布、二项分布等验，泊松分布适用于单位时间内事件或体重发生的次数结论和复习回顾重点应用实践12本课程系统地介绍了概率通过学习概率论，我们可论的基础知识，包括基本以更好地理解随机现象，概念、概率的计算、随机并运用概率方法解决现实变量及其分布等重点强问题，例如在金融、工程调了概率分布的应用，以、医学等领域进行数据分及它们在现实世界中的重析和风险评估要性持续学习3概率论是一个庞大而复杂的学科，鼓励您持续学习和探索，不断扩展您的知识和技能，以应对更复杂和更具挑战性的问题。