《基本数学函数的导数教学课件》

基本数学函数的导数教学课件本课件旨在帮助学生深入理解基本数学函数的导数概念，掌握导数的计算方法，并了解导数在各个领域的应用我们将从函数的基本概念出发，逐步讲解导数的概念、计算规则以及应用函数的概念和表示法定义表示法函数是将一个集合中的元素与另一个集合中的元素之间建立的一函数可以用多种方式表示，常见的表示法包括解析式、图像、表种对应关系，即对于集合中的每一个元素，在集合中都格和程序等解析式是将函数用数学公式表示，例如；A xB y=x^2有唯一确定的元素与之对应，这种对应关系称为函数，记作图像则将函数用图形表示，例如抛物线；表格是用表格的形式列y出函数的对应关系，例如和的对应值；而程序则是用代码y=fx x y实现函数的算法逻辑函数的基本性质定义域函数的自变量取值范围值域函数的因变量取值范围单调性函数的增减趋势奇偶性函数关于原点或纵轴的对称性周期性函数在一定范围内呈周期性变化初等函数的分类常数函数幂函数，其中为常数，其中为实数y=c cy=x^n n指数函数对数函数，其中且，其中且y=a^x a0a≠1y=log_a x a0a≠1三角函数反三角函数y=sin x,y=cos x,y=tan x,y=cot x,y=sec y=arcsin x,y=arccos x,y=arctan x,y=arccot x,y=csc x x函数图像的特征直线函数的图像是一条直线二次函数的图像是一个抛物线指数函数的图像是一个指数曲对数函数的图像是一个对数曲线线正弦函数的图像是一个正弦波函数的单调性2单调递减当时，有x1x2fx1fx2单调递增1当时，有x1x2fx1fx2非单调函数在定义域内既有增区间，也有减区间3函数的奇偶性奇函数1对于任意实数，有奇函数的图像关于原x f-x=-fx点对称偶函数2对于任意实数，有偶函数的图像关于x f-x=fx y轴对称非奇非偶3既不满足奇函数的条件，也不满足偶函数的条件函数的周期性周期性存在一个正数，对于任意实数，有T x fx+T=fx周期称为函数的周期，是最小的正数使得T Tfx+T=fx初等函数的定义域和值域常数函数定义域，值域R{c}幂函数定义域根据幂次的不同而不同，例如当为偶数时，定义域为；当为奇数时，定义域为n Rn R指数函数定义域，值域R0,+∞对数函数定义域，值域0,+∞R三角函数定义域根据不同的三角函数而不同，例如和的定义域为，和的定义域分别为sin xcos xR tanx cot x x≠kπ+和π/2x≠kπ函数的极限极限的概念当自变量趋近于某一个值时，函数的值无限接近于一个常数，那么就称xaL L1为函数当趋近于时的极限，记作fx xa lim_x→a fx=L极限的性质2极限具有许多性质，例如极限的唯一性、极限的运算规则等极限的应用3极限是微积分的基础，在数学、物理、经济等各个领域都有着广泛的应用导数的概念导数的定义1函数在点处的导数是指函数在点处的瞬时变化率，即当趋近于时，fx x0fx x0Δx0Δy/Δx的极限，记作或fx0dfx/dx|_x=x0导数的意义2导数表示函数在某一点的瞬时变化率，它可以用来描述函数在该点的变化趋势和变化快慢导数的应用导数在微积分、物理、经济、工程等各个领域都有着广泛的应3用，例如求函数的极值、判断函数的单调性、计算物体的速度和加速度等导数的几何意义x fx函数在点处的导数的几何意义是函数在点处的切线的斜率切线是函数曲线在该点处的最佳线性逼近，导数反映了切线的倾斜程度，即函数在该点fx x0fx0fx x0处的变化率导数的计算规则和差函数的导数积函数的导数商函数的导数复合函数的导数如果和可导，则如果和可导，则如果和可导，且如果和可导，则ux vxux vxux vxux vx，则ux±vx=ux±uxvx=uxvx+vx≠0ux/vx=uvx=uvxvxvx uxvxuxvx-uxvx/[vx]^2常数函数的导数常数函数的导数为，即对于任何常数，有0c c=0幂函数的导数幂函数的导数为，其中为实数y=nx^n-1n指数函数的导数指数函数的导数为，其中且y=a^x lna a0a≠1对数函数的导数对数函数的导数为，其中且y=1/x lna a0a≠1三角函数的导数1sin xy=cos x2cos xy=-sin x3tan xy=sec^2x4cot xy=-csc^2x反三角函数的导数12arcsin xarccos xy=1/√1-x^2y=-1/√1-x^234arctan xarccot xy=1/1+x^2y=-1/1+x^2和差函数的导数和函数的导数ux+vx=ux+vx差函数的导数ux-vx=ux-vx积函数的导数积函数的导数公式uxvx=uxvx+uxvx商函数的导数商函数的导数公式ux/vx=uxvx-uxvx/[vx]^2复合函数的导数复合函数的导数公式uvx=uvxvx高阶导数二阶导数函数的二阶导数是fx fx的导数，记作或fxd^2fx/dx^2高阶导数函数的阶导数是fx nf^n-的导数，记作1xf^nx或d^nfx/dx^n隐函数的导数隐函数的定义如果方程能够确定Fx,y=0是的函数，但无法直接将y xy表示为的显式函数，则称该方x程所确定的函数为隐y=fx函数隐函数的求导对隐函数方程两边Fx,y=0同时对求导，然后利用链式法x则等求出y参数方程下的导数参数方程的定义如果曲线上的点坐标和可xy以用一个参数的函数来表示，t即，，则称x=xt y=yt为该曲线的参数方xt,yt程参数方程下的求导对参数方程，x=xt y=yt两边同时对求导，然后利用链t式法则等求出dy/dx函数的极值极值的定义设函数在点的某个邻域内有定义，如果对于该邻域内fx x0的任意点，都有，则称为函xx≠x0fx≤fx0fx0数的极大值；如果对于该邻域内的任意点，fx xx≠x0都有，则称为函数的极小值fx≥fx0fx0fx求极值的方法求函数的极值一般需要先求出函数的导数，然后找出导数为0的点，以及导数不存在的点，最后利用极值判别法来判断这些点是否是极值点函数的单调性与极值单调性与极值的关系函数的单调性与极值之间存在着密切的关系在导数为的点或0导数不存在的点处，函数的单调性可能发生改变，这些点可能就是函数的极值点极值判别法如果函数在点处的导fx x0数，且在fx0=0fx x0的左侧为正，右侧为负，则为极大值；如果在fx0fx的左侧为负，右侧为正，则x0为极小值；如果在fx0fx的两侧符号相同，则x0fx0不是极值点函数的最大值与最小值最大值与最小值的定义设函数在区间上fx[a,b]有定义，如果存在点x0∈[a,，使得或b]fx0≥fx对任意fx0≤fx x∈[a,成立，则称为函数b]fx0在区间上的最大值fx[a,b]（或最小值）求最大值与最小值的方法求函数在闭区间上的最大值与最小值，需要先求出函数在该区间上的所有极值点，然后比较这些极值点以及端点处的函数值，最大的函数值就是最大值，最小的函数值就是最小值函数的图像描绘图像描绘步骤确定函数的定义域；求出

1.

2.函数的导数，并找出导数为的0点以及导数不存在的点；利用

3.导数信息判断函数的单调性，并找出函数的极值点；求出函数

4.的截距，即函数与坐标轴的交点；根据上述信息，描绘出函数

5.的图像函数图像的特征与应用图像特征函数图像的特征可以反映函数的许多性质，例如函数的单调性、奇偶性、周期性、极值点、拐点等图像应用函数图像可以用来直观地展示函数的变化规律，帮助我们理解函数的性质，并解决实际问题基本数学函数的导数应用求函数的极值利用导数可以求出函数的极值点，从而找到函数的最大值和最小值判断函数的单调性利用导数可以判断函数的增减趋势，从而确定函数的单调区间求函数的拐点利用二阶导数可以求出函数的拐点，从而确定函数的凹凸性求函数的切线方程利用导数可以求出函数在某一点处的切线方程，从而描述函数在该点处的线性逼近导数在物理中的应用速度和加速度速度是位移的变化率，加速度是速度的变化率，都可以用导数来表示功和能功是力在位移方向上做的功，能量是物体做功的能力，都可以用积分来表示，而积分是导数的反运算导数在经济中的应用边际成本边际成本是指生产增加一个单位产品所增加的成本，可以用成本函数的导数来表示边际收益边际收益是指销售增加一个单位产品所增加的收益，可以用收益函数的导数来表示导数在工程中的应用优化设计利用导数可以对工程设计进行优化，例如寻找最佳的材料、形状、尺寸等控制系统导数在控制系统中被用来描述系统输出的变化率，从而实现对系统行为的控制导数在医学中的应用疾病模型导数可以用来建立疾病模型，模拟疾病的传播和发展规律药物动力学导数可以用来描述药物在体内的吸收、分布、代谢和排泄过程，从而优化药物的剂量和给药方案导数在生活中的应用最优决策导数可以帮助我们做出最优决策，例如寻找最短的路线、最快的速度、最便宜的价格等数据分析导数可以用来分析数据，例如求出数据的变化趋势、找出数据的异常值等重要公式汇总常数函数的导数c=0幂函数的导数x^n=nx^n-1指数函数的导数a^x=a^x lna对数函数的导数log_a x=1/x lna三角函数的导数sin x=cos xcosx=-sin xtanx=sec^2xcot x=-csc^2xsec x=sec xtan xcsc x=-cscxcotx反三角函数的导数arcsin x=1/√1-x^2arccos x=-1/√1-x^2arctan x=1/1+x^2arccot x=-1/1+x^2和差函数的导数ux±vx=ux±vx积函数的导数uxvx=uxvx+uxvx商函数的导数ux/vx=uxvx-uxvx/[vx]^2复合函数的导数uvx=uvxvx典型习题演示例题求函数的导数y=x^3-2x^2+3x-1解题步骤y=x^3-2x^2+3x-1=3x^2-4x+3综合案例分析案例一个企业生产某种产品的成本函数为Cx=100+10x+，其中是产品的产量

0.1x^2x求该企业的边际成本函数，并分析当产量为个单位时，边际100成本是多少解题步骤边际成本函数为成本函数的导

1.数，即；Cx=10+

0.2x

2.当产量为个单位时，边际成100本为C100=10+

0.2*100=30教学反馈与总结教学反馈通过课堂练习和作业，了解学生对本节内容的掌握情况，并及时进行答疑解惑教学总结本节课主要讲解了基本数学函数的导数概念、计算规则以及应用，学生应该能够掌握导数的基本知识，并能将其应用于解决实际问题课后思考与讨论课后思考导数的概念和计算方法有哪些

1.应用？导数在不同领域有哪些

2.应用？如何利用导数解决实际

3.问题？讨论鼓励学生之间互相讨论，分享学习心得，并提出疑问，共同探讨导数的应用和拓展。