《线性代数中的向量空间运算》课件

线性代数中的向量空间运算向量空间是线性代数中的一个核心概念，它为研究线性变换、矩阵运算等提供了基础向量空间运算包括向量加法、向量乘法、线性组合等，是理解和应用线性代数的关键什么是向量空间直观理解例子向量空间是数学中一个重要的概念，它指的是包含一系列向例如，二维平面上的所有向量就是一个向量空间我们可以量并满足一定运算规则的集合简单来说，向量空间就是一将两个向量相加，也可以将一个向量乘以一个标量这些运个容纳向量的容器，在这个容器中，我们可以进行向量的加算满足向量空间的公理，因此二维平面上的所有向量构成了法和标量乘法运算，并且这些运算满足一些基本的性质一个向量空间向量空间的定义向量集加法运算标量乘法运算向量空间由一个向量集合构成，这些向向量空间中的向量可以进行加法运算，向量空间中的向量可以进行标量乘法运量可以进行加法和标量乘法运算，并满结果仍然是该向量空间中的向量算，结果仍然是该向量空间中的向量足特定的公理向量空间的公理加法公理加法公理12封闭性两个向量相加，结果仍然是该向量空间中的向量交换律向量加法满足交换律，即a+b=b+a加法公理加法公理34结合律向量加法满足结合律，即a+b+c=a+b+c零向量存在零向量0，满足a+0=a对任何向量a成立加法公理标量乘法公理56加法逆元每个向量a存在加法逆元-a，满足a+-a=0封闭性标量乘以向量，结果仍然是该向量空间中的向量标量乘法公理标量乘法公理78分配律标量乘法对向量加法满足分配律，即ca+b=ca+cb分配律标量乘法对标量加法满足分配律，即c+da=ca+da标量乘法公理标量乘法公理910结合律标量乘法满足结合律，即cda=cda单位元存在单位元1，满足1a=a对任何向量a成立向量加法几何意义1向量加法遵循平行四边形法则代数运算2对应分量相加性质3满足交换律、结合律和零向量性质向量加法的性质交换律结合律零向量加法逆元对于任意两个向量和对于任意三个向量，存在一个唯一的零向量对于每个向量，存在一**u****u****0****u**，有和，有，使得对于任意向量，个唯一的逆向量，使得**v****u**+**v**=**v****v****w****u**+**u**-**u**有+**u****v**+**w**=**u**+**v****u**+**0**=**u****u**+-**u**=**0**+**w**标量乘法定义1标量乘法是指将一个标量乘以一个向量，得到一个新的向量运算规则2标量乘以向量，将标量乘以向量的每个分量例子3例如，标量乘以向量得到向量21,2,32,4,6标量乘法的性质分配律结合律标量乘法对向量加法满足分配律即对于任何标量k和向量u、v，有标量乘法对标量乘法满足结合律即对于任何标量k、l和向量u，有•klu=klu•ku+v=ku+kv单位元零元存在一个标量1，对于任何向量u，有存在一个标量0，对于任何向量u，有•1u=u•0u=0线性组合向量相加标量乘法线性组合就像一群人一起举起一个箱子，向量可单个向量可以乘以一个标量（数字），将多个向量通过加法和标量乘法结合，以通过加法组合在一起改变其大小或方向称为线性组合线性相关与线性无关线性相关线性无关当一个向量组中，存在一个如果一个向量组中，任何一向量可以被其他向量的线性个向量都不能被其他向量的组合表示时，这个向量组被线性组合表示，则该向量组称为线性相关换句话说，被称为线性无关这意味着如果存在非零的系数，使得向量组中每个向量都是独一向量组中某个向量可以表示无二的，无法被其他向量组成其他向量的线性组合，则合出来该向量组线性相关向量组的线性相关性判断一个向量组是否线性相关，可以通过以下方线性相关性与向量组的性质密切相关，例如:线性相关性在向量空间中起着重要的作用，例如法::•如果向量组中包含零向量，则向量组线性相•将向量组写成矩阵形式，并进行行初等变换关•线性相关性可以用来判断向量组是否构成向量空间的基底•如果矩阵的秩等于向量组中向量的个数，则•如果向量组中存在一个向量可以表示成其他向量组线性无关向量的线性组合，则向量组线性相关•线性相关性可以用来判断向量空间的维数•如果矩阵的秩小于向量组中向量的个数，则•如果向量组中存在两个相同的向量，则向量•线性相关性可以用来判断线性方程组是否有向量组线性相关组线性相关解和生成集Span生成集Span是指由向量空间中某个向如果一个向量组的等于整Span Span量组的所有线性组合所能构成个向量空间，则称该向量组为的所有向量的集合也就是说该向量空间的生成集这意味，是向量组能够到达的着，该向量组中的向量可以用Span“”所有向量的集合来生成整个向量空间中的所“”有向量子空间定义直观理解向量空间的子空间是的一个非空子集，它在中的子空间就像一个向量空间的子集，它保留了向量空间的基V W V V向量加法和标量乘法运算下封闭换句话说，如果和是本运算性质例如，在三维空间中，一条直线、一个平面都u v中的任何向量，并且是任何标量，那么和也是三维空间的子空间，因为它们满足向量加法和标量乘法的W cu+v c*v必须在中封闭性W子空间的检验条件封闭性子空间必须对向量加法和标量乘法封闭这意味着，如果子空间包含两个向量，那么它们的和也必须在子空间中同样，如果子空间包含一个向量，那么该向量乘以任何标量得到的向量也必须在子空间中零向量子空间必须包含零向量零向量是向量空间中唯一一个既是加法单位元又是标量乘法单位元的向量子空间的维数子空间的维数是指其基底中向量的个数，它反映了子空间的大小1n零子空间维空间n其维数为其维数为0nm维子空间m其维数为，其中小于等于m mn向量组的基底和维数基底维数在一个向量空间中，一个线性无关的向量组，可以线性表示一个向量空间的维数是指该空间的基底中向量的个数维数该空间中任何向量，称为该空间的基底基底是向量空间的表示了向量空间的自由度，它决定了空间中可以线性无关的““”骨架，可以用来唯一地表示空间中的任何向量向量的最大数量”基底的求法寻找线性无关向量

1.1在给定向量空间中，寻找一组线性无关的向量，这些向量能够生成整个向量空间可以使用高斯消元法等方法判断向量组的线性无关性检验生成性

2.2验证找到的线性无关向量组是否能够生成整个向量空间可以使用线性组合的方式，检查是否能够表示出向量空间中的任意向量确定基底

3.3如果找到的线性无关向量组能够生成整个向量空间，那么这组向量就是该向量空间的基底基底是向量空间中的一组线性无关且能够生成整个向量空间的向量组从基底到坐标的转换线性无关向量1在向量空间中，线性无关的向量集被称为基底，它可以用来表示空间中的任何向量坐标表示2对于一个向量，我们可以找到其在基底下的坐标表示，即每个基底向量所对应的系数转换过程3将一个向量在基底下的坐标表示转换为其在标准基底下的坐标表示，可以通过矩阵乘法来实现从坐标到基底的转换坐标1向量在基底下的表示基底2线性无关的向量集合转换3将坐标乘以对应基向量从坐标到基底的转换，是将向量在基底下的坐标表示转化为向量本身的过程简单来说，就是将向量在基底下的坐标乘以对应基向量，然后将这些结果相加向量空间同构定义意义如果两个向量空间和之间存在一个双射线性变换，则称同构意味着两个向量空间在代数结构上是相同的，只是用不同V W这两个向量空间同构的符号表示这使得我们可以将一个向量空间中的问题转化为另一个向量空间中更容易解决的问题同构的判定条件维数相同存在线性同构映射两个向量空间同构的必要条件两个向量空间同构的充分必要是它们的维数相同这意味着条件是存在一个双射的线性映它们具有相同的线性无关向量射，将一个向量空间的元素映个数，可以表示同一个空间中射到另一个向量空间的元素，的所有向量并且保持加法和标量乘法的运算基底与同构的关系同构向量空间的基底具同构映射可以将一个向12有相同的维数量空间的基底映射到另一个向量空间的基底如果两个向量空间同构，那么它们的基底具有相同的维同构映射可以将一个向量空数这表明同构向量空间在间的基底中的每个向量映射结构上是等价的，它们拥有到另一个向量空间的基底中相同数量的线性无关向量来的对应向量这表明同构映生成整个空间射保持了向量空间的线性结构，将一个空间的基底向量与另一个空间的基底向量建立了一一对应关系向量空间的直和定义判定条件设\V\是一个向量空间，\U\和\W\是\V\是\U\和\W\的直和当且仅当\V\V\的两个子空间，如果\V\中的每个向=U+W\且\U\cap W=\{0\}\量\v\都能唯一地表示为\U\中的一个向量\u\和\W\中的一个向量\w\的和，即\v=u+w\，那么称\V\是\U\和\W\的直和，记为\V=U\oplus W\性质•\U\cap W=\{0\}\•\V=U+W\•\dimV=dimU+dimW\直和的性质子空间的和子空间的直和两个子空间的和是指包含这两个子空间的所有向量组成的集合如果两个子空间的和等于整个向量空间，且它们的交集只有零向量，则称这两个子空间的和为直和向量空间的商空间定义运算设是一个向量空间，是的商空间也是一个向量空间，V W V V/W一个子空间我们定义模的其加法和标量乘法定义如下V W-商空间，记作，它是中所加法对于和属V/W Vv1+W v2+W有与中的向量相差一个向量组于，定义W V/W v1+W+v2+成的集合标量乘法W=v1+v2+W-对于属于和属于v+W V/W c标量域，定义cv+W=cv+W意义商空间可以用来研究向量空间的结构，特别是当子空间是的一个重要W V子空间时例如，在微积分中，我们经常研究函数空间的商空间，来研究函数的导数和积分商空间的性质子空间的商空间商空间的运算商空间的维数对于向量空间的子空间，商空间商空间上的加法和标量乘法定义商空间的维数等于的维数减去V W V/WV/WV是由中所有与中元素相差一如下的维数V/WV W W个元素构成的等价类集合u+W+v+W=u+v+Wcu+W=cu+W向量空间的齐次坐标齐次坐标的概念齐次坐标的表示在向量空间中，齐次坐标是一种用更高一个点的齐次坐标表示为，其中x,y,w维空间的坐标来表示低维空间点的坐标是该点在低维空间中的坐标，是x,y w方法它通过引入一个额外的维度，将一个非零的标量，称为比例因子当w二维平面或三维空间的点映射到更高维时，齐次坐标等价于非齐次坐标=1空间的点齐次坐标的应用齐次坐标广泛应用于计算机图形学、几何变换、射影几何等领域，例如用于处理平移、旋转、缩放、透视等变换齐次坐标的性质扩展性统一性透视投影

1.

2.

3.123齐次坐标可以将二维空间中的点齐次坐标可以统一表示平移、旋齐次坐标可以方便地进行透视投表示成三维空间中的点，从而方转、缩放等变换，简化了变换的影变换，实现三维场景到二维图便地进行旋转、平移、缩放等变表示和计算像的投影换仿射空间与齐次坐标仿射空间齐次坐标仿射空间是向量空间的一种推广它在向量空间的基础上，齐次坐标是用来表示仿射空间中点的一种方法它将一个维n添加了一个原点，从而可以描述点的位置仿射空间中的点仿射空间中的点表示为一个维向量最后一个坐标为，n+11可以通过向量来表示，但是它不像向量空间那样可以进行加代表点的位置，而前个坐标则代表点在向量空间中的方向n法和标量乘法运算射影空间与齐次坐标透视投影无穷远点齐次坐标射影空间的概念源于透视投影，它将三在射影空间中，平行线相交于无穷远点使用齐次坐标表示射影空间中的点，它维空间中的点映射到二维平面，产生近，将无穷远点引入可以简化几何计算，包含了点的位置信息和比例信息，适用大远小的视觉效果并处理平行线问题于处理透视投影和几何变换线性变换定义性质矩阵表示线性变换是向量空间之间的一种映射，线性变换保持零向量线性变换可以用矩阵来表示，矩阵的乘•它满足线性性质，即加法和标量乘法的法对应于线性变换的运算线性变换保持向量加法•保持线性变换保持标量乘法•线性变换的性质可加性齐次性对于向量空间上的任何线性对于向量空间上的任何线性V V变换，以及中的任何向量变换，以及中的任何向量T V T V和，都有和标量，都有u vTu+v=Tu uk Tku=+Tv kTu零向量不变对于向量空间上的任何线性变换，都有VT T0=0线性变换的矩阵表示矩阵表示的定义矩阵表示的性质12线性变换可以表示为矩阵，线性变换的矩阵表示与所选矩阵的列向量对应于线性变基底密切相关，不同的基底换作用在基向量上的结果对应不同的矩阵表示矩阵表示的应用3矩阵表示可以用于计算线性变换，分析线性变换的性质，并解决线性方程组等问题线性变换的核和像核像12线性变换的核是指所有被变线性变换的像是指所有经过换成零向量的向量集合用线性变换后的向量集合用数学符号表示为数学符号表示为kerT imT重要性3核和像是理解线性变换的关键概念，它们可以帮助我们分析线性变换的性质和特征线性变换的秩和秩定理线性变换的秩秩定理线性变换的秩是指其像空间的维数，它反映了线性变换将向量秩定理指出，对于任意线性变换，其秩等于其定义T:V-W空间压缩的程度秩越大，压缩程度越小，保留的信息越多域的维数减去其核的维数换句话说，变换保留的信息量等V于原始信息量减去丢失的信息量线性变换的逆变换定义如果线性变换\T:V\rightarrow W\是可逆的，则存在一个线性变换\S:W\rightarrow V\满足\ST=I_V\和\TS=I_W\，其中\I_V\和\I_W\分别是\V\和\W\上的恒等变换此时，\S\称为\T\的逆变换，记为\T^{-1}\存在性线性变换\T\可逆的充要条件是\T\是单射且满射换句话说，\T\的核只有零向量，并且\T\的像等于\W\性质如果\T\可逆，则\T^{-1}\也是线性变换，且\T^{-1}^{-1}=T\此外，\ST^{-1}=T^{-1}S^{-1}\矩阵表示如果\T\由矩阵\A\表示，且\T\可逆，则\T^{-1}\由矩阵\A^{-1}\表示线性变换的复合定义1两个线性变换的复合仍然是线性变换性质2复合运算满足结合律应用3将多个线性变换组合成一个复杂的变换线性变换的复合指的是将多个线性变换依次执行，最终得到一个新的线性变换这在许多实际应用中都非常有用，例如图像处理、信号处理、计算机图形学等领域通过复合线性变换，我们可以将复杂的变换分解成一系列简单的线性变换，从而简化操作线性变换的对偶定义性质对于线性空间和上的线性变换，其对偶变换定义是唯一的VWTT*•T*为从到的线性变换，满足W*V*•T1+T2*=T1*+T2*对于任意∈和∈，有•kT*=kT*v Vw*W*T*w*v=w*Tv•T1T2*=T2*T1*线性变换的特征值和特征向量特征值特征向量线性变换作用在向量空间上的特征向量是对应于特征值的非结果，可能改变向量的方向和零向量，它在进行线性变换后长度特征值代表线性变换在，方向保持不变，只发生长度特定方向上的伸缩比例它反的伸缩特征向量是线性变换映了线性变换对该方向上的向的不变向量，它能够帮助我“”量的影响程度们理解线性变换的几何意义应用特征值和特征向量在许多领域都有广泛的应用，例如矩阵对角化、微分方程求解、图像处理、信号处理、数据分析等矩阵的特征值分解矩阵分解特征值和特征向量将矩阵分解成更简单的矩阵形式，特征值代表矩阵对向量缩放的程度以更好地理解其性质和应用例如，特征向量代表矩阵变换的方向，特征值分解将矩阵分解成特征向特征值分解揭示了矩阵对向量空间量和特征值的线性变换性质对角化特征值分解可以将矩阵对角化，简化矩阵的运算，并方便求解线性方程组和微分方程等问题矩阵的标准型Jordan定义应用12标准型是指将一个矩标准型在解决线性代Jordan Jordan阵通过相似变换转化为一个数中的许多问题中扮演着重特殊的对角矩阵，该对角矩要角色，例如计算矩阵的幂阵的非对角元素为，对角、求解线性微分方程组等0元素为矩阵的特征值，并且每个特征值对应的块Jordan按特征值的递减顺序排列性质3任何方阵都存在标准型，并且标准型是唯一的，即所Jordan Jordan有相似矩阵的标准型相同Jordan总结与展望本课程介绍了线性代数中向量空间运算的基本概念和应用我们学习了向量空间的定义、公理、运算性质，以及子空间、基底、维数等重要概念同时，我们还探讨了线性变换、特征值和特征向量等重要概念。