《高等函数的连续性与极限》课件

《高等函数的连续性与极限》本课件旨在帮助您理解高等函数的连续性与极限的概念、性质及应用，并掌握相关计算技巧课程大纲连续性的定义函数的连续性分类

11.

22.一般函数的连续性判定复合函数的连续性

33.

44.初等函数的连续性函数的性质与连续性

55.

66.函数极限的定义极限的性质

77.

88.利用性质计算极限极限的代数运算

99.

1010.函数极限的性质单侧极限与双侧极限

1111.

1212.无穷小与无穷大无穷小的性质

1313.

1414.常见无穷小的比较利用比较判断极限

1515.

1616.极限存在的充要条件函数极限存在的充要条件

1717.

1818.初等函数极限计算技巧利用代数方法计算极限

1919.

2020.利用夹逼定理计算极限利用洛必达法则计算极限

2121.

2222.间断点及其分类间断点的判定

2323.

2424.连续性的定义定义直观理解设函数在点的某个邻域内有定义，若函数在某点连续意味着函数的图像在该点没有断裂，可以平fx x0limx-x0“”“，则称函数在点处连续滑地穿过该点fx=fx0fx x

0.”.函数的连续性分类连续函数函数在定义域内每一点都连续，则称该函数为连续函数.间断函数函数在定义域内至少有一点不连续，则称该函数为间断函数.一般函数的连续性判定直接判定间接判定若函数在点处有定义，且若函数在点处有定义，且不存在或fx x0limx-x0fx=fx0fx x0limx-x0fx，则在处连续不等于，则在处不连续fx x

0.limx-x0fx fx0fx x

0.复合函数的连续性复合函数定义设和均为连续函数，则复合函数y=fu u=gx y=在的定义域内连续fgx gx.判定方法若在点处连续，且在处连续，gx x0fu u0=gx0则复合函数在点处连续y=fgx x

0.初等函数的连续性多项式函数有理函数指数函数对数函数多项式函数在其定义域内处处有理函数在其分母不为零的点指数函数在其定义域内处处连对数函数在其定义域内处处连连续处连续续续....三角函数三角函数在其定义域内处处连续.函数的性质与连续性有界性连续函数在闭区间上一定有界

1.最大值最小值定理2连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小值.介值定理3设函数在闭区间上连续，且，则对于fx[a,b]fa≠fb和之间的任意值，一定存在一点∈，使得fa fbcξa,bfξ=c.函数极限的定义定义直观理解设函数在点的去心邻域内有定义，如果存在一个常数函数极限表示当自变量无限接近某个值时，函数的值无限接近于fx x0，对于任意小的正数，总存在正数，使得当某个常数，而并不一定等于该常数Aεδ0|x-x0|.时，有成立，则称常数为函数当δ|fx-A|εA fx x趋近于时极限，记为x0limx-x0fx=A.极限的性质唯一性如果函数的极限存在，则该极限是唯一的fx.有界性如果函数在点的某个去心邻域内有界，且存在，fx x0limx-x0fx则也是有界的limx-x0fx.保号性如果函数在点的某个去心邻域内恒大于零或恒小于零，且fx x0存在，则也大于零或小于零limx-x0fx limx-x0fx.夹逼定理如果函数、和在点的某个去心邻域内满足fx gxhx x0fx≤gx≤，且，则hx limx-x0fx=limx-x0hx=A limx-x0gx存在，且limx-x0gx=A.利用性质计算极限唯一性

1.如果函数的极限存在，则该极限是唯一的fx.有界性

2.如果函数在点的某个去心邻域内有界，且fx x0limx-x0fx存在，则也是有界的limx-x0fx.保号性

3.如果函数在点的某个去心邻域内恒大于零或恒小于零，fx x0且存在，则也大于零或小于limx-x0fx limx-x0fx零.夹逼定理

4.如果函数、和在点的某个去心邻域内满足fx gxhx x0，且fx≤gx≤hx limx-x0fx=limx-x0hx，则存在，且=A limx-x0gx limx-x0gx=A.极限的代数运算和差运算1±±limx-x0[fx gx]=limx-x0fx limx-x0gx乘积运算2limx-x0[fx*gx]=limx-x0fx*limx-x0gx商运算3limx-x0[fx/gx]=limx-x0fx/limx-x0，其中gx limx-x0gx≠0常数倍运算4，其中为常数limx-x0[c*fx]=c*limx-x0fx c函数极限的性质极限的有界性极限的唯一性如果函数在点的某个去心邻域内有fx x0如果函数的极限存在，则该极限是唯一fx12界，且存在，则limx-x0fx limx-的.也是有界的x0fx.极限的夹逼定理极限的保号性如果函数、和在点的某fx gxhx x0个去心邻域内满足，且如果函数在点的某个去心邻域内恒fx≤gx≤hx fx x0大于零或恒小于零，且limx-x0fx=limx-x0hx=A43limx-x0fx，则存在，且存在，则也大于零或小limx-x0gx limx-limx-x0fx于零x0gx=A..单侧极限与双侧极限单侧极限双侧极限左极限表示当从的左侧无限双侧极限表示当从的两侧无限limx-x0-fx=A xx0limx-x0fx=A xx0接近时，函数的极限为接近时，函数的极限为x0fx A.x0fx A.无穷小与无穷大无穷小如果函数当趋近于时极限为，则称为趋近于fx xx00fx xx0时的无穷小.无穷大如果函数当趋近于时极限为无穷大，则称为趋近于fx xx0fx x时的无穷大x

0.无穷小的性质唯一性

1.如果函数当趋近于时极限为，则称为趋近于fx xx00fx xx0时的无穷小.有界性

2.如果函数当趋近于时极限为，则在点的某个去心fx xx00fx x0邻域内一定有界.保号性

3.如果函数当趋近于时极限为，且在点的某个去心fx xx00fx x0邻域内恒大于零或恒小于零，则在该去心邻域内一定恒大于零或fx恒小于零.无穷小与无穷大的关系

4.如果函数为趋近于时的无穷大，则为趋近于fx xx01/fx xx0时的无穷小.常见无穷小的比较x1x^22x^33sin x1tan x1ln1+x1e^x-11利用比较判断极限1比较法如果函数和在点的某个去心邻域内满足，且fx gxx0|fx|≤|gx|，则limx-x0gx=0limx-x0fx=

0.2夹逼定理如果函数、和在点的某个去心邻域内满足fx gxhx x0fx≤gx≤，且，则hx limx-x0fx=limx-x0hx=A limx-x0gx存在，且limx-x0gx=A.极限存在的充要条件条件一1函数在点的某个去心邻域内有定义，且存在fx x0limx-x0fx.条件二2函数的左右极限都存在且相等fx.结论3如果条件一和条件二都满足，则函数在点处有极限fx x

0.函数极限存在的充要条件条件一条件二结论函数在点的某个去心邻域内有函数的左右极限都存在且相等如果条件一和条件二都满足，则函数fx x0fx.定义在点处有极限.fx x

0.初等函数极限计算技巧代数方法夹逼定理洛必达法则利用极限的代数运算性利用夹逼定理，将目标利用洛必达法则，将目质，直接计算函数极限函数夹在两个已知极限标函数的极限转化为分.的函数之间，从而求得子分母的导数的极限.目标函数的极限.利用代数方法计算极限因式分解

1.1如果目标函数可以进行因式分解，则可以约去公共因子，从而简化计算.合并同类项

2.2如果目标函数包含多个同类项，则可以将同类项合并，从而简化计算.提取公因式

3.3如果目标函数包含多个公因式，则可以提取公因式，从而简化计算.利用有理化

4.4如果目标函数包含根式，则可以利用有理化，消除根式，从而简化计算.利用夹逼定理计算极限夹逼定理如果函数、和在点的某个去心邻域内满足fx gxhx x0fx≤gx≤，且，则存1hx limx-x0fx=limx-x0hx=A limx-x0gx在，且limx-x0gx=A.应用2将目标函数夹在两个已知极限的函数之间，利用夹逼定理求得目标函数的极限.利用洛必达法则计算极限12洛必达法则应用如果函数和在点的某个去心邻域内都可导，且将目标函数的极限转化为分子分母的导数的极限，利用洛必达法则fx gxx0或求解limx-x0fx=limx-x0gx=0limx-x0fx=.，且存在，则limx-x0gx=∞limx-x0[fx/gx]存在，且limx-x0[fx/gx]limx-x0[fx/gx]=limx-x0[fx/gx].间断点及其分类定义如果函数在点处不连续，则称为的间断点fx x0x0fx.分类可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点.间断点的判定可去间断点跳跃间断点无穷间断点如果函数在点处有定义，且如果函数在点处有定义，且如果函数在点处有定义，且fx x0fx x0fx x0存在，但和，则为limx-x0fx limx-x0limx-x0-fx limx-x0+limx-x0fx=∞x0fx，则为的可去间都存在，但的无穷间断点fx≠fx0x0fx fxlimx-x0-fx≠.断点，则为的跳.limx-x0+fx x0fx跃间断点.间断函数的连续性定义如果函数在定义域内至少有一点不连续，则称该函数为fx间断函数.性质间断函数在其间断点处不连续，但在其他点处可能连续.函数的连续性与可导性连续性可导性函数在点处连续意味着函数的图像在该点没有断裂函数在点处可导意味着函数的图像在该点存在切线，且fx x0“”fx x0，可以平滑地穿过该点该切线的斜率存在“”..函数的可导性概念定义几何意义设函数在点的某个邻域内有定义，若极限函数在点处可导意味着函数的图像在该点存在切线，fx x0limh-0fx x0存在，则称函数在点处可导且该切线的斜率存在[fx0+h-fx0]/h fx x

0..可导性的充要条件条件一1函数在点处连续fx x

0.条件二2函数在点处的左右导数都存在且相等fx x

0.结论3如果条件一和条件二都满足，则函数在点处可导fxx

0.可导性与连续性的关系可导性连续性如果函数在点处可导，则在12如果函数在点处连续，则在fxx0fx fxx0fx点处一定连续点处不一定可导x

0.x

0.导数的概念及性质定义设函数在点处可导，则称极限fxx0limh-0[fx0+h-为函数在点处的导数，记为fx0]/h fxx0fx

0.性质导数的线性性质、乘积法则、商法则、链式法则等.基本初等函数的导数常数函数0幂函数n*x^n-1指数函数a^x*ln a对数函数1/x*ln a正弦函数cos x余弦函数-sin x正切函数1/cos^2x余切函数-1/sin^2x复合函数的求导法则链式法则设和均为可导函数，则复合函数y=fu u=gx y=的导数为fgx y=fu*gx=fgx*gx.应用利用链式法则求解复合函数的导数.反函数的求导法则反函数求导法则应用设是一个可导函数，且，则其反函数利用反函数求导法则求解反函数的导数y=fx fx≠0x=.的导数为f^-1y dx/dy=1/dy/dx=1/fx.高阶导数及其应用高阶导数应用函数的高阶导数是指对函数进行多次高阶导数在泰勒展开、曲率计算、微求导所得的结果分方程求解等方面有广泛的应用..习题演练总结与展望总结本课件系统地介绍了高等函数的连续性与极限的概念、性质及应用，并掌握了相关计算技巧.展望在后续的学习中，我们将继续深入学习高等函数的微积分理论，并将其应用于实际问题中.。