《初等函数概述》课件

初等函数概述本课件将介绍初等函数的基本概念，包括函数的定义、分类、图像、性质、运算以及应用，并探讨函数在现实生活中的广泛应用函数的定义函数是一种特殊的对应关系，它将一个集合中的元素与另一简单来说，函数就是输入一个值，得到一个唯一输出值个集合中的元素一一对应起来函数的表达式形式解析式图像表格123用代数式表示函数关系，如y=fx用图形表示函数关系，如直线、曲用表格表示函数关系，列出输入值线等和对应的输出值函数的分类初等函数由基本初等函数通过有限次四则运算和复合运算得到的函数非初等函数无法用基本初等函数表示的函数，如积分函数常见初等函数恒等函数常数函数幂函数fx=x fx=C fx=x^n指数函数fx=a^x恒等函数图像过原点的直线定义性质fx=x单调递增，奇函数213常数函数定义1fx=C图像2平行于x轴的直线性质3单调性取决于C的值，偶函数幂函数定义fx=x^n图像形状取决于n的值性质奇偶性取决于n的奇偶性指数函数定义fx=a^x a0,a≠1图像单调递增或递减，过点0,1性质单调性取决于a的值对数函数图像2单调递增或递减，过点1,0定义1fx=log_a x a0,a≠1性质3单调性取决于a的值三角函数定义1fx=sin x,cos x,tan x等图像2周期性函数，有界性质3周期性、有界性、奇偶性反三角函数定义1y=arcsin x,arccos x,arctan x等图像2单调函数，有界性质3单调性、有界性双曲函数sinh xe^x-e^-x/2奇函数，单调递增cosh xe^x+e^-x/2偶函数，单调递增tanh xsinh x/cosh x奇函数，单调递增反双曲函数12定义图像y=arcsinh x,arccosh x,arctanh x单调函数等3性质单调性函数的图像直线函数抛物线函数正弦函数y=kx+b y=ax^2+bx+c y=sin x函数的性质单调性单调递增单调递减函数在某个区间内，随着自变量的增大，函数值也随之增大函数在某个区间内，随着自变量的增大，函数值也随之减小奇偶性奇函数1f-x=-fx偶函数2f-x=fx周期性周期函数存在一个非零常数T，使得对于任意x，都有fx+T=fx周期满足上述条件的最小正数T称为函数的周期有界性有界函数无界函数函数值在某个区间内都小于某个函数值在某个区间内可以任意大常数M，即|fx|≤M函数的基本运算四则运算1加、减、乘、除复合运算2将一个函数的输出作为另一个函数的输入反函数运算3求一个函数的反函数四则运算加法fx+gx减法fx-gx乘法fx*gx除法fx/gx gx≠0复合运算定义将一个函数的输出作为另一个函数的输入表达式hx=fgx反函数运算定义性质1设fx是一个单调函数，它的反函2f^-1fx=x，ff^-1x=x数记为f^-1x基本初等函数的性质恒等函数1fx=x常数函数2fx=C幂函数3fx=x^n指数函数4fx=a^x对数函数5fx=log_a x恒等式恒等函数1fx=x常数函数2fx=C幂函数3x^m*x^n=x^m+n指数函数4a^m*a^n=a^m+n对数函数5log_a x*y=log_a x+log_a y导数公式x^n nx^n-1a^xa^x*ln alog_a x1/x*ln asin x cosxcos x-sinx积分公式12x^n a^x∫x^n dx=1/n+1*x^n+1+C∫a^x dx=1/ln a*a^x+C a0,n≠-1a≠131/x∫1/x dx=ln|x|+C函数的极限极限值极限存在当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于某个特定值当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于一个确定的值连续性连续函数间断点函数在某个点处左右极限都存在且相等，并且等于函数在该函数在某个点处不连续，通常是由于左右极限不相等或函数点处的函数值值不存在导数定义几何意义12函数在某一点处的导数表示函导数等于函数图像在该点处的数在该点处的变化率切线的斜率物理意义3导数表示函数在该点处的瞬时变化率微分定义几何意义微分是函数增量的线性部分微分等于函数图像在该点处的切线段长度应用用于近似计算函数值积分定积分不定积分表示曲线在某个区间内的面积表示导数为被积函数的所有函数应用举例物理1描述物体的运动规律经济2分析市场供求关系工程3设计桥梁、建筑等生活中的函数时间时间与距离、温度等的关系金钱存款利息、投资回报等关系健康运动量与体重、血压等关系科学研究中的函数数据分析用函数描述实验数据，寻找规律模型建立用函数建立科学模型，模拟现实过程预测未来用函数预测未来发展趋势工程实践中的函数电路设计2用函数分析电路特性结构设计1利用函数计算建筑物强度控制系统3用函数设计控制算法课堂讨论函数概念1你对函数有哪些理解？函数性质2函数的哪些性质对你来说比较重要？函数应用3你能举出一些生活中函数应用的例子吗？函数概念的重要性基础知识1是后续学习微积分、线性代数等课程的基础思维工具2提供了一种描述和分析事物之间关系的思维工具应用广泛3在数学、物理、经济、工程等领域都有广泛应用函数应用的广泛性数学微积分、线性代数、概率论物理运动学、力学、电磁学经济供求关系、投资分析、市场预测工程结构设计、电路设计、控制系统掌握函数性质的意义12理解本质解决问题更深入地理解函数的本质和特征利用函数性质解决实际问题，提高效率3拓展学习为后续学习更高级的数学知识打下坚实基础未来的发展方向机器学习人工智能数据科学函数在机器学习中扮演着重要角色函数是人工智能的核心技术之一函数是数据分析和建模的重要工具课程总结本课件主要介绍了初等函数的基本概念、分类、图像、性质通过学习，你应该能够掌握函数的基本定义和概念，理解常、运算以及应用见初等函数的性质，并能够将函数应用到实际问题中本课主要内容回顾函数的定义函数的分类12输入一个值，得到一个唯一输出值初等函数和非初等函数常见初等函数函数的性质34恒等函数、常数函数、幂函数、指数函数、对数函数单调性、奇偶性、周期性、有界性等、三角函数等函数的基本运算函数的应用56四则运算、复合运算、反函数运算等生活、科学研究、工程实践等拓展延伸思考函数的本质函数的应用函数的未来函数到底是什么？它在数学中扮演着除了本课介绍的应用之外，函数还有函数在未来会如何发展？它将如何影什么样的角色？哪些其他应用？响我们的生活和工作？参考资料本课件参考了以下资料-高等数学教材-维基百科-知乎等网络平台。