《定积分的积分法》课件

定积分的积分法定积分的基本概念定义符号定积分的概念是微积分的核心概念之一，它用于计算函数曲线定积分的符号为∫fxdx，其中fx为被积函数，x为积分变下的面积定积分的定义是将函数曲线下的区域划分为无数个量，a和b为积分上下限定积分的值表示从a到b的积分区小矩形，每个小矩形的面积为其高乘以其底，然后将所有小矩域的面积形的面积相加得到总面积定积分的性质线性性可加性12定积分满足线性性，即对于常定积分满足可加性，即对于函数c和函数fx和gx，有数fx和区间[a,b]和[b,∫[cfx+gx]dx=c∫fxdx c]，有∫[a,b]fxdx+∫[b,+∫gxdx c]fxdx=∫[a,c]fxdx单调性3定积分满足单调性，即如果fx≥gx在区间[a,b]上，则∫[a,b]fxdx≥∫[a,b]gxdx平面图形的面积求解面积的方法面积公式利用定积分求解平面图形的面积是微积分应用的重要领域之平面图形的面积公式为A=∫[a,b]fxdx，其中fx为曲线一求解面积的方法是将图形分割为无数个小矩形，每个小矩的方程，a和b为积分上下限形的面积为其高乘以其底，然后将所有小矩形的面积相加得到总面积平面图形的面积及实例实例一实例二求解由曲线y=x^2和直线y=2x求解由曲线y=sinx和x轴在x围成的图形的面积=0到x=π之间围成的图形的面积实例三求解由曲线y=e^x和直线y=1以及x轴围成的图形的面积圆周长和圆面积圆周长圆面积圆周长是指圆的周界长度，计算公式圆面积是指圆所占平面的面积，计算为C=2πr，其中r为圆的半径，π公式为S=πr^2，其中r为圆的半为圆周率径，π为圆周率扇形面积扇形定义扇形面积公式扇形是指圆的一部分，由圆心角及其所对的弧和两条半径所构扇形面积公式为S=1/2θr^2，其中θ为圆心角的弧度值，r成为圆的半径12平面图形的面积应用实例-建筑设计图形设计定积分可用于计算建筑物的面积，例如屋顶、墙壁和窗户的面定积分可用于计算图形设计中的曲线面积，例如在创建logo和积，以便进行材料估算和成本控制图案时，可以利用定积分来精确地计算曲线围成的区域立体图形的体积体积的概念体积公式立体图形的体积是指立体图形所占空间的大小利用定积分求立体图形的体积公式为V=∫[a,b]Axdx，其中Ax为横截解立体图形的体积是微积分应用的另一个重要领域面积函数，a和b为积分上下限立体图形的体积应用实例-实例一实例二实例三求解由曲线y=x^2和x轴在x=0到x求解由曲线y=sinx和x轴在x=0求解由曲线y=e^x和直线y=1以及=1之间围成的图形绕x轴旋转一周形到x=π之间围成的图形绕y轴旋转一x轴围成的图形绕x轴旋转一周形成的成的旋转体的体积周形成的旋转体的体积旋转体的体积定积分的计算方法直接积分法替换积分法12直接积分法是利用微积分基替换积分法是将定积分的积本定理进行定积分计算该分变量进行替换，使积分变方法适用于能够直接求出原得更容易该方法适用于含函数的被积函数有复合函数的被积函数分部积分法3分部积分法是将定积分中的被积函数拆分成两个函数的乘积，然后利用分部积分公式进行计算该方法适用于含有两个函数的乘积的被积函数替换积分法替换方法1将积分变量x替换为另一个变量u，并根据替换关系计算出新的积分上下限积分公式2∫fudu=Fu+C，其中Fu为fu的原函数，C为积分常数步骤

31.选择合适的替换变量u

2.计算出新的积分上下限

3.将积分表达式转换为新的积分变量u替换积分法应用实例-实例一实例二计算定积分∫[1,2]x^2+1^3*2x dx计算定积分∫[0,π/2]sinx*cosx dx分部积分法步骤分部积分公式

1.选择合适的函数u和v

2.计算出du和dv

3.利用分部积分∫u dv=uv-∫v du，其中u和v分别为两个函数，du和dv分公式计算定积分别为这两个函数的微分分部积分法应用实例-实例一实例二计算定积分∫[0,1]x*e^x dx计算定积分∫[0,π/2]x*sinx dx定积分的计算反函数法-反函数的概念反函数积分法对于一个函数fx，如果存在另一个函数gx，使得fgx=x利用反函数积分法可以计算一些无法直接求出原函数的定积且gfx=x，则称gx为fx的反函数分该方法是将被积函数转换为其反函数，然后利用反函数的积分公式进行计算定积分的计算幂函数-幂函数的定义1幂函数是指形如fx=x^n的函数，其中n为任意实数幂函数的积分公式2∫x^n dx=1/n+1x^n+1+C，其中n≠-1应用实例3计算定积分∫[0,1]x^2dx定积分的计算三角函数-三角函数的定义1三角函数是指以角度为自变量，以三角形边角之间的关系为函数值的函数常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数三角函数的积分公式2∫sinx dx=-cosx+C，∫cosx dx=sinx+C，∫tanx dx=ln|secx|+C，∫cotx dx=ln|sinx|+C，∫secx dx=ln|secx+tanx|+C，∫cscx dx=-ln|cscx+cotx|+C应用实例3计算定积分∫[0,π/2]sinx dx定积分的计算指数函数和对数-函数12指数函数对数函数指数函数是指形如fx=a^x的函数，对数函数是指形如fx=log_ax的函其中a为常数，且a0且a≠1数，其中a为常数，且a0且a≠13积分公式∫a^x dx=1/lnaa^x+C，∫log_ax dx=x/lnalog_ax-x/lna^2+C无穷积分定义计算方法无穷积分是指积分区间至少包含一个无穷大值的积分无穷积无穷积分的计算方法是将积分区间进行分段，然后分别计算每分可以分为两种类型第一类无穷积分，积分区间为无穷大；个子区间的积分，最后将所有子区间的积分值相加得到无穷积第二类无穷积分，被积函数在积分区间内存在无穷大点分的值无穷积分的计算方法第一类无穷积分1∫[a,∞]fxdx=lim[b→∞]∫[a,b]fxdx，如果极限存在，则称无穷积分收敛，否则称无穷积分发散第二类无穷积分2∫[a,b]fxdx=lim[ε→0+]∫[a,b-ε]fxdx+lim[ε→0+]∫[b+ε,b]fxdx，如果两个极限都存在，则称无穷积分收敛，否则称无穷积分发散无穷积分的应用概率论物理学无穷积分在概率论中被广泛应用，例如计算随机变量的期望值无穷积分在物理学中被用于描述力、功、能等物理量和方差等反常积分定义类型12反常积分是指积分区间至少反常积分可以分为两种类包含一个无穷大点或被积函型第一类反常积分，积分数在积分区间内存在无穷大区间为无穷大；第二类反常点的积分积分，被积函数在积分区间内存在无穷大点计算方法3反常积分的计算方法是将积分区间进行分段，然后分别计算每个子区间的积分，最后将所有子区间的积分值相加得到反常积分的值反常积分的计算方法第一类反常积分∫[a,∞]fxdx=lim[b→∞]∫[a,b]fxdx，如果极限存在，则称反常积分收敛，否则称反常积分发散第二类反常积分∫[a,b]fxdx=lim[ε→0+]∫[a,b-ε]fxdx+lim[ε→0+]∫[b+ε,b]fxdx，如果两个极限都存在，则称反常积分收敛，否则称反常积分发散反常积分的收敛性判断积分判别法2如果fx≥0在[a,∞上，且fx单比较判别法调递减，则∫[a,∞]fxdx收敛当且仅当级数∑[n=a,∞]fn收敛1如果fx≥gx在[a,∞上，且∫[a,∞]gxdx收敛，则∫[a,比值判别法∞]fxdx收敛；如果∫[a,∞]gxdx发散，则∫[a,∞]fxdx发散如果lim[x→∞]fx/gx=L，且L为3有限正数，则∫[a,∞]fxdx和∫[a,∞]gxdx同敛散反常积分的应用物理学工程学反常积分在物理学中被用于描述电场、磁场等物理量反常积分在工程学中被用于描述力、功、能等物理量定积分的应用几何问题-求解面积求解体积定积分可以用来计算平面图形的面积，例如由曲线、直线围成定积分可以用来计算立体图形的体积，例如由曲线旋转形成的的区域的面积旋转体的体积定积分的应用物理问题-计算功计算质量12定积分可以用来计算物体在定积分可以用来计算物体的力作用下的功，例如计算一质量，例如计算一个非均匀个物体在重力作用下沿斜坡密度的物体的质量向上移动所做的功计算重心3定积分可以用来计算物体的重心，例如计算一个非均匀形状的物体的重心定积分的应用经济问题-计算总收益计算总成本计算利润定积分可以用来计算商品的总收益，定积分可以用来计算商品的总成本，定积分可以用来计算商品的利润，例例如计算某段时间内销售某种商品所例如计算某段时间内生产某种商品所如计算某段时间内销售某种商品所获获得的总收益花费的总成本得的总利润定积分的应用几何问题曲线弧长--弧长公式1曲线弧长公式为L=∫[a,b]√1+dy/dx^2dx，其中fx为曲线的方程，a和b为积分上下限应用实例2求解由曲线y=x^2在x=0到x=1之间的弧长定积分的应用几何问题曲面积--应用实例曲面积公式求解由曲线y=x^2在x=0到x=1之间旋转形成的曲面的面积曲面积公式为S=∫[a,b]2πfx√1+dy/dx^2dx，其中fx为曲线的方程，a和b为积分上下限定积分的应用物理问题质量和重心--质量公式重心公式质量公式为M=∫[a,b]ρxAxdx，其中ρx为密度函数，重心公式为x̄=1/M∫[a,b]xρxAxdx，ȳ=1/M∫[a,Ax为横截面积函数，a和b为积分上下限b]yρxAxdx，其中ρx为密度函数，Ax为横截面积函数，a和b为积分上下限定积分的应用物理问题工作和功--功的概念功的公式功是指力作用在物体上，使物体在力的方向上移动一段距离所功的公式为W=∫[a,b]Fxdx，其中Fx为力函数，a和b做的功功的大小等于力的大小乘以物体在力的方向上移动的为积分上下限距离定积分的应用经济问题总收--益和总成本总收益公式总成本公式12总收益公式为TR=∫[a,总成本公式为TC=∫[a,b]Rxdx，其中Rx为需求函b]Cxdx，其中Cx为成本函数，a和b为积分上下限数，a和b为积分上下限利润公式3利润公式为π=TR-TC，其中TR为总收益，TC为总成本定积分的应用其他问题-统计学医学定积分可以用来计算数据的平均值、方差、标准差等统计指定积分可以用来计算药物浓度、心电图等医学指标标定积分的性质回顾-线性性可加性单调性定积分满足线性性，即对于常数c和定积分满足可加性，即对于函数fx定积分满足单调性，即如果fx≥函数fx和gx，有∫[cfx+gx]dx和区间[a,b]和[b,c]，有∫[a,gx在区间[a,b]上，则∫[a,=c∫fxdx+∫gxdx b]fxdx+∫[b,c]fxdx=∫[a,b]fxdx≥∫[a,b]gxdxc]fxdx定积分的计算方法回顾-直接积分法替换积分法分部积分法123直接积分法是利用微积分基本定理替换积分法是将定积分的积分变量分部积分法是将定积分中的被积函进行定积分计算该方法适用于能进行替换，使积分变得更容易该数拆分成两个函数的乘积，然后利够直接求出原函数的被积函数方法适用于含有复合函数的被积函用分部积分公式进行计算该方法数适用于含有两个函数的乘积的被积函数定积分的应用几何问题回顾--求解面积求解体积定积分可以用来计算平面图形的面积，例如由曲线、直线围成定积分可以用来计算立体图形的体积，例如由曲线旋转形成的的区域的面积旋转体的体积定积分的应用物理问题回--顾计算功计算质量12定积分可以用来计算物体在定积分可以用来计算物体的力作用下的功，例如计算一质量，例如计算一个非均匀个物体在重力作用下沿斜坡密度的物体的质量向上移动所做的功计算重心3定积分可以用来计算物体的重心，例如计算一个非均匀形状的物体的重心定积分的应用经济问题回顾--计算总收益计算总成本定积分可以用来计算商品的总收定积分可以用来计算商品的总成益，例如计算某段时间内销售某本，例如计算某段时间内生产某种商品所获得的总收益种商品所花费的总成本计算利润定积分可以用来计算商品的利润，例如计算某段时间内销售某种商品所获得的总利润定积分的应用其他问题回顾--统计学医学定积分可以用来计算数据的平均值、方差、标准差等统计指定积分可以用来计算药物浓度、心电图等医学指标标复习和总结定积分的基本概念定积分的应用定积分的定义、符号、性质和计算方法定积分在几何、物理、经济和工程等领域中的应用课后练习练习题参考答案课后练习题可以帮助学生巩固所学的参考答案可以帮助学生检查自己的解知识，并锻炼解题能力题结果，并了解解题思路答疑交流。