《微分与定积分》课件

《微分与定积分》本课程将带您深入理解微积分的核心概念，掌握微分与定积分的应用，帮助您在学习和科研中更有效地解决问题课程简介课程概述课程目标本课程涵盖微分学和积分学的基本概念和方法，以及它们的实际通过本课程的学习，您将能够应用从导数和积分的定义出发，逐步深入到微积分的核心概念理解微分与定积分的基本概念和方法•，例如微分中值定理、牛顿莱布尼茨公式等课程内容注重理论-掌握求导数和积分的常用方法与实践相结合，通过大量的例题和习题帮助您理解和掌握知识•能够应用微积分解决实际问题•为什么要学习微分与定积分微积分是许多学科的基础，如微积分可以用来解决许多实际物理、化学、经济学、计算机问题，例如计算面积、体积、科学等，学习微积分可以帮助速度、加速度等您更好地理解这些学科微积分可以帮助您发展抽象思维能力和逻辑推理能力，提高您的问题解决能力教学目标掌握微分与定积分的基本概念和定理熟练运用微分和积分的方法解决问题理解微积分在不同领域的应用培养数学思维和逻辑推理能力先修知识回顾代数基础熟练掌握代几何基础了解几何的三角函数掌握三角函数的基本运算，包括加基本概念，如点、线、数的基本定义、公式和减乘除、方程、不等式面、体等，以及简单的性质等几何图形的性质实数的性质实数集是包含所有有理数和无理数的集合1实数集具有完备性，即任何收敛的实数序列都收敛于实数2实数集具有序性，即任何两个实数都可以比较大小3实数集具有稠密性，即任意两个实数之间都存在无数个实数4函数的基本概念函数的定义函数是将一个集合（定义域）中的元素映射到另一个集合（值域）中的元素的对应关系函数的表示方法函数可以使用解析式、表格、图像等多种方法表示函数的性质函数具有单调性、奇偶性、周期性等多种性质函数的基本初等函数一次函数一次函数的图像是一条直线，其解析式为，其中和为常数y=kx+b kb二次函数二次函数的图像是一个抛物线，其解析式为，其中、和为常数y=ax^2+bx+c ab c指数函数指数函数的图像是一个单调递增或递减的曲线，其解析式为，其中为大于且不等于的常数y=a^x a01对数函数对数函数是指数函数的反函数，其图像是一个单调递增或递减的曲线，其解析式为，其中为大于且不等y=log_a xa0于的常数1三角函数三角函数是描述角和边的关系的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等函数的几何意义导数的几何意义2导数表示函数图像上某一点的切线的斜率函数的图像1函数可以表示为坐标系上的图像，图像上的每个点都对应于定义域中的一个元素和值域中的一个元素积分的几何意义定积分表示函数图像与轴之间的面积x3函数的四则运算加法1两个函数的加法是指将两个函数的值相加减法2两个函数的减法是指将两个函数的值相减乘法3两个函数的乘法是指将两个函数的值相乘除法4两个函数的除法是指将两个函数的值相除复合函数定义1复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入表示方法2复合函数可以用嵌套的形式表示，例如fgx性质3复合函数的性质取决于两个函数的性质反函数定义反函数是指将原函数的输出作为输入，并将原函数的输入作为输出的函数条件原函数必须是单调函数才能存在反函数性质反函数的图像关于直线对称y=x隐函数12定义求导隐函数是指由方程定义的隐函数的导数可以通过对方程两边求Fx,y=0函数，其中和是变量导得到x y3应用隐函数可以用于表示一些无法用显式表达式表示的函数微分的概念导数的定义导数定义导数记号导数是指函数在某一点处的变化率，即函数值的变化量与自变量变导数通常用或表示fx dy/dx化量的比值在自变量变化量趋于零时的极限导数的性质线性性乘积法则商法则两个函数的和或差的导数等于它们的导数两个函数的乘积的导数等于第一个函数的两个函数的商的导数等于分母的平方除以的和或差导数乘以第二个函数加上第二个函数的导分母乘以分子导数减去分子乘以分母导数数乘以第一个函数导数的几何意义函数图像上某一点的切线的斜率等于该点处的导数1导数为正表示函数在该点处单调递增2导数为负表示函数在该点处单调递减3导数为零表示函数在该点处可能取到极值4基本导数公式常数函数的导数为幂函数的导数为指数函数的导数为0nx^n-1a^xlna对数函数的导数为三角函数的导数1/xlna复合函数的导数链式法则复合函数的导数等于外层函数的导数乘以内层函数的导数应用链式法则可以用来求解各种复合函数的导数隐函数的导数求导方法应用1对隐函数方程两边求导，并将看作隐函数的导数可以用来求解一些无法用y x2的函数显式表达式表示的函数的导数高阶导数定义1高阶导数是指对函数进行多次求导得到的导数表示方法2高阶导数可以用、等表示fx fx应用3高阶导数可以用来研究函数的凹凸性、拐点等性质微分中值定理罗尔定理1如果函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b上可导，且fa=fb，那么存在一点c∈，使得a,b fc=0拉格朗日中值定理如果函数在闭区间上连续，在开区间上可导fx[a,b]a,b2，那么存在一点∈，使得c a,b fc=fb-fa/b-a微分在优化问题中的应用12求极值求最值微分可以用来求解函数的极值，即函数微分可以用来求解函数在给定区间上的取得最大值或最小值的点最值，即函数在该区间上取得最大值或最小值的点3实际应用微分在许多实际问题中都有应用，例如在经济学中用来求解成本、利润的最大化问题定积分的概念定积分的性质线性性常数倍性质可加性两个函数的和或差的定积分等于它们的定函数乘以一个常数的定积分等于函数的定函数在两个相邻区间上的定积分之和等于积分的和或差积分乘以该常数函数在整个区间上的定积分基本积分公式常数函数的积分幂函数的积分指数函数的积分对数函数的积分三角函数的积分换元积分法定义1换元积分法是指将原积分中的自变量用另一个变量替换，从而将积分转化为更简单的形式方法2将原积分中的自变量用一个新的变量替换，并同时对积分上下限进行替换应用3换元积分法可以用来求解一些复杂的积分分部积分法定义分部积分法是指将原积分中的被积函数分成两部分，并利用积分公式进行求解方法将原积分中的被积函数分成两部分，并利用积分公式进行求解应用分部积分法可以用来求解一些难以直接积分的函数的积分无穷积分求解方法无穷积分的求解方法是将积分区间分成2有限个子区间，并利用定积分的性质进行求解定义1无穷积分是指积分区间为无穷大或积分函数在积分区间内存在间断点的积分应用无穷积分可以用来解决一些与无穷相关的实际问题，例如计算曲线的长度、曲3面的面积等定积分的应用面积1定积分可以用来计算平面图形的面积体积2定积分可以用来计算立体图形的体积长度3定积分可以用来计算曲线的长度工作量4定积分可以用来计算做功的多少牛顿莱布尼茨公式-定义1牛顿-莱布尼茨公式将定积分与不定积分联系起来，它指出函数fx在区间[a,b]上的定积分等于函数的不定积分在区间上的值之差fx[a,b]应用2牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的一个重要公式，它可以用来求解定积分，也可以用来计算面积、体积等不定积分的概念12定义表示方法不定积分是指求解函数的所有原不定积分用符号表示fx∫fxdx函数的集合3性质不定积分的导数等于原函数不定积分的性质线性性常数倍性质两个函数的和或差的不定积分等于它们的积分的和或差函数乘以一个常数的不定积分等于函数的不定积分乘以该常数基本积分法直接积分法利用基本积分公式换元积分法将原积分中的自变直接求解积分量用另一个变量替换，从而将积分转化为更简单的形式分部积分法将原积分中的被积函数分成两部分，并利用积分公式进行求解反函数的积分反函数的积分可以通过将原函数的积分公式进行反演得到1例如，指数函数的积分公式可以通过对数函数的积分公式进行2反演得到反函数的积分在许多实际问题中都有应用，例如在经济学中用3来计算供需关系有理函数的积分定义积分方法应用有理函数是指两个多项式函数的商有理函数的积分可以通过分部积分法、有理函数的积分在许多工程问题中都有换元积分法等方法进行求解应用，例如在信号处理中用来分析信号的频谱三角函数的积分换元法三角函数的积分可以通过换元法进行求2解，例如将用或替换x sintcost积分公式1三角函数的积分可以通过三角函数的积分公式进行求解分部积分法三角函数的积分可以通过分部积分法进行求解，例如将和分别作sinx cosx3为和u dv指数函数和对数函数的积分指数函数的积分1指数函数的积分可以通过直接积分公式进行求解对数函数的积分2对数函数的积分可以通过分部积分法进行求解定积分的应用面积1定积分可以用来计算平面图形的面积体积2定积分可以用来计算立体图形的体积长度3定积分可以用来计算曲线的长度工作量4定积分可以用来计算做功的多少面积和体积的计算12面积体积定积分可以用来计算函数图像与轴定积分可以用来计算旋转体的体积x之间的面积3应用面积和体积的计算在工程、物理、经济学等领域都有广泛的应用物理量的计算速度和加速度功和能定积分可以用来计算速度和加速度定积分可以用来计算功和能经济学问题的应用供需关系消费者剩余和生产者剩余定积分可以用来计算供需关系定积分可以用来计算消费者剩余和生产者剩余总结本课程介绍了微分与定积分的基本概念、性质和应用通过学习本课程，您将能够掌握微积分的基本知识和方法，并能够将这些知识应用到实际问题中希望本课程能够帮助您更好地理解数学，并能够利用数学工具解决实际问题。