《微分学教程》课件

《微分学教程》本课件旨在帮助学生理解和掌握微分学的基本概念、方法和应用，并为进一步学习高等数学打下坚实的基础课程简介课程目标课程内容本课程旨在帮助学生理解微分学的基本概念和理论，掌握微本课程主要内容包括函数的极限、连续性、导数的定义和计分学的基本方法和技巧，并能够应用微分学知识解决实际问算、微分、多元函数的微分、泰勒公式、洛必达法则以及微题分学在不同领域的应用微分学的基本概念导数微分导数是描述函数在某一点的微分是导数的另一种表达方变化率，它是微积分中的核式，它表示函数在某一点附心概念之一，可以用来解决近的变化量，微分可以用来许多实际问题近似计算函数值积分积分是导数的反运算，它用来计算函数的面积、体积等几何量，积分在物理学、工程学等领域有着广泛的应用函数的极限定义1函数的极限指的是当自变量趋近于某个值时，函数值无限接近于某个定值性质2函数的极限具有多种性质，例如极限的唯一性、极限的运算性质等，这些性质可以用来简化极限的计算计算方法3求函数极限可以使用多种方法，例如代入法、等价无穷小替换法、洛必达法则等，选择合适的计算方法可以提高计算效率连续性定义性质连续性是指函数在某一点处，当自变量趋近于该点时，函数连续函数具有许多重要的性质，例如介值定理、最大值最小值也趋近于该点的函数值，即函数图像没有断点值定理等，这些性质可以用来研究函数的性质和求解极值问题导数的定义fx=limh-0[fx+h-fx]/h导数的几何意义切线1导数在某一点的取值等于该点处函数图像的切线的斜率切线方程2利用导数可以求出函数图像在某一点处的切线方程导数的性质常数函数的导数幂函数的导数和差法则常数函数的导数为零幂函数的导数等于幂次减一后的幂两个函数的和或差的导数等于两个函数乘以原函数的系数函数的导数的和或差积法则商法则两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函两个函数的商的导数等于分母的平方除以分子导数乘以分数加上第一个函数乘以第二个函数的导数母减去分子乘以分母导数求导法则基本求导法则复合函数的求导法则包括常数函数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对复合函数的导数等于外层函数的导数乘以内层函数的导数数函数的导数、三角函数的导数等基本初等函数的导数常数函数c0幂函数x^n nx^n-1指数函数a^x a^x*lna对数函数log_ax1/x*lna正弦函数sinx cosx余弦函数cosx-sinx正切函数tanx sec^2x余切函数cotx-csc^2x正割函数secx secx*tanx余割函数cscx-cscx*cotx隐函数的求导隐函数隐函数是指不能用显式表达式表示的函数，例如x^2+y^2=1求导方法对隐函数等式两边同时求导，利用链式法则可以得到隐函数的导数高阶导数fx=d^2y/dx^2=d/dxdy/dx微分中值定理罗尔定理如果函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b内可导，且fa=fb，则存在一点c属于a,b，使得fc=0拉格朗日中值定理如果函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b内可导，则存在一点c属于a,b，使得fc=[fb-fa]/b-a导数应用一曲线的斜率1斜率导数在某一点的取值等于该点处函数图像的切线的斜率2切线方程利用导数可以求出函数图像在某一点处的切线方程导数应用二速度和加速度速度加速度1速度是位移对时间的导数加速度是速度对时间的导数2导数应用三最大最小值问题极值点极值判别法如果函数fx在某一点x0处取得极值，则fx0=0或利用一阶导数和二阶导数可以判断函数的极值点，以及极值fx0不存在点的类型（极大值或极小值）导数应用四近似计算线性近似1利用导数可以对函数进行线性近似，从而近似计算函数值误差估计2线性近似的误差可以用泰勒公式来估计微分dy=fx*dx全微分dz=∂z/∂x*dx+∂z/∂y*dy微分在物理学和工程中的应用物理学工程学微分在物理学中有着广泛的应用，例如牛顿第二定律、动量守微分在工程学中也是重要的工具，例如电路分析、控制系统、恒定律、能量守恒定律等，都是用微分方程来描述的信号处理等领域，都需要用到微分方程偏导数∂z/∂x=limh-0[fx+h,y-fx,y]/h隐函数的偏导数定义对于隐函数Fx,y,z=0，可以求出z对x的偏导数∂z/∂x，以及z对y的偏导数∂z/∂y计算方法利用链式法则可以计算隐函数的偏导数全微分在多元函数中的应用1切平面全微分可以用来求多元函数在某一点处的切平面方程2梯度多元函数的梯度向量由偏导数组成，它指向函数在某一点增长最快的方向链式法则dz/dt=∂z/∂x*dx/dt+∂z/∂y*dy/dt雅可比行列式J=|∂u,v/∂x,y|=∂u/∂x*∂v/∂y-∂u/∂y*∂v/∂x变量替换法定义步骤变量替换法是指通过引入新的变量，将原来的积分转化为更

1.选择适当的变量替换

2.求出新变量的积分区域

3.计算简单的积分，从而简化计算雅可比行列式

4.将原来的积分转化为新变量的积分微分中的泰勒公式fx=fa+fax-a+fax-a^2/2!+...+f^nax-a^n/n!+R_nx洛必达法则条件1如果limx-a fx=limx-a gx=0或limx-afx=limx-a gx=∞，且limx-a fx/gx存在，则limx-a fx/gx=limx-a fx/gx应用2洛必达法则可以用来计算一些复杂的极限，例如含有无穷小和无穷大的极限微分在优化中的应用极值点利用导数可以求出函数的极值点，从而解决优化问题约束条件对于带有约束条件的优化问题，可以使用拉格朗日乘数法来求解微分在动力学中的应用运动学动力学微分方程可以用来描述物体的运微分方程可以用来描述物体的受动，例如速度、加速度等力情况，例如牛顿第二定律等微分在信号处理中的应用微分在控制系统中的应用1系统模型利用微分方程可以建立控制系统的数学模型2控制器设计利用微分方程可以设计控制器，实现对系统的控制微分在经济学中的应用边际分析动态模型微分可以用来计算边际成本、边际收益、边际利润等经济指微分方程可以用来描述经济系统的动态变化过程，例如经济标增长模型、利率模型等微分在生物科学中的应用种群模型微分方程可以用来描述生物种群的增长和衰减过程，例如逻辑斯蒂模型等生物化学微分可以用来研究酶促反应动力学、药物动力学等生物化学问题微分应用综合案例一问题描述解决方法1一家公司需要生产一种新产品，需要利用微分学中的优化方法，可以求出确定最佳的生产规模和生产成本，以最佳的生产规模和生产成本，从而最2最大化利润大化利润微分应用综合案例二问题描述1设计一座桥梁，需要考虑桥梁的强度、稳定性和经济性等因素解决方法2利用微分学中的微分方程和数值方法可以模拟桥梁的受力情况，并设计出符合要求的桥梁结构复习与总结一导数导数的定义、性质、求导法则、几何意义、应用微分微分的定义、全微分、应用复习与总结二多元函数的微分微分学在不同领域的应用偏导数、全微分、链式法则、雅可比行列式优化、动力学、信号处理、控制系统、经济学、生物科学等期末考试考试内容涵盖本课程所有章节，重点考察对微分学基本概念、方法和应用的理解和掌握祝同学们取得好成绩！。