《数学分析精粹》课件

《数学分析精粹》课件PPT数学分析的基本概念集合论基础映射与函数数列与极限集合、子集、并集、交集、补集、笛卡尔映射、函数、单射、满射、双射、反函数数列、极限、收敛、发散、极限的性质积函数的基本性质单调性奇偶性周期性单调递增函数、单调递减函数、单调性判奇函数、偶函数、奇偶性判别方法周期函数、周期性判别方法别方法极限的概念和性质函数极限的定义极限的性质极限的计算方法无穷小量与无穷大量连续函数的性质连续函数的定义连续函数的性质函数在一点的连续性、函数在区间介值定理、零点定理、最大值最小上的连续性值定理连续函数的运算性质连续函数的和、差、积、商仍然是连续函数导数的概念和性质导数的定义导数的几何意义导数的计算法则导数的应用函数的单调性1利用导数判断函数的单调递增区间和单调递减区间函数的极值2利用导数求函数的极大值和极小值函数的凹凸性3利用导数判断函数的凹凸区间函数的拐点4利用导数求函数的拐点微分的概念和性质微分的定义函数在一点的微分微分的性质微分的线性性质、微分的乘积法则微分的应用利用微分求近似值中值定理拉格朗日中值定理在闭区间上连续，开区间上可导，则函数在该区间内至少存在一点，使得该点的导2数等于函数在区间端点处取值的差除以区罗尔定理间长度在闭区间上连续，开区间上可导，且函1数在区间端点处取值相等，则函数在该柯西中值定理区间内至少存在一点，使得该点的导数在闭区间上连续，开区间上可导，且两个为零函数的导数在该区间内都不为零，则函数在该区间内至少存在一点，使得该点的两3个函数的导数的比值等于函数在区间端点处取值的差的比值一阶微分方程可分离变量的微分方程1将微分方程的变量分离，然后分别对两边积分，即可求解齐次一阶线性微分方程2形如y+pxy=0的微分方程，可以通过分离变量法求解非齐次一阶线性微分方程3形如y+pxy=qx的微分方程，可以通过常数变易法求解二阶微分方程常系数齐次线性二阶微分方程1形如ay++cy=0的微分方程，可以通过特征方程求解常系数非齐次线性二阶微分方程2形如ay++cy=fx的微分方程，可以通过待定系数法或变参数法求解变系数齐次线性二阶微分方程3形如ay++cy=0，其中系数a、b、c为x的函数，可以通过变参数法求解不定积分的概念和性质定积分的概念和性质定积分的定义定积分的性质定积分是函数在某个区间上的累积定积分的线性性质、积分区间可加变化量，可以表示为该区间上函数性、积分中值定理曲线与x轴所围成的面积广义积分无穷积分瑕积分当积分区间为无穷区间时，称该积分是无穷积分当被积函数在积分区间内存在间断点时，称该积分是瑕积分牛顿莱布尼茨公式-1公式∫abfxdx=Fb-Fa2应用利用牛顿-莱布尼茨公式可以计算定积分微分方程的初等解法分离变量法常数变易法待定系数法将微分方程的变量分离，然后分别对两边将齐次方程的通解乘以一个待定系数，然对于非齐次方程，猜测一个特解的形式，积分，即可求解后代入原方程，求解待定系数然后将该特解代入原方程，求解特解的系数一阶线性微分方程定义解法形如y+pxy=qx的微分方程可以通过常数变易法求解应用在物理、化学、生物等领域有广泛应用可分离变量的微分方程将微分方程的变量分离，然后分别对两边积分，即可求解利用积分公式求解积分齐次一阶线性微分方程定义1形如y+pxy=0的微分方程解法2可以通过分离变量法求解应用3在电路分析、热传导等领域有广泛应用伯努利微分方程定义解法应用形如y+pxy=qxyn的微分方程，其中可以通过变量代换将伯努利方程转化为一在流体力学、人口增长模型等领域有广泛n为常数且n≠0，n≠1阶线性微分方程，然后求解应用二阶线性微分方程常系数非齐次线性二阶微分方程2形如ay++cy=fx的微分方程，可以通过待定系数法或变参数法求解常系数齐次线性二阶微分方程1形如ay++cy=0的微分方程，可以通过特征方程求解变系数齐次线性二阶微分方程形如ay++cy=0，其中系数a、b、c为3x的函数，可以通过变参数法求解变参数法基本思路将齐次方程的通解乘以一个待定系数，然后代入原方程，求解待定系数1步骤

21.求解齐次方程的通解yhx

2.将yhx乘以一个待定系数，得到ypx

3.将ypx代入原方程，求解待定系数应用3用于求解非齐次线性微分方程的特解常数变易法基本思路1将齐次方程的通解的系数改为变量，然后代入原方程，求解这些变量步骤

21.求解齐次方程的通解yhx

2.将yhx中的常数改为变量，得到ypx

3.将ypx代入原方程，求解变量应用3用于求解非齐次线性微分方程的特解广义积分的应用泰勒级数及其应用泰勒级数的定义泰勒级数的应用将一个函数展开成无穷级数的形式用于函数的近似计算、微分方程的，该级数的系数由函数在某一点处求解、函数的性质研究的导数值确定傅里叶级数及其应用定义应用将周期函数展开成三角函数的无穷级数形式在信号处理、图像处理、声学等领域有广泛应用偏导数的概念和性质1定义多元函数对其中一个自变量求导，其他自变量看作常数2性质偏导数的线性性质、偏导数的乘积法则全微分概念及应用定义应用多元函数在某一点处对各自变量的微分的线性组合用于求解多元函数的近似值、研究函数的性质多元函数的极值问题极值点的判定条件极值利用黑塞矩阵判断多元函数的极值在约束条件下求多元函数的极值点拉格朗日乘数法用于求解条件极值问题隐函数的求解利用隐函数求导法求解隐函数的导数利用隐函数定理判断隐函数是否存在二重积分及其应用定义1二重积分是定义在二维区域上的函数的积分，可以表示为该区域上函数曲面与xoy平面所围成的体积计算方法2利用累次积分法计算二重积分应用3在物理、化学、工程学等领域有广泛应用曲线积分定义曲线积分是定义在曲线上的函数的积分，可以表示为曲线上的累积变化量分类第一类曲线积分、第二类曲线积分计算方法利用参数方程、Green公式、Stokes公式等计算曲线积分格林公式应用公式1用于计算第二类曲线积分、证明一些积∫CPdx+Qdy=∬D∂Q/∂x-∂P/∂ydxdy2分公式散度定理公式1∬SF·ndS=∭V divFdV应用2用于计算向量场的通量、证明一些积分公式斯托克斯公式公式1∫CF·dr=∬ScurlF·ndS应用2用于计算向量场的环量、证明一些积分公式矢量场理论非线性常微分方程定义解法方程中包含未知函数的非线性项的一般没有通解，需要用数值方法求微分方程解相平面分析方法概念应用将二阶常微分方程的解看作平面上的曲线，并分析曲线的性质用于分析非线性常微分方程的解的稳定性、周期性等线性微分方程组1定义包含多个未知函数及其导数的线性方程组2解法利用矩阵方法求解线性微分方程组拉普拉斯变换定义应用将时间域函数转化为复频域函数的积分变换用于求解线性微分方程、线性系统分析、信号处理等数值解法欧拉方法龙格库塔方法-一种一阶数值方法，用于求解常微一种高阶数值方法，用于求解常微分方程的近似解分方程的近似解有限差分法将微分方程转化为差分方程，然后求解差分方程定义在离散点上的方程用于描述离散系统的动态变化规律级数及其收敛性定义1无穷多个数的和收敛性2级数是否收敛，以及收敛到什么值收敛判别法3比值判别法、根式判别法、积分判别法等常见特殊函数伽马函数定义在复数域上的函数，可以看作阶乘函数的推广贝塞尔函数用于描述圆柱坐标系下的波动问题勒让德多项式用于描述球坐标系下的波动问题椭圆函数应用定义1在物理学、工程学、数学等领域有广泛定义在复数域上的双周期函数2应用傅里叶级数在信号处理中的应用频谱分析1将信号分解为不同频率的正弦波信号滤波2去除信号中的噪声或干扰信号压缩3减少信号的存储空间或传输带宽总结与展望总结1本课件介绍了数学分析中的一些基本概念、理论和方法展望2数学分析是一个充满活力和挑战的学科，未来将继续发展和应用。