《双曲线的切线》课件

《双曲线的切线》本课件将探讨双曲线的切线，涵盖定义、性质、方程、求法以及应用等内容，并通过实例讲解，帮助您更好地理解和掌握双曲线切线相关知识课程目标理解双曲线切线的概念掌握求双曲线切线的方法了解双曲线切线的应用深入理解双曲线切线的定义、性质和学习利用导数方法求解双曲线上一点探索双曲线切线在几何、物理等领域求法，并能够用数学语言准确地描述的切线方程，并能够灵活运用该方法的应用，并能够用切线知识解决相关双曲线切线解决实际问题问题预备知识双曲线的定义双曲线的性质双曲线是指平面上到两定点双曲线具有对称性、渐近线、焦点等性质（称为焦点）的距离之差为常数的点的轨迹导数的概念导数是描述函数变化率的工具，在求切线时起着关键作用双曲线定义平面上到两定点（称为焦点）的距离之差为常数的点的轨迹叫做双曲线设两焦点为和，距离之差为，则双曲线定义为F1F22a|PF1-PF2|=2a双曲线的性质对称性渐近线12双曲线关于其中心、对称轴和焦点都双对曲称线有两个渐近线，它们是两条直线，当点无限远离中心时，双曲线的曲线无限接近渐近线焦点3双曲线的焦点位于实轴上，且距离中心点的距离为，其中c c^2=a^2+b^2双曲线的方程双曲线的标准方程形式为或x^2/a^2-y^2/b^2=1y^2/a^2-x^2/b^2=其中，表示半实轴长，表示半虚轴长1a b求双曲线上一点的切线步骤一步骤二步骤三步骤四确定双曲线方程求该点的导数代入导数公式化简切线方程步骤一确定双曲线方程首先要确定双曲线的标准方程，通常会给出双曲线的焦点、顶点、渐近线等信息，根据这些信息可以确定、的值，进而得到双曲线方程a b步骤二求该点的导数将双曲线方程进行求导，得到双曲线的导函数导函数表示双曲线上任意一点的切线的斜率步骤三代入导数公式将所求切线经过的点坐标代入导函数中，得到该点处的切线的斜率步骤四化简切线方程利用点斜式方程，将切线的斜率和过切线的点坐标代入，得到切线方程，然后化简为一般式方程或斜截式方程实例求双曲线上一点的切线1已知条件求导12双曲线方程，求过点的切线方程对双曲线方程求导，得到导函数x^2/4-y^2/9=12,3y=9x/4y切线方程代入导数公式利用点斜式方程，得到切线方程y-3=将点代入导函数，得到切线的斜率2,3y=3/243，化简为3/2x-23x-2y+6=0实例求另一双曲线上一点的切线2已知条件1双曲线方程，求过点的切线方程y^2/16-x^2/9=13,5求导2对双曲线方程求导，得到导函数y=16x/9y代入导数公式3将点代入导函数，得到切线的斜率3,5y=16/15切线方程4利用点斜式方程，得到切线方程，化简为y-5=16/15x-316x-15y+27=0实例求第三个双曲线上一点的切线3已知条件双曲线方程，求过点的切线方程x-2^2/25-y+1^2/16=17,3求导对双曲线方程求导，得到导函数y=16x-2/25y+1代入导数公式将点代入导函数，得到切线的斜率7,3y=16/50=8/25切线方程利用点斜式方程，得到切线方程，化简为y-3=8/25x-78x-25y-11=0小结一通过以上实例，我们发现，求双曲线上一点的切线可以使用导数方法，具体步骤是先求导函数，再将该点坐标代入导函数得到斜率，最后利用点斜式方程得到切线方程双曲线切线的特点与双曲线相交于一点双曲线切线与双曲线相交于切点，且只相交于一点垂直于法线双曲线切线与过切点的法线互相垂直斜率与导数相关切线的斜率等于双曲线在切点处的导数应用一求双曲线上点到焦点的距离步骤二2求出切线与双曲线焦点的距离步骤一1求出该点的切线方程步骤三利用距离公式计算该点到焦点的距离3应用二求双曲线上点到对称轴的距离步骤一1求出该点的切线方程步骤二2求出切线与对称轴的交点步骤三3利用距离公式计算该点到对称轴的距离应用三求双曲线上点到顶点的距离步骤一1求出该点的切线方程步骤二2求出切线与双曲线顶点的距离步骤三3利用距离公式计算该点到顶点的距离小结二双曲线切线在几何、物理等领域有广泛的应用，例如求点到焦点的距离、点到对称轴的距离以及点到顶点的距离等掌握双曲线切线的求解方法，可以帮助我们更好地理解和应用双曲线知识拓展思考一1参数方程如何利用双曲线的参数方程求解切线方程？2极坐标方程如何利用双曲线的极坐标方程求解切线方程？拓展思考二切线与渐近线切线与法线双曲线切线与渐近线之间存在怎样的关系？如何求解过双曲线上一点的法线方程？拓展思考三双曲线切线与其他曲线（如圆、椭圆）的切线之间存在怎样的联系？课程小结本课件介绍了双曲线切线的定义、性质、方程、求法以及应用，通过实例讲解，帮助您更好地理解和掌握双曲线切线相关知识希望本课件能够帮助您在学习双曲线切线知识的过程中获得启发，并能够在实际问题中灵活运用这些知识课后练习1已知双曲线方程为，求过点的切线方程x^2/16-y^2/9=15,3课后练习2已知双曲线方程为，求过点的切线方程y^2/25-x^2/16=14,7课后练习3已知双曲线方程为，求过点的切线方程x-1^2/9-y+2^2/4=14,-1课后练习4已知双曲线方程为，求过点的切线方程x^2/16-y^2/9=18,0课后练习5已知双曲线方程为，求过点的切线方程y^2/25-x^2/16=10,5参考文献高等数学，同济大学数学系编，高等教育出版社，年2018。