《多元函数的微分》课件 —— 深入探究多元函数的导数计算

《多元函数的微分》课件PPT深入探究多元函数的导——数计算本课件旨在深入探讨多元函数的微分，从偏导数、全微分、梯度向量等概念出发，逐步揭示多元函数微分学的核心内容，并结合实例分析其在优化问题中的应用课程目标理解多元函数的导数概念熟练掌握导数计算方法应用导数解决优化问题深入掌握偏导数、全微分、梯度向量等熟练运用链式法则、复合函数求导等方利用多元函数的微分理论，解决实际问概念，并理解其几何意义法，进行多元函数的导数计算题中涉及多元函数优化的场景回顾单变量函数的微分导数的定义导数的几何意义导数的应用单变量函数在一点处的导数，是该函数导数是该函数图像在该点处的切线斜率导数在求解函数的极值点、拐点、函数在该点附近变化率的极限值，反映了函数变化的方向和快慢程度图像的凹凸性等方面有着重要的应用多元函数的概念定义域值域图像多元函数的定义域是指所有自变量的取多元函数的值域是指所有函数值的取值多元函数的图像通常是一个曲面，在三值范围，该范围内的所有自变量值对应范围，由所有自变量的取值范围决定维空间中呈现函数值的变化情况一个唯一的函数值偏导数的定义偏导数的概念偏导数的表示偏导数的计算偏导数是多元函数对其中一个变量的导偏导数通常用符号∂/∂x或∂/∂y表偏导数的计算方法类似于单变量函数的数，其他变量被视为常数示，分别代表对x或y的偏导数求导，将其他变量视为常数，然后对目标变量进行求导偏导数的几何意义切平面切线方向曲面变化率多元函数图像在一点处的切平面，其斜每个偏导数代表着函数图像在该点沿相偏导数反映了多元函数图像在该点沿相率是由该点的偏导数组成的应变量方向的变化率，即切线的方向应变量方向的变化快慢程度偏导数的计算方法直接求导法复合函数求导法隐函数求导法将其他变量视为常数，对目标变量进行当函数是复合函数时，需要运用链式法对于隐函数，需要先将函数表达式进行直接求导，类似于单变量函数求导则进行求导隐式求导，然后解出目标变量的偏导数例题求平面函数的偏导数1函数表达式求偏导数几何意义z=fx,y=x²+2xy+y²∂z/∂x=2x+2y偏导数∂z/∂x和∂z/∂y分别代表着函数图像在该点沿x和y方向的切线斜∂z/∂y=2x+2y率例题求空间函数的偏导数2函数表达式求偏导数几何意义u=fx,y,z=x²y+z²∂u/∂x=2xy偏导数∂u/∂x、∂u/∂y和∂u/∂z分别代表着函数图像在该点沿x、y和z∂u/∂y=x²方向的切线斜率∂u/∂z=2z全微分的概念全微分定义全微分公式全微分意义多元函数在一点处的全微分，是对该函df=∂f/∂xdx+∂f/∂ydy全微分反映了多元函数在该点附近沿着数在该点附近变化的线性近似所有方向的变化情况全微分的性质线性性质可微性连续性全微分是一个线性函数，满足加法和乘如果一个多元函数在一点处存在全微分如果一个多元函数在一点处可微，则该法分配律，则该函数在该点处可微函数在该点处连续全微分的应用误差估计近似计算优化问题利用全微分可以估计多元函数的误差，利用全微分可以近似计算多元函数在附全微分是多元函数优化问题中的重要工例如在物理实验中计算测量误差近点的值，例如在工程应用中进行数值具，可以用来求解极值点、鞍点等模拟例题计算全微分3函数表达式计算偏导数全微分公式z=fx,y=x²+2xy+y²∂z/∂x=2x+2y df=∂f/∂xdx+∂f/∂ydy=2x+2ydx+2x+2ydy∂z/∂y=2x+2y隐函数的微分隐函数定义隐函数求导隐函数的应用隐函数是指无法直接用一个变量表示另对于隐函数，需要运用隐式求导法来求隐函数在经济学、物理学等领域有着广一个变量的函数，而是通过一个方程来解偏导数，即对等式两边同时求导泛的应用，例如需求曲线、供给曲线等隐含地定义链式法则链式法则定义链式法则公式链式法则应用链式法则用于计算复合函数的导数，它dfgx/dx=fgxgx链式法则在计算多元复合函数的导数时将复合函数的导数分解为多个部分的导非常重要，可以简化计算过程数乘积例题利用链式法则求偏导数4函数表达式求偏导数结果z=fu,v=u²+v²∂z/∂x=∂z/∂u∂u/∂x+将u和v的表达式代入，得到∂z/∂x∂z/∂v∂v/∂x=2u+2v=4x和∂z/∂y=4yu=gx,y=x+y∂z/∂y=∂z/∂u∂u/∂y+v=hx,y=x-y∂z/∂v∂v/∂y=2u-2v多元复合函数的微分复合函数定义复合函数求导复合函数的应用多元复合函数是指一个函数的变量是另多元复合函数的求导需要运用链式法则复合函数在经济学、物理学等领域有着一个函数的函数值，将复合函数的导数分解为多个部分的广泛的应用，例如价格函数、成本函数导数乘积等例题计算多元复合函数的导数5函数表达式求导过程最终结果z=fu,v=u²+v²∂z/∂x=∂z/∂u∂u/∂x+将u和v的表达式代入，得到∂z/∂x∂z/∂v∂v/∂x=2u+2v=4x和∂z/∂y=4yu=gx,y=x+y∂z/∂y=∂z/∂u∂u/∂y+v=hx,y=x-y∂z/∂v∂v/∂y=2u-2v梯度向量的概念梯度向量定义梯度向量的表示梯度向量的计算梯度向量是指多元函数在一点处的偏导梯度向量通常用符号∇f或grad f表示梯度向量的计算方法是将函数对每个变数构成的向量，其中∇表示梯度算子量求偏导数，然后将这些偏导数组合成向量梯度向量的几何意义方向导数等高线极值点梯度向量方向是函数图像在该点上升最梯度向量垂直于函数图像在该点处的等在多元函数的极值点，梯度向量为零向快的方向，其模长等于该方向上的方向高线，指向等高线值增大的方向量，即函数图像在该点处没有上升或下导数降的方向梯度的计算方法偏导数求解向量组合梯度模长对函数分别对每个变量进行求偏导数，将各个偏导数组合成向量，构成梯度向梯度向量的模长表示函数在该点上升最得到各个方向上的变化率量，表示函数在该点上升最快的方向快的速率，即方向导数的最大值例题求梯度向量6函数表达式计算偏导数梯度向量fx,y=x²+y²∂f/∂x=2x∇f=∂f/∂x,∂f/∂y=2x,2y∂f/∂y=2y梯度的应用最速下降法图像处理机器学习梯度下降法是一种常用的优化算法，利梯度在图像处理中用于边缘检测、图像梯度是机器学习中训练神经网络的重要用梯度向量来寻找函数的极小值点分割等操作工具，用来调整模型参数，提高模型的预测能力黑塞矩阵的概念黑塞矩阵定义黑塞矩阵表示黑塞矩阵计算黑塞矩阵是一个多元函数的二阶偏导数黑塞矩阵通常用符号H或Hf表示，其黑塞矩阵的计算方法是对函数分别对所构成的矩阵，用于分析函数的凹凸性、中H表示黑塞矩阵算子有变量求二阶偏导数，然后将这些二阶极值点和鞍点偏导数组合成矩阵黑塞矩阵的性质对称性正定性负定性黑塞矩阵是一个对称矩阵，即行列式相如果黑塞矩阵是正定矩阵，则函数在该如果黑塞矩阵是负定矩阵，则函数在该等点处是严格凸函数点处是严格凹函数黑塞矩阵的应用极值点判定凹凸性判定优化问题黑塞矩阵可以用来判断多元函数的极值黑塞矩阵可以用来判定多元函数的凹凸黑塞矩阵是多元函数优化问题中的重要点是极大值点、极小值点还是鞍点性，判断函数图像的弯曲方向工具，可以用来求解极值点、鞍点等例题计算黑塞矩阵7函数表达式计算二阶偏导数黑塞矩阵fx,y=x²+2xy+y²∂²f/∂x²=2H=[22;22]∂²f/∂y²=2∂²f/∂x∂y=2极值点的判定必要条件充分条件鞍点多元函数在一点处取得极值的必要条件多元函数在一点处取得极值的充分条件如果黑塞矩阵既不是正定矩阵也不是负是该点的梯度向量为零向量是该点的黑塞矩阵是正定矩阵或负定矩定矩阵，则该点可能是鞍点阵例题确定多元函数的极值点8函数表达式求解极值点判定极值类型fx,y=x²+y²-2x-4y∇f=2x-2,2y-4=0,0H=[20;02]解得极值点为1,2H是正定矩阵，因此1,2是极小值点鞍点的概念鞍点定义鞍点特征鞍点例子鞍点是指多元函数在该点处既不是极大鞍点处的黑塞矩阵既不是正定矩阵也不函数fx,y=x²-y²在0,0处是一个鞍值点也不是极小值点，而是沿某些方向是负定矩阵，而是不定矩阵点上升，沿另一些方向下降鞍点的判定方法黑塞矩阵判定方向导数判定图形观察如果黑塞矩阵在该点处既不是正定矩阵如果函数在该点处沿某些方向的导数为通过观察函数图像，可以直观地判断鞍也不是负定矩阵，则该点可能是鞍点正，沿另一些方向的导数为负，则该点点，鞍点处函数图像呈现马鞍状是鞍点例题判断多元函数是否存在鞍点9函数表达式求解极值点判定鞍点fx,y=x²-y²∇f=2x,-2y=0,0H=[20;0-2]解得极值点为0,0H是不定矩阵，因此0,0是鞍点多元函数优化的应用背景工程设计经济管理机器学习优化材料、结构、工艺等，提高产品性优化资源配置、生产计划、投资组合，优化模型参数、训练算法，提高模型的能、降低成本提高经济效益预测精度、识别能力多元函数优化的基本步骤构建目标函数确定约束条件选择优化方法根据具体问题建立目标函数，通常需要根据问题约束，确定自变量的取值范围根据目标函数和约束条件，选择合适的将问题转化为数学模型以及其他约束条件优化方法，例如梯度下降法、牛顿法等实例分析多元函数优化问题描述优化模型优化结果A B某公司生产两种产品和，其利润函目标函数fx,y=2x+3y利用拉格朗日乘数法，可以求解出最佳fx,y=2x+3y xy数为，其中和分别产量x=4,y=3，此时利润最大化为A BA1约束条件x+2y≤10代表和的产量生产需要个f4,3=17B2单位的资源，生产需要个单位的资10源，公司拥有的资源总量为个单位A B如何分配生产和的产量，才能使利润最大化？课程小结多元函数的导数黑塞矩阵多元函数优化学习了偏导数、全微分、梯度向量等概掌握了黑塞矩阵的定义、性质以及在极了解了多元函数优化的基本步骤以及在念，以及相关计算方法值点判定、凹凸性判定等方面的应用工程设计、经济管理、机器学习等领域的应用课后思考深度理解拓展应用未来展望如何将多元函数的微分理论与其他学科除了梯度下降法之外，还有哪些其他优多元函数的微分理论还有哪些发展方向知识结合，解决实际问题？化算法可以用来求解多元函数的极值问？如何将它应用到更复杂的问题中？题？。