《高等多元函数导数理论》课件

高等多元函数导数理论欢迎来到高等多元函数导数理论课程！课程简介内容概述课程目标本课程将深入探讨多元函数的导数理论，涵盖偏导数、全帮助学生掌握多元函数导数理论的基本原理，熟练运用导微分、方向导数、梯度、链式法则、雅可比矩阵等重要概数工具解决多元函数相关问题，并为后续的数学学习和应念并介绍多元函数的极值问题、条件极值问题和拉格朗用奠定扎实基础日乘数法课程目标掌握多元函数导数的基熟练运用导数工具解决12本概念多元函数相关问题包括偏导数、全微分、方如求多元函数的极值、条向导数、梯度等件极值，计算复合函数、隐函数的偏导数等理解多元函数导数理论在其他学科中的应用3例如，在物理学、经济学、工程学等领域本课程的学习要求预备知识课堂参与学生应具备高等数学中一元积极参与课堂讨论，提出问函数导数的基本概念和计算题，并尝试解决问题，以加方法，以及一些线性代数的深对知识的理解和掌握基本知识课后练习认真完成课后练习题，巩固所学知识，并尝试拓展思考多元函数概念回顾多元函数的概念一多元函数的图形在多元函数的极限当个函数，其定义域为三维空间中，多元函自变量趋近于某个点一个多维空间，值域数的图形可以是一个时，函数值趋近于一为一个实数空间曲面或一个曲线个常数，则称该常数为函数在该点的极限偏导数的定义与几何意义几何意义定义偏导数表示多元函数图形在某个方向上偏导数是指多元函数对其中一个自变量12的斜率，例如，对x的偏导数表示函数的导数，其他自变量保持不变图形沿x轴方向的斜率偏导数的计算方法求导法则1可以使用一元函数求导法则来计算偏导数，例如，加减法法则、乘法法则、除法法则等链式法则2当多元函数是复合函数时，可以使用链式法则计算偏导数高阶偏导数的定义与计算定义高阶偏导数是指对多元函数进行多次偏导数运算得到的导数计算高阶偏导数的计算需要反复使用偏导数的计算方法性质高阶偏导数具有某些性质，例如，混合偏导数在一定条件下是可交换的全微分的概念定义全微分是指多元函数在某个点上的微小变化量，可以表示成各个自变量微小变化量的线性组合应用全微分可以用来近似计算多元函数在某个点附近的函数值全微分的性质可加性21线性性齐次性3全微分具有线性性、可加性和齐次性等性质，这些性质使得全微分在数学和物理学等领域得到广泛应用复合函数的偏导数计算链式法则复合函数的偏导数可以使用链式法则计算，链式法则将复合函数的偏导1数分解成各个子函数的偏导数的乘积例题2假设z=fu,v，其中u=gx,y，v=hx,y，则可以使用链式法则计算z对x和y的偏导数隐函数的偏导数计算隐函数1隐函数是指无法用显式表达式表示的自变量和因变量之间的关系计算方法2使用隐函数求导法，对隐函数等式两边同时求导，并利用链式法则计算隐函数的偏导数方向导数和梯度的概念方向导数多元函数沿某个方向的变化率梯度多元函数在某个点上各个方向上的方向导数的最大值方向梯度的性质与几何意义1方向梯度指向多元函数在该点上增长最快的方向2大小梯度的模长等于函数在该点上最大方向导数的值偏导数与方向导数的关系方向导数可以表示为梯度与方向向量的点积，偏导数是方向导数在坐标轴方向上的特例链式法则链式法则应用链式法则描述了复合函数的导数与各个子函数的导数之间链式法则可以用于计算复合函数的偏导数，并解决一些相的关系关的应用问题雅可比矩阵雅可比矩阵是多元函数的偏导数构成的矩阵，它反映了多元函数在某个点上的局部线性化性质雅可比矩阵及其性质性质应用雅可比矩阵具有线性性、可加性和齐次性等性质，这些性雅可比矩阵可以用于计算复合函数的导数、求解隐函数的质使得雅可比矩阵在数学和物理学等领域得到广泛应用偏导数，以及研究多元函数的极值问题等隐函数的微分定义1隐函数是指无法用显式表达式表示的自变量和因变量之间的关系微分2隐函数的微分是指隐函数等式两边同时求导，并利用链式法则计算隐函数的导数应用3隐函数的微分可以用于计算隐函数的偏导数，并解决一些相关的应用问题多元函数的最大值与最小值极值点多元函数在某个点上的导数为零，则称该点为函数的极值点最大值和最小值多元函数的最大值和最小值可能出现在极值点，也可能出现在函数定义域的边界上条件极值问题的研究条件极值是指多元函数在某个约束条件下取得的极值方法解决条件极值问题可以使用拉格朗日乘数法，该方法将条件极值问题转化为无条件极值问题拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法通过引入一个拉利用拉格朗日乘数法可以求解多格朗日乘数，将条件极值问题转元函数在约束条件下的最大值和化为无条件极值问题最小值拉格朗日乘数法的证明证明过程利用梯度向量和约束条件的等式，证明拉格朗日乘数法可以找到函数在约束条件下的极值点结论拉格朗日乘数法是一种有效的求解条件极值问题的方法拉格朗日乘数法的应用工程学2例如，在结构设计优化问题中经济学1例如，在生产成本最小化的优化问题中物理学3例如，在力学问题中高阶偏导数的应用曲率高阶偏导数可以用来计算曲面的曲率，例如，二阶偏导数可以用来计算曲面的平均1曲率和高斯曲率极值判定2高阶偏导数可以用于判断多元函数的极值类型，例如，二阶偏导数可以用于判断极值点是极大值点、极小值点还是鞍点泰勒展开式3高阶偏导数可以用来构建多元函数的泰勒展开式，泰勒展开式可以用来近似计算多元函数在某个点附近的函数值二次型及其标准形定义1二次型是指由n个变量的平方项和交叉项组成的齐次多项式标准形2二次型可以通过线性变换化为标准形，标准形只包含平方项，且系数为1或-1正定二次型及其性质正定二次型对于任意非零向量x，二次型fx0，则称fx为正定二次型性质正定二次型在很多数学和物理学问题中有着重要的应用，例如，在稳定性分析中惯性定理1内容惯性定理指出，二次型在经过线性变换化为标准形后，正系数项的个数和负系数项的个数是不变的2应用惯性定理可以用于判断二次型的正定性，以及研究二次型在不同坐标系下的性质广义逆矩阵及其性质定义性质广义逆矩阵是指满足某些条件的矩阵，它可以用来解决一广义逆矩阵具有某些特殊的性质，例如，它可以用来求解些非方阵矩阵的逆问题线性方程组的最小二乘解广义逆矩阵的应用统计学控制理论信号处理例如，在最小二乘回归分析中例如，在系统辨识中例如，在信号滤波中总结与展望课程内容1本课程涵盖了多元函数导数理论的各个重要方面，包括偏导数、全微分、方向导数、梯度、链式法则、雅可比矩阵，以及多元函数的极值问题和条件极值问题后续学习2在后续的数学学习中，多元函数导数理论将继续发挥重要作用，例如，在微积分学、偏微分方程、多元函数积分等领域习题1题目求函数fx,y=x^2+y^2在点1,2处的偏导数解答∂f/∂x=2x，∂f/∂y=2y，所以，fx,y在点1,2处的偏导数分别为2和4习题2题目求函数fx,y=x^2+2xy+y^2在点1,1处的全微分解答df=2x+2ydx+2x+2ydy，所以，fx,y在点1,1处的全微分为4dx+4dy习题3题目求函数fx,y=x^2+y^2在点解答∇f=2x,2y，所以，fx,y1,1处的梯度在点1,1处的梯度为2,2习题4题目解答1求函数fx,y=x^2+y^2在点1,1处沿方向导数=∇f·u=2,2·2方向向量u=1,1的方向导数1,1/sqrt2=2sqrt2习题5题目1求函数fx,y=x^2+y^2在约束条件x^2+y^2=1下的最大值和最小值解答2使用拉格朗日乘数法可以求得最大值为2，最小值为0课后思考题问题11多元函数的导数与一元函数的导数有什么区别和联系？问题22拉格朗日乘数法在实际应用中有哪些局限性？问题33多元函数导数理论在其他学科中有哪些应用？参考文献高等数学数学分析同济大学数学系编.高等数学（第七版）[M].北京:高等教育华东师范大学数学系编.数学分析[M].北京:高等教育出版社出版社,

2014.,

2009.问答环节如果您对本课程有任何疑问，请随时提出！。