《高等微积分原理》教学课件

《高等微积分原理》教学课件本课件旨在帮助学习者掌握高等微积分的理论基础，并通过具体实例讲解应用方法课程简介课程内容教学目标本课程涵盖了高等微积分的核心内容，包括函数、极本课程旨在培养学习者对高等微积分的深刻理解，并限、连续性、导数、微分、积分、反函数、隐函数、使他们能够运用微积分知识解决实际问题参数方程、多元函数微分学等课程目标理解函数、极限、连续性掌握微积分的基本运算方

12、导数、微分、积分等基法，并能够熟练运用本概念运用微积分知识解决实际问题，例如求解极值、计算面积、体3积等先修知识微积分的学习需要一定的学习者需要具备基本的代数学基础，例如初等数学数、三角函数、几何知识、线性代数等以及逻辑思维能力了解基本的数学符号和运算，例如求导、积分等函数及其性质函数是数学中描述变函数的定义域是指所函数的值域是指所有量之间关系的重要工有可以作为自变量的可能的函数值具，是微积分的基础取值范围连续函数是指在定义域内图像没有间断的函数基本初等函数多项式函数形如fx=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_11的函数x+a_0指数函数形如的函数，其中且fx=a^x a0a≠12对数函数形如的函数，其中且fx=log_a xa0a≠13三角函数例如等sin x,cos x,tan x4函数的极限函数的极限是指当自变量无限接近某个值时，函数值无限接近的某个特定值极限是微积分中非常重要的概念，它是导数、积分等概念的基础极限的概念可以用语言描述，也可以用图形ε-δ方法理解单侧极限右极限当自变量从右侧无限接近某个值2时，函数值无限接近的某个特定左极限值1当自变量从左侧无限接近某个值时，函数值无限接近的某个特定值极限存在只有当左极限和右极限都存在且3相等时，函数的极限才存在连续函数连续函数是微积分中非常重要的一个连续函数是指在定义域内图像没有间类函数，它具有许多重要的性质，例在定义域内，当自变量无限接近某个断的函数如可积性、可导性等值时，函数值也无限接近该点的函数值，则称该函数在该点连续间断点第一类间断点1包括跳跃间断点和可去间断点第二类间断点2包括无穷间断点和振荡间断点初等函数的性质多项式函数1多项式函数是连续函数，在定义域内没有间断点指数函数2指数函数是连续函数，在定义域内没有间断点对数函数3对数函数是连续函数，但它在处有间断点x=0三角函数4三角函数是周期函数，它们在定义域内有许多间断点导数概念导数函数在某一点处的导数表示函数在该点处的变化率，即函数值相对于自变量的变化率导数的几何意义函数在某一点处的导数等于该点处切线的斜率导数的计算规则1加减法±的导数等于的导数加上或减去的导数fx gx fx gx2乘法的导数等于的导数乘以加上乘以的导数fx gx fx gx fx gx3除法的导数等于的导数乘以减去乘以的导数，再除以的平方fx/gx fx gxfxgx gx4链式法则复合函数的导数等于内层函数的导数乘以外层函数的导数高阶导数微分概念定义公式函数在某一点处的微分是指自变量的增量乘以函数在该dy=fx dx点处的导数微分的几何意义全微分定义公式多元函数在某一点的全微分是指自变量增量的线性组dz=∂z/∂x dx+∂z/∂y dy合，其中系数为函数在该点处的偏导数微分中值定理罗尔定理如果函数在闭区间上连续fx[a,b]1，在开区间内可导，且，则存a,b fa=fb在一点∈，使得ξa,b fξ=0拉格朗日中值定理如果函数在闭区间fx[a,2上连续，在开区间内可导，则存在一点b]a,b∈，使得ξa,b fξ=fb-fa/b-a柯西中值定理如果函数和在闭区间fxgx3上连续，在开区间内可导，且[a,b]a,b gx，则存在一点∈，使得≠0ξa,b fb-fa/gb-ga=fξ/gξ泰勒公式泰勒公式是将一个可微函数在某一点附近展开成一个多项式函数的公式泰勒公式可以用于逼近函数，并估计误差泰勒公式是微积分中重要的工具，它在许多领域都有应用，例如数值计算、物理学、工程学等极值问题函数的极值是指函数在定义求解函数的极值问题是微积域内的最大值或最小值分中的重要应用之一求解极值问题需要用到导数的概念，例如求导后令导数为，找0到函数的驻点，再判断驻点是否为极值点最值应用最值问题在实际生活中有很多应用，例如，在工程设计中，需要找到材料在经济学中，需要找到最佳的生产策例如寻找最优方案、设计最佳模型等的最佳使用方案，以最大限度地提高略，以最大限度地提高利润效率或降低成本不定积分概念1定义不定积分是指导数等于原函数的函数集合2公式，其中，为任意常数∫fxdx=Fx+C Fx=fx C基本积分公式换元积分法方法类型将被积函数通过变量替换转换为更容易积分的函数包括第一类换元积分法和第二类换元积分法分部积分法分部积分法是将被积函数拆分成两部分，其中一部分1的导数比较容易求，另一部分的积分比较容易求，然后用分部积分公式计算积分分部积分公式∫u dv=uv-∫v du2分部积分法主要适用于求解一些难以直接积分的函数3的积分定积分概念定积分是指函数在某一区间上的积分值，它表示函数曲线与轴所围成的面积x定积分的定义是通过对函数曲线下的面积进行分割、求和、取极限得到的定积分是微积分中的重要概念，它在许多领域都有应用，例如计算面积、体积、质量、功等牛顿莱布尼茨公式-牛顿莱布尼茨公式是定积分的计算公式，它将定积分与不定积分-联系起来公式，其中是的任意∫_a^b fxdx=Fb-Fa Fxfx一个原函数定积分的几何意义定积分表示函数曲线定积分可以用来计算定积分可以用来计算与轴在某一区间旋转体的体积曲线的长度x上所围成的面积广义积分广义积分是指被积函数在积分区间内存在间断点，或1者积分区间为无穷区间时的积分广义积分的定义是通过对积分区间进行扩展或分割，2再求极限得到的广义积分是微积分中重要的概念，它可以用来解决一3些函数在定义域内没有定义的积分问题广义积分的性质如果广义积分收敛，则它是一个确定的数值如果广义积分发散，则它没有确定的数值广义积分的收敛性与被积函数的奇异性以及积分区间有关广义积分的计算将广义积分转化为普通积分计算转化后的普通积分如果转化后的普通积分存在，则广义积分收敛，否则发散反函数定义如果函数的图像关于直线对称，则称的反函数为fx y=xfx1f^-1x性质2且ff^-1x=xf^-1fx=x反函数的性质定义域和值域1反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域单调性2如果原函数是单调函数，则反函数也是单调函数，且单调性相同导数3反函数的导数等于原函数导数的倒数，即f^-1x=1/ff^-1x隐函数1定义隐函数是指用一个方程来表示的函数关系，但无法显式地写出函数的表达式2例子例如，方程表示一个圆，这个方程隐式地定x^2+y^2=1义了作为的函数y x隐函数的求导参数方程表示的函数定义例子参数方程是指用一个或多个参数来表示函数关系例如，圆的方程可以用参数方程表示为，x=cos ty=sin t曲线长度及曲面积分曲线长度曲面积分曲线长度是指曲线在空间中所占的距离曲面积分是指将一个函数在曲面上积分曲线积分曲线积分是指将一个函数在曲线上的积分1曲线积分可以用来计算曲线在空间中的长度、2质量、功等曲线积分的计算需要用到参数方程3格林公式格林公式将平面区域上的曲线积分与该区域上的二重积分联系起来公式∮∬_C Pdx+Q dy=_D∂Q/∂x-∂P/∂y dxdy格林公式可以用来计算平面区域的面积、中心点等面积分面积分是指将一个函数在曲面积分可以用来计算曲面的面上的积分面积、质量、通量等面积分的计算需要用到曲面的参数方程高斯公式高斯公式将三维空间区域上的曲面积公式∬∭高斯公式可以用来计算三维空间区域_S F·n dS=_V divF分与该区域上的三重积分联系起来的通量dV斯托克斯公式斯托克斯公式可以用来计算曲面的旋公式∮∬度_C F·dr=_S curlF·斯托克斯公式将曲面上的曲线积分与n dS该曲面的边界曲线上的曲线积分联系起来多元函数微分学多元函数偏导数定义计算多元函数的偏导数是指函数在某一点处，沿着某个坐计算多元函数的偏导数时，将其他变量视为常数，然标轴方向的变化率后对该变量求导全微分及应用多元函数的全微分是指函数在某一点处，自变量增量1的线性组合全微分可以用来近似计算函数在某一点附近的增量2全微分在许多领域都有应用，例如误差分析、数值计3算、优化问题等多元函数极值问题多元函数的极值是指函数在定义域内的最大值或最小值求解多元函数的极值问题需要用到偏导数的概念，例如求解偏导数后令偏导数为，找到函数的驻点，再判0断驻点是否为极值点多元函数极值问题的应用非常广泛，例如优化问题、经济模型等结语通过本课程的学习，您将掌握高等微积分的核心内容，并能够运用微积分知识解决实际问题希望本课件能够帮助您深入理解微积分的理论基础，并为您的未来学习和研究打下坚实基础。