《高等数学II》课件

《高等数学》课程II PPT欢迎来到《高等数学II》课程！本课程将带你深入探索微积分的奇妙世界，为你的数学基础打下坚实基础课程简介课程内容学习目标本课程涵盖了微积分学中的核心内容，包括极限、连续、导数、通过本课程，你将掌握微积分的基本概念和方法，并能够运用这微分、积分、微分方程等些知识解决实际问题课程目标掌握微积分的基本概念熟练掌握微积分的计算12和理论方法包括极限、连续、导数、微分包括极限的计算、导数的求解、积分、微分方程等、积分的计算等能够运用微积分知识解决实际问题3例如，求曲线方程、计算面积、体积等先修知识回顾高等数学I线性代数概率统计掌握基本函数、导数、积分的基本概掌握矩阵、行列式、向量空间等基本掌握概率、随机变量、统计分布等基念和计算方法概念和计算方法本概念和计算方法集合与常见运算集合的概念集合的运算集合的性质集合是数学中最基本的包括并集、交集、补集包括包含关系、相等关概念之一，它是一些对、差集等系、子集等象的聚集体函数及其性质函数的概念1函数是描述两个集合之间对应关系的一种数学模型函数的性质2包括单调性、奇偶性、周期性、有界性等函数的图像3函数的图像可以帮助我们直观地理解函数的性质极限概念与计算极限的概念极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于另一个值极限的计算包括利用极限的定义、利用极限的性质、利用洛必达法则等方法极限的应用极限在微积分中有着广泛的应用，例如，求导数、求积分等极限的性质与应用极限的应用2极限在微积分中有着广泛的应用，例如，求导数、求积分等极限的性质1包括极限的唯一性、极限的加减乘除、极限的复合等极限的应用极限在微积分中有着广泛的应用，例如3，求导数、求积分等连续函数的概念与性质连续函数的概念连续函数是指函数在某一点或某个区间上没有跳跃或断裂连续函数的性质包括连续函数的运算、连续函数的性质等连续函数的应用连续函数在微积分中有着广泛的应用，例如，求导数、求积分等初等函数的连续性幂函数1例如，y=x^2,y=x^3,y=x^1/2等指数函数2例如，y=a^x,y=e^x等对数函数3例如，y=log_a x,y=ln x等三角函数4例如，y=sinx,y=cosx,y=tanx等反三角函数5例如，y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx等一元函数的微分法则求导法则1包括求导的定义、求导的基本公式、求导的复合函数法则等微分的概念2微分是函数变化量的一种近似表示微分的应用3微分在微积分中有着广泛的应用，例如，求切线方程、求函数的最值等求导公式的推导幂函数的求导利用求导的定义和极限的性质推导指数函数的求导利用求导的定义和极限的性质推导对数函数的求导利用求导的定义和极限的性质推导高阶导数的计算23二阶导数三阶导数对函数求导两次得到对函数求导三次得到nn阶导数对函数求导n次得到隐函数的求导参数方程的微分参数方程参数方程的求导用一个参数表示曲线上的点的坐标利用求导的链式法则，分别对参数求导微分中值定理泰勒公式与泰勒展开泰勒公式泰勒展开利用函数在某一点的导数来近似地表示函数将函数展开成一个无穷级数，这个级数称为泰勒级数微分的应用求切线方程求函数的最值利用导数求函数在某一点的切利用导数判断函数的单调性、线方程极值、最值等近似计算利用微分公式对函数进行近似计算不定积分概念与性质不定积分的概念1不定积分是导数的反运算不定积分的性质2包括不定积分的线性性质、不定积分的积分常数等不定积分的应用3不定积分在微积分中有着广泛的应用，例如，求面积、求体积等基本积分公式基本积分公式包括常数函数的积分、幂函数的积分、指数函数的积分等三角函数的积分包括正弦函数的积分、余弦函数的积分、正切函数的积分等反三角函数的积分包括反正弦函数的积分、反余弦函数的积分、反正切函数的积分等换元积分法第一类换元法第二类换元法1将被积函数中的某一部分用一个新的变将积分变量用一个新的变量表示，然后2量表示，然后进行积分进行积分分部积分法分部积分法公式∫u dv=uv-∫v du分部积分法应用当被积函数为两个函数的乘积时，可以使用分部积分法有理函数积分法部分分式分解积分计算将有理函数分解成若干个简单的有理函数的和对分解后的每一个简单有理函数进行积分无穷积分的概念与性质无穷积分的概念1积分区间的一个或两个端点为无穷大时的积分无穷积分的性质2包括无穷积分的收敛与发散、无穷积分的比较判别法等无穷积分的应用3无穷积分在物理、工程等领域有着广泛的应用广义积分的概念与性质广义积分的概念被积函数在积分区间内存在间断点时的积分广义积分的性质包括广义积分的收敛与发散、广义积分的比较判别法等广义积分的应用广义积分在物理、工程等领域有着广泛的应用定积分概念与性质定积分的应用定积分的性质定积分在微积分中有着广泛的应用，例如定积分的概念包括定积分的线性性质、定积分的积分中，求面积、求体积、求弧长等定积分是指在给定区间上对函数进行积分值定理等微积分基本定理牛顿-莱布尼茨公式1将定积分与不定积分联系起来微积分基本定理的应用2利用微积分基本定理可以方便地计算定积分定积分的计算牛顿-莱布尼茨公式1利用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分换元积分法2利用换元积分法计算定积分分部积分法3利用分部积分法计算定积分变限积分及其应用变限积分的概念积分上限或下限为变量的积分变限积分的性质包括变限积分的求导公式、变限积分的应用等变限积分的应用变限积分在微分方程、概率统计等领域有着广泛的应用曲线、曲面积分1曲线积分沿着曲线对函数进行积分2曲面积分在曲面上对函数进行积分场论基础及应用向量场标量场在空间中每个点都对应一个向量在空间中每个点都对应一个标量场论的基本概念梯度散度标量场的变化方向和变化率向量场的源或汇的程度旋度向量场旋转的程度保守场与无旋场保守场1沿着任意闭合曲线积分的值为零无旋场2旋度为零格林公式及应用格林公式将平面区域上的曲线积分转化为区域上的二重积分格林公式的应用例如，计算区域的面积、求解平面向量场的旋度等斯托克斯公式及应用斯托克斯公式斯托克斯公式的应用1将曲面上的曲线积分转化为曲面上的曲例如，计算曲面的面积、求解向量场的2面积分旋度等高斯定理及应用高斯定理将闭合曲面上的曲面积分转化为曲面所包围的区域上的三重积分高斯定理的应用例如，计算区域的体积、求解向量场的散度等复变函数概述复数复变函数由实部和虚部组成的数定义域为复数集或复数集的子集，值域为复数集的函数复变函数的性质解析函数1在定义域内处处可导的复变函数柯西-黎曼方程2解析函数必须满足的条件柯西积分定理3解析函数在闭合曲线上的积分值为零复变函数的微分复变函数的导数利用极限定义求复变函数的导数复变函数的微分公式包括复变函数的求导法则、复变函数的复合函数求导等复变函数的积分复变函数的路径积分沿着复平面上的一条曲线对复变函数进行积分柯西积分公式用于计算解析函数在闭合曲线上的积分值留数定理用于计算解析函数在孤立奇点处的积分值。