苏教版必修：向量的概念及表示课件解读

向量的概念及表示本课件将深入探讨向量的概念和表示方法，为学习后续的线性代数知识打下坚实的基础向量的概念在物理学和数学中，向量是一种既有大小又有方向的量它可以用来描述各种物理量，如速度、力、位移等向量的定义向量可以定义为一个具有大小和方向的有序对，通常用箭头表示箭头的大小表示向量的大小，箭头指向的方向表示向量的方向向量的方向向量的方向通常由一个角度或一个方向向量来表示方向向量是与向量同向的单位向量向量的大小向量的大小也称为向量的模，它表示向量长度，通常用双竖线表示例如，向量的大小用表示a|a|零向量零向量是一个大小为零的向量，它的方向没有定义零向量用表示0向量的几何表示在平面或空间中，向量可以用一个箭头表示箭头起点表示向量箭头的大小表示向量的模，箭头指向的方向表示向量的方向起点，箭头终点表示向量终点向量的坐标表示向量也可以用坐标表示在平面中，向量用两个坐标表示，如a=x,y在空间中，向量用三个坐标表示，如a=x,y,z坐标轴与坐标平面在平面中，我们用两个互相垂直的直线作为坐标轴，分别是轴和轴在x y空间中，我们用三个互相垂直的直线作为坐标轴，分别是轴，轴和轴x y z三个坐标轴定义了三个坐标平面平面，平面和平面xy xzyz平面上向量的坐标表示平面上一个向量可以用它的两个坐标表示，即，其中是向量a a=x,y x在轴上的投影，是向量在轴上的投影x yy空间中向量的坐标表示空间中一个向量可以用它的三个坐标表示，即，其中是a a=x,y,z x向量在轴上的投影，是向量在轴上的投影，是向量在轴上的投影x yyzz向量的基本运算向量的加法两个向量的加法向量的减法两个向量的减法12可以通过平行四边形法则或三可以通过将被减向量平移到与角形法则来计算减向量起点重合，然后连接两个向量的终点来计算向量的数乘一个向量乘以一个数，得到一个新的向量，其方向与原3向量相同或相反，大小为原向量大小的倍k向量的加法平行四边形法则三角形法则将两个向量平移到起点重合，然后以这两个向量为邻边作平行四将第一个向量的终点与第二个向量的起点连接起来，连接点表示边形，对角线表示两个向量的和两个向量的和向量的减法将被减向量平移到与减向量起点重合，然后连接两个向量的终点，这个向量就表示被减向量减去减向量的结果向量的数乘将向量乘以一个数，得到一个新的向量，其方向与原向量相同或相反，大小k为原向量大小的倍如果为正数，新向量与原向量同向；如果为负k kk数，新向量与原向量反向；如果为零，则新向量为零向量k向量的加减法性质交换律1a+b=b+a结合律2a+b+c=a+b+c零向量3a+0=a负向量4a+-a=0向量的基本运算例题给定两个向量和，求解下列运算a=1,2b=3,-

11.a+b

2.a-b

3.2a

4.-3b平面上向量的加减和数乘在平面上，我们可以用坐标来表示向量，并利用坐标进行向量的加减和数乘运算例如，给定两个向量和a=x1,y1b=x2,，则y2a+b=x1+x2,y1+y2a-b=x1-x2,y1-y2ka=kx1,ky1空间中向量的加减和数乘在空间中，我们可以用坐标来表示向量，并利用坐标进行向量的加减和数乘运算例如，给定两个向量和，则a=x1,y1,z1b=x2,y2,z2a+b=x1+x2,y1+y2,z1+z2a-b=x1-x2,y1-y2,z1-z2ka=kx1,ky1,kz1向量的应用向量在物理学、工程学、计算机图形学等领域有广泛的应用它可以用来描述力和运动，构建几何模型，进行图像处理等力的合成分解力的合成分解是利用向量加减法来研究力的作用效果一个力可以分解成几个力的合力，几个力的合力可以合成一个力速度和位移的分析向量可以用来描述物体的速度和位移速度是物体在单位时间内的位移，它是一个向量，既有大小（速度值）又有方向位移是物体从起点到终点的距离和方向，它也是一个向量电场中荷电粒子的运动向量可以用来描述电场中荷电粒子的运动电场力是一个向量，它的大小和方向取决于电场强度和荷电粒子的电荷量荷电粒子在电场力作用下会发生运动，其运动轨迹可以用向量来描述法向量和切向量法向量和切向量是几何图形中重要的概念，它们与曲线的切线和曲面的法线密切相关法向量的定义法向量是指垂直于曲线的切线或曲面的法线的向量它的大小通常为，即1单位向量法向量用于描述曲线的弯曲程度或曲面的方向切向量的定义切向量是指与曲线或曲面相切的向量它的大小通常为，即单位向量切1向量用于描述曲线或曲面的方向法向量和切向量的应用法向量和切向量在几何学、物理学、计算机图形学等领域有广泛的应用例如，在计算机图形学中，法向量用于模拟光照效果，切向量用于计算曲线的长度和曲面的面积向量的点积向量的点积也称为内积，它是一种将两个向量运算成一个标量的运算点积的结果表示两个向量在同一方向上的投影的长度点积的定义两个向量和的点积定义为a=x1,y1,z1b=x2,y2,z2a·b=x1x2+y1y2+z1z2点积的性质交换律分配律1a·b=b·a2a·b+c=a·b+a·c数乘模的平方3ka·b=ka·b=a·kb4a·a=|a|²点积的应用点积在物理学、工程学和计算机图形学等领域有广泛的应用它可以用来计算功、能量、角度、投影等向量的叉积向量的叉积也称为外积，它是一种将两个向量运算成一个新向量的运算叉积的结果是一个垂直于两个原向量的向量，其大小等于两个原向量所形成的平行四边形的面积叉积的定义两个向量和的叉积定义为a=x1,y1,z1b=x2,y2,z2×a b=y1z2-y2z1,z1x2-z2x1,x1y2-x2y1叉积的性质反交换律××分配律×××1a b=-b a2a b+c=a b+a c数乘×××模的平方×3ka b=ka b=a kb4|a b|²=|a|²|b|²-a·b²叉积的应用叉积在物理学、工程学和计算机图形学等领域有广泛的应用它可以用来计算力矩、角动量、面积、体积等。