《稳定序列分析》课件

稳定序列分析本课件将介绍稳定序列的定义、性质、产生条件和应用，并探讨线性递推序列、非齐次线性递推序列和高阶线性递推序列的解法什么是稳定序列定义特点稳定序列是指随着时间推移，其统计性质保持不变的序列稳定序列的均值、方差和自相关系数不随时间变化稳定序列的性质平稳性可预测性稳定序列满足平稳性，即其统计稳定序列具有可预测性，因为其性质不随时间变化未来趋势可以根据历史数据进行预测可分析性稳定序列易于进行分析和建模，因为其统计性质保持不变稳定序列的产生条件条件一条件二序列的均值和方差必须有限且不随时间变化序列的自相关系数必须只与时间间隔有关，而与时间点无关数学定义令为一个时间序列，如果对于任意时间点和时间间隔，满足以下条{Xt}t h件，则为稳定序列{Xt}，常数EXt=μ，常数VarXt=σ2，只与有关CovXt,Xt+h=γh h举例说明假设我们抛一枚硬币，每次抛硬币的结果是正面或反面，正面为，反面为1如果我们连续抛次硬币，并记录结果，就得到一个时间序列010{1,0,这个时间序列是一个稳定序列，因为它满足稳定序列1,1,0,1,0,0,1,0}的定义线性递推序列线性递推序列是指每个元素可以用前几个元素的线性组合表示的序列例如，斐波那契数列就是一个线性递推序列，其中Fn=Fn-1+Fn-2F0=，0F1=1特征方程对于一个线性递推序列，我们可以用特征方程来求解其通解特征方程的根称为特征根例如，斐波那契数列的特征方程为x2-x-1=0特征根特征方程的根称为特征根特征根决定了线性递推序列的性质例如，斐波那契数列的特征根为和φ=1+√5/2ψ=1-√5/2通解线性递推序列的通解可以用特征根表示例如，斐波那契数列的通解为，其中和是常数Fn=Aφn+Bψn A B初始条件为了确定线性递推序列的具体解，需要根据初始条件求解常数和AB例如，斐波那契数列的初始条件为，根据初始条件，我们可F0=0F1=1以解得和A=1/√5B=-1/√5收敛性分析线性递推序列的收敛性取决于特征根的大小如果所有特征根的绝对值都小于，则线性递推序列收敛于一个常数；如果存1在特征根的绝对值大于，则线性递推序列发散1公比准则如果一个线性递推序列的特征根的绝对值都小于，则该序列收敛于零这个1结论被称为公比准则例如，一个公比为的等比数列收敛于零

0.5指数类型如果一个线性递推序列的特征根是实数，且绝对值大于，则该序列呈指数增1长例如，一个公比为的等比数列呈指数增长2周期类型如果一个线性递推序列的特征根是复数，且绝对值为，则该序列呈周期性变1化例如，一个公比为的等比数列呈周期性变化-1振荡类型如果一个线性递推序列的特征根是复数，且绝对值小于，则该序列呈振荡衰1减例如，一个公比为的等比数列呈振荡衰减

0.8非齐次线性递推序列非齐次线性递推序列是指其通解除了特征根之外，还包含一个特解例如，一个非齐次线性递推序列可以表示为an=2an-1+3an-2+5n方程求解求解非齐次线性递推序列的通解，需要先求解齐次部分的通解，再求解特解齐次部分的通解可以使用特征根方法求解；特解可以使用常数变易法求解常数变易法常数变易法是一种求解非齐次线性微分方程的特解的方法该方法将齐次方程的解中的常数替换为未知函数，然后求解未知函数，从而得到特解初始条件为了确定非齐次线性递推序列的具体解，需要根据初始条件求解常数和AB初始条件可以是序列的前几个元素的值解的性质非齐次线性递推序列的解的性质取决于齐次部分的解和特解的性质例如，如果齐次部分的解收敛于零，而特解是指数增长，则非齐次线性递推序列的解将呈指数增长高阶线性递推序列高阶线性递推序列是指其通解可以用多个特征根表示例如，一个三阶线性递推序列可以表示为an=2an-1-an-2+3an-3特征方程对于一个高阶线性递推序列，我们可以用特征方程来求解其通解特征方程的根称为特征根例如，一个三阶线性递推序列的特征方程为x3-2x2+x-3=0特征根特征方程的根称为特征根特征根决定了线性递推序列的性质例如，一个三阶线性递推序列的特征根可以是实数、复数或重复根通解高阶线性递推序列的通解可以用特征根表示例如，一个三阶线性递推序列的通解可以表示为，其中、和是常数an=Aλ1n+Bλ2n+Cλ3n AB C初始条件为了确定高阶线性递推序列的具体解，需要根据初始条件求解常数、和A BC初始条件可以是序列的前几个元素的值解的性质高阶线性递推序列的解的性质取决于特征根的大小和性质例如，如果所有特征根的绝对值都小于，则高阶线性递推序列收敛于一个常1数；如果存在特征根的绝对值大于，则高阶线性递推序列发散1例题演示我们用一个简单的例子来说明如何求解一个二阶线性递推序列例如，我们要求解序列，其中，an=2an-1-an-2a0=1a1=2本课程小结本课程介绍了稳定序列的定义、性质、产生条件和应用，并探讨了线性递推序列、非齐次线性递推序列和高阶线性递推序列的解法我们学习了特征方程、特征根、通解、初始条件和解的性质等重要概念思考题如何判断一个时间序列是否是稳定序列？如何求解非齐次线性递推序列的通解？。