《高等数学基础理论》课件

高等数学基础理论课程概述课数课内积线数本程旨在帮助学生掌握高等学的程容涵盖微分、性代、概础论计基理和基本方法率统等重要分支过论习践练习通理学和实，提升学生数养问题的学素和解决的能力数学分析的基本概念极限连续性导数积分数趋时数区内图数线积函值向某个特定值，函在某点或间，其函在某一点的变化率，代求解曲下方面的工具，趋势为断该线导数为自变量的变化它理形无间，即自变量的微小表了点切的斜率它是它与互逆运算，在物连续积导数现积领应解性和微分奠定了基变化不会致函值出跳微分中的核心概念之一理、工程等域广泛用础跃基本逻辑语句与证明方法命题逻辑运算断陈连题一个可以判真假的述.接命的运算,包括否定、合蕴取、析取、涵等.量词证明方法题围称证题骤表示命范的符号,包括全明命真假的步,包括直接词词证证证量和存在量.明、间接明、反法等.集合论基础集合的概念集合的表示方法12数质举图集合是学中的基本概念，指具有共同性的元素的总集合可以用列法、描述法和形法表示体集合的运算集合的性质34满质换结集合的运算包括并集、交集、补集和差集集合足一些基本性，例如交律、合律和分配律函数的基本性质单调性凹凸性极值数单调数区数数线区数数区函的性是指函在某个间上的变函的凹凸性是指函曲在某个间上函的极值是指函在某个点或某个间趋势为单调单调弯为内化，分递增和递减的曲方向，分向上凹和向下凹取得的最大值或最小值极限与连续性极限的概念连续性的概念当时数当时数连续这自变量无限接近某一值，函值无限接近于一个确定的值，自变量在一个点附近变化，函值也随之变化，个点这数称为数连续个确定的值就是函的极限就函的点导数的概念及应用导数定义微分12导数数导数关是函变化率的度量，表与微分密切相，微分是数时对数线示函在某一点的瞬变化速函在某一点的性逼近率应用3导数领应数在优化、物理、经济等域有着广泛的用，例如求解函的最计值、算物体的速度和加速度等微分中值定理及其应用罗尔定理1数闭区连续开区内导如果函fx在间[a,b]上，在间a,b可，则内且fa=fb，在a,b至少存在一点ξ，使得fξ=0拉格朗日中值定理2数闭区连续开区内导如果函fx在间[a,b]上，在间a,b可，则内在a,b至少存在一点ξ，使得fb-fa=fξb-a柯西中值定理3数闭区连续开区内如果函fx和gx在间[a,b]上，在间a,b导则内可，且gx≠0，在a,b至少存在一点ξ，使得[fb-fa]/[gb-ga]=fξ/gξ高阶导数及其应用定义应用阶导数对数进阶导数许领应高是指函行多次求高在多域都有重要导结阶导数的果例如，二是函用，包括物理学、工程学和经济数阶导数导数阶导数阶导的一的，三学例如，在物理学中，高数阶导数导数数来是函的二的，以此可以用描述物体运动的加速类推度和角加速度泰勒公式将数项来泰勒公式是函在某一点附近用多式逼近的一种重要工具泰勒开阶导数公式的展式中包含了高不定积分的概念与性质定义性质数导数为则称数对如果函Fx的fx,Fx是fx的一个原函•∫[fx+gx]dx=∫fxdx+∫gxdx给数数称为积•为数于定的函fx,它的所有原函的集合fx的不定分，∫kfxdx=k∫fxdx k常记为∫fxdx•为数∫fxdx=fx+C C任意常基本积分公式基本积分公式常见函数积分公式积础识为数数数数对是微分学中重要的基知，解如幂函、三角函、指函和积问题数数积决各种分提供了一种基本的工函的分公式等具积分公式的应用计积在算分、求解微分方程以及解决问题实际中起着重要作用定积分的概念与性质定义性质积数区积线质定分是函在某个间上的累定分具有性性、可加性、积应来计积质这效的度量，它可以用算分中值定理等重要性，些积积质质们简积面、体、量等性可以帮助我化定分的计算应用积应领计积积质定分广泛用于物理、工程、经济等域，例如算面、体、压量、功、力等微积分基本定理积分与导数反向运算积导数积导数建立了分与之间的联系分是的逆运算公式计积提供了算定分的方法广义积分及其应用无穷积分瑕积分应用123积区为穷区积积区积数积积应分间无间的分，可以分间有限，但被函在分广义分广泛用于物理学、工程来计穷区数积区内断积来领用算无间上的函的面间有间点的分，可以用学、经济学等域积计数断积或体算函在间点附近的面或体积常微分方程的基本概念定义阶数解数导数称为现阶导数阶数称数称为该包含未知函及其的方程微分微分方程中出的最高的使微分方程成立的函微分方程数为阶数方程如果未知函只含有一个自变微分方程的的解则称为量，之常微分方程一阶微分方程的解法分离变量法将别积微分方程的变量分离，然后分分得到解.积分因子法过积将转为积通引入分因子，微分方程化可直接分的形式.齐次方程法对进换将转为于齐次方程，可以行变量替，其化可分离变量的方程.伯努利方程法过换将转为线通变量替，伯努利方程化性微分方程.二阶线性微分方程的解法齐次方程1特征方程求解非齐次方程2数数待定系法或变易常法特殊类型3欧拉方程等偏导数的概念与性质多变量函数方向导数应用导数来数导数导数标轴导数领偏是用描述多变量函在某一点沿偏是方向在坐方向上的特殊偏在优化、物理、工程等域都有广应着某个方向的变化率情况泛用全微分及其应用函数变化率误差估计优化问题数计数误围约数全微分用于描述多元函在某点附近的变可用于估函值的差范在束条件下求函极值化率重积分的概念与性质定义与概念性质与定理应用积数维积积线质积区积领重分是多元函在多空间上的重分具有性性、可加性、分重分在物理学、工程学等域具有广扩单数积应计质分，它展了变量函的分概念，域的可变性等，并遵循一些重要定理，泛的用，例如算物体的量、重计维区积积简积计惯用于算多域上的面、体等如Fubini定理，用于化重分的心、性矩等算重积分的计算方法直接计算1积进计利用二重分定义行直接算换元积分2标换将积区转为简单区利用坐变分域化更的域累次积分3将积转为单积进计二重分化两个变量分行算曲线积分的概念与性质定义类型线积线对数线积为线积曲分是沿着一条曲一个函曲分可以分第一类曲分和进积来计线线积们别对应行分它可以用算沿着曲第二类曲分，它分于曲质线数线场积上的某个物理量，比如功、量或流上的函值和曲上的向量的量分性质线积线还曲分具有性性和可加性它线数关数与曲的参化有，不同的参化积会得到相同的分值定理及其应用Green定理应用领域1Green2将线积Green定理曲分与二重Green定理在流体力学、电磁积来计热领应分联系起，可以用于算学、力学等域有广泛的区积线积计平面域的面或曲分用，例如算流体流量、电磁场强度等计算方法3过对线积积进计Green定理可以通曲分或二重分行算，从而求解平面区积线积域的面或曲分的值定理及其应用Stokes定理物理应用Stokes将积线积Stokes定理曲面分与分Stokes定理在电磁学、流体力学来积领应计联系起，是微分基本定理的等域有着广泛的用，例如场重要推广算磁强度、流体速度等工程应用领应计Stokes定理在工程域也有重要用，例如算物体表面受力、流体流动等高斯定理及其应用将场场应计场场场场热领高斯定理向量的通量与向量的散度用于算电、磁、重力等物理在流体力学、力学、电磁学等域有广来应联系起的通量泛用向量微积分基本理论梯度散度旋度场该场场该场场该场向量的梯度描述了在每个点上变向量的散度描述了在每个点上发向量的旋度描述了在每个点上旋汇转化最快的方向散或聚的程度的程度无穷级数的基本性质收敛性绝对收敛条件收敛穷级数敛质穷级数绝对穷级数敛绝对无的收性是其最重要的性如果一个无的值之和收如果一个无收，但其值级数敛敛则该级数称为绝对敛敛则该级数称为之一，它决定了是否收于一个，收之和不收，条件收敛有限值幂级数及其应用定义收敛性应用级数级数敛级数数积幂是指形如∑n=0∞anx-x0n的无幂的收性取决于自变量x的取值范幂可用于解决微分方程、求函的穷级数为数为数围敛区称为敛开数计，其中an常，x0实，x，收间收域分和展函，在物理、工程、算机科为领应自变量学等域有着广泛的用傅里叶级数及其应用周期函数的分解信号处理中的应用12级数将数级数应频傅里叶周期函分解成傅里叶广泛用于音和数线图将一系列正弦和余弦函的性像处理，可以信号分解成组数质频现滤合，揭示了周期函的本不同率的成分，从而实结压缩构波、和噪声消除等操作物理学和工程学中的应用3级数热传导问题挥傅里叶在解决、波动方程等物理中发着重要作用，为杂现理解和模拟复象提供了一种强大的工具总结课绍数础论数积本程介了高等学的基理，涵盖了学分析、微分、常微分方程、积穷级数内向量微分和无等重要容。