《二次函数》复习课件

二次函数复习课件欢迎来到二次函数的复习课程本课件将全面回顾二次函数的核心概念、性质和应用，帮助同学们深化理解，提高解题能力我们将从基础定义开始，逐步探讨二次函数的图像特征、变换规律，以及在实际问题中的应用让我们一起踏上这段数学探索之旅，重新认识这个既优雅又实用的函数课程学习目标掌握二次函数的定义和基本形式深入理解二次函数的本质，能够准确识别和表达各种形式的二次函数熟悉二次函数的图像特点和变换能够绘制和分析二次函数图像，理解平移、伸缩等变换对图像的影响灵活运用二次函数解决实际问题培养应用二次函数知识解决现实生活中问题的能力，提高数学建模技巧掌握二次方程和不等式的解法熟练运用各种方法解二次方程和不等式，并能够分析判别式的意义二次函数的定义形式定义几何意义二次函数是形如fx=ax²+bx+c二次函数的图像是一条抛物线的函数，其中a、b、c是实数，且当a0时，抛物线开口向上；当a≠0这个定义明确了二次函数的a0时，抛物线开口向下这种特基本数学表达式殊的曲线形状是二次函数的标志应用范围性特征二次函数在物理、经济、工程等多个领域有广泛应用，如描述物体运动轨迹、市场供需关系等它是连接代数和几何的重要桥梁二次函数的基本形式一般式顶点式因式分解式fx=ax²+bx+c a≠0fx=ax-h²+k fx=ax-x₁x-x₂这是最常见的二次函数表达形式，直接体现了二次这项种、形一式次直项接和给常出数了项抛物系线数的a顶决点定坐了标抛h物,k线，的便开当于口二我方次们向函分和数析宽有函窄两数个的不最同值的和实对根称时轴，可以使用这种形式x₁和x₂是函数的两个零点，即与x轴的交点二次函数图像的特点抛物线形状对称性顶点二次函数的图像始终是一条抛物线，抛这物是线其关最于基其本顶的点几的何铅特垂征线对抛物线抛的物形线状的取顶决点于是二其次最项高系点数（a当的正负称这条铅垂线被称为对称轴，a0时）或最低点（当a0时）其方程为x=-b/2a顶点坐标可以通过公式-b/2a,f-b/2a计算得出与坐标轴的交点抛物线与y轴的交点坐标为0,c与x轴的交点（如果存在）可以通过求解ax²+bx+c=0得到二次函数图像的变换平移变换将fx=ax²的图像向右平移h个单位，向上平移k个单位，得到fx=ax-h²+k这种变换不改变抛物线的开口方向和宽窄伸缩变换将fx=x²的图像在y轴方向伸缩|a|倍，得到fx=ax²当|a|1时，抛物线变窄；当0|a|1时，抛物线变宽对称变换将fx=ax²关于y轴反射，得到fx=a-x²，即fx=ax²关于x轴反射，得到fx=-ax²，开口方向改变二次函数的性质单调性对称性在定义域内，二次函数在对称轴左侧单调递增，右侧单调递减（当a0时）；反之亦然（当a0时）二次函数图像关于对称轴x=-b/2a对称这一性质使得我们可以利用对称性快速绘制和分析图像1243连续性零点性质二次函数在其定义域内处处连续，这意味着其图像是一条没有间断的光滑曲线二次函数最多有两个零点（与x轴的交点）零点的数量和性质与判别式Δ=b²-4ac有关二次函数的最大值和最小值最值的存在性最值的求解应用意义每个二次函数都有唯一的最大值或最小值，这取决最于值二点次就项是系抛数物a线的的符顶号点，当其ax0坐时标，为函-数有最小在值实；际当问a0题时中，，函最数值有常最常大代值表最优解例如，在经济学中可能表示最大利润或最小成本；在物理学中可能表示物体运动的最高点或最远距离b/2a将此x值代入函数即可求得最值y=f-b/2a=-Δ/4a，其中Δ=b²-4ac是判别式二次函数应用问题解决策略识别问题类型首先确定问题是否涉及二次关系常见的有面积、运动、利润等问题建立数学模型将问题转化为二次函数表达式确定自变量和因变量，列出函数关系分析函数特征根据问题需求，确定是求最值、零点还是其他特征分析a、b、c的含义求解和验证使用适当的方法求解，如求顶点、因式分解等检查结果是否符合实际情况解释结果将数学结果翻译回实际问题的语境，给出明确的结论和解释二次函数应用问题实例1问题描述一个长方形花园的周长固定为24米如何确定长和宽，使花园的面积最大？建立模型设宽为x米，则长为12-x米面积S=x12-x=12x-x²这是一个开口向下的二次函数求解过程顶点的x坐标为-b/2a=12/2×1=6代入原函数得最大面积S=6×6=36平方米结果解释当花园为6米×6米的正方形时，面积最大，为36平方米这体现了等周长下，正方形面积最大的几何性质二次函数应用问题实例2问题描述1一个物体从高处自由落下，其高度h（米）与时间t（秒）的关系为h=100-

4.9t²求物体落地时间和初始高度分析模型2这是一个开口向下的二次函数，其中a=-

4.9，b=0，c=100初始高度即为c值，为100米求解过程3物体落地时h=0，即解方程0=100-

4.9t²解得t=√100/

4.9≈

4.52秒结果诠释4物体从100米高处自由落下，约

4.52秒后落地这个模型反映了重力加速度为

9.8m/s²的自由落体运动规律二次函数应用问题实例3问题背景函数分析计算过程经济解释某工厂生产一种商品，每天的这是一个开口向下的二次函数，最优产量x=-b/2a=-100/-1工厂每天生产100件商品时，可利润P（元）与日产量x（件）a=-

0.50，说明存在最大值=100件最大利润P=-以获得最大利润3000元这个的关系为P=-

0.5x²+100x-利用顶点公式可以求得最优产

0.5×100²+100×100-2000=模型考虑了规模效应，反映了2000求最大日利润及对应的量和最大利润3000元产量增加时边际成本上升的经产量济规律如何解二次方程识别二次方程确保方程形如ax²+bx+c=0，其中a≠0如果方程不是标准形式，先进行整理和化简选择适当的解法根据方程的具体形式，可以选择因式分解法、配方法、求根公式法或图解法等每种方法都有其适用的情况执行解题步骤按照所选方法的具体步骤进行计算注意运算的准确性，特别是在处理负数和分数时验证解的正确性将得到的解代入原方程，检查是否成立这一步可以帮助发现可能的计算错误解二次方程的公式求根公式对于标准形式ax²+bx+c=0的二次方程，其解为x=[-b±√b²-4ac]/2a判别式Δ=b²-4ac是判别式，它决定了方程解的性质Δ0两个不同的实根Δ=0两个相等的实根Δ0无实根，有两个共轭复根使用技巧

1.先计算判别式，判断解的性质

2.注意±号，表示有两个解

3.化简根式，得到最简形式的解适用范围求根公式适用于所有二次方程，但对于特殊形式的方程（如a=1或c=0），可能存在更简单的解法完全平方法解二次方程理解原理完全平方法的核心是将二次项和一次项组合成完全平方式x+p²，从而简化方程移项将常数项移到等式右侧ax²+bx=-c提取公因式将a提出ax²+b/ax=-c构造完全平方式在括号内添加b/2a²ax²+b/ax+b/2a²=-c+ab/2a²化简和求解左侧变为ax+b/2a²=b²-4ac/4a，然后取平方根并解出x因式分解法解二次方程寻找因子识别可分解的形式2尝试找出常数项c的因子，这些因子可能是x的系数1观察方程是否容易分解为ax+mbx+n=0的形式试验组合3尝试不同的因子组合，直到找到满足原方程的分解式5验证结果求解线性方程将得到的解代入原方程，确保结果正确4将分解后的每个因式设为0，解出对应的x值二次方程应用问题实例1问题描述建立方程求解过程一个长方形游泳池的长度比宽度多6米，面积为2设00宽平为方x米米，求则游长泳为池x的+6长米和宽根据面积公使用求根公式x=[-6±√6²+4×200]/式xx+6=200整理得x²+6x-200=2=-6±√836/2x₁≈10米，x₂≈-16米0（舍去）二次方程应用问题实例2问题描述1一个物体从地面垂直向上抛出，其高度h（米）与时间t（秒）的关系为h=20t-5t²求物体达到最大高度的时间和最大高度分析模型2这是一个开口向下的二次函数，其中a=-5，b=20，c=0最高点对应函数的顶点计算过程3达到最大高度的时间t=-b/2a=-20/-10=2秒最大高度h=20×2-5×2²=20米物理解释4物体在2秒后达到最大高度20米这个模型反映了重力加速度为10m/s²的匀变速直线运动二次方程应用问题实例3问题描述一个长方形广告牌的周长为30米如果将宽度增加2米，长度减少2米，面积将增加4平方米求广告牌原来的长和宽建立方程设原宽为x米，长为15-x米根据面积变化关系x+215-x-2-x15-x=4展开得x²-13x+36=0求解过程使用因式分解法x-9x-4=0解得x₁=9米，x₂=4米结果分析原宽度为4米，长度为11米验证4+11+4+11=30米（周长正确）6×9-4×11=54-44=10（面积增加4平方米）判别式的意义定义Δ0对于二次方程ax²+bx+c=0，判别式Δ=b²-4ac判别式反映了方程根的性质方程有两个不同的实根图像上表现为抛物线与x轴相交于两点1243Δ0Δ=0方程无实根，有两个共轭复根图像上表现为抛物线不与x轴相交方程有两个相等的实根（重根）图像上表现为抛物线与x轴相切判别式与二次方程解的性质根的数量根的间距图像特征判别式直接决定了实根的数量当Δ0时，√Δ/2|a|表示两个判别式反映了抛物线与x轴的位置关系，影响图像的整体形状和位置Δ0有两个不同实根，Δ=0有实根之间的距离Δ越大，根一个重根，Δ0无实根之间的距离越大解题策略在解题过程中，可以先计算判别式，快速判断解的性质，选择合适的解法二次函数与二次不等式二次不等式的形式图像法解不等式代数法解不等式二次不等式通常表示为ax²+bx+c0解二次不等式可以通过绘制二次函数图像来实现也不可等以号通过0求对解应对图应像的在二x轴次上方方程的ax部²分+b，x+0对应图像在x轴下方的部分（或,≥,≤）的形式，其中a≠0它与二次c=0，然后根据a的符号和不等号的方向函数fx=ax²+bx+c密切相关确定解集这种方法特别适用于复杂的不等式二次不等式的解法标准化不等式将不等式化为标准形式ax²+bx+c0（或,≥,≤）确保二次项系数a不为零求解对应方程解二次方程ax²+bx+c=0，得到零点（如果存在）这些零点是不等式解集的分界点确定开口方向根据a的符号确定抛物线的开口方向a0时开口向上，a0时开口向下分析区间根据零点将数轴分成若干区间，在每个区间内选取一个点代入原不等式，判断符号写出解集根据判断结果，用区间表示法写出满足不等式的x值范围注意边界点的包含与否二次不等式应用问题实例1问题描述某工厂生产一种商品，每件售价为x元当售价为100元时，日销量为200件每上涨或下调1元，日销量相应减少或增加4件求为使日销售额不少于20000元，售价应在什么范围内？建立模型设价格变动y元，则x=100+y，销量为200-4y销售额S=x200-4y=100+y200-4y展开得S=20000-400y+200y-4y²=-4y²+200y+20000构建不等式要求销售额不少于20000元，即-4y²+200y+20000≥20000简化为-4y²+200y≥0解不等式因式分解-4yy-50≥0解得0≤y≤50代回x=100+y，得100≤x≤150二次不等式应用问题实例2问题描述1一个长方形花坛的周长固定为24米要使花坛的面积大于30平方米，长和宽应该如何设计？建立模型2设宽为x米，则长为12-x米面积S=x12-x=12x-x²要求S30，即12x-x²30解不等式3整理得x²-12x+300求解对应方程x²-12x+30=0得到x₁=2,x₂=10分析结果4由于抛物线开口向上，解集为2x10考虑实际意义，宽度x的范围为2x6（因为长度也要大于2米）二次不等式应用问题实例3问题描述一个物体从高处自由落下，t秒后的高度h（米）满足方程h=100-

4.9t²求物体下落的高度在60米到80米之间时，所经过的时间范围建立不等式根据题意，我们需要解不等式60100-

4.9t²80变形处理将不等式转化为标准形式

204.9t²

404.08t²

8.16求解取平方根（注意t0）

2.02t

2.86结果解释物体下落高度在60米到80米之间时，经过时间约为

2.02秒到

2.86秒这段时间内，物体快速通过20米的距离二次函数知识点总结定义与图像顶点与对称轴零点与判别式二次函数fx=ax²+bx+c顶点坐标-b/2a,f-b/2a是函零点由ax²+bx+c=0求得a≠0的图像是抛物线a决定数的最值点x=-b/2a是对称判别式Δ=b²-4ac决定实根数开口方向和宽窄，b和c影响平轴量和性质移二次不等式解二次不等式可通过函数图像或代数方法，关键是确定函数值大于或小于零的区间习题演练1题目解答步骤答案已知二次函数fx=ax²+bx+c的图像经

1.代入点A和B到fx=x²+bx+c中

2.解1fx=x²+2x+32x=-13最小值为过点A1,2和B-1,6，且a=1求1函方程组得b和c的值

3.写出完整的函数解析2，在x=-1时取得数的解析式2函数的对称轴方程3函数式

4.利用b=-2a求对称轴

5.计算顶点坐的最小值标，得到最小值习题演练2题目解题思路解不等式x²-6x+

501.求解对应的方程x²-6x+5=

02.利用求根公式或因式分解法找到方程的根

3.根据抛物线开口方向确定不等式的解区间详细过程答案

1.因式分解x-1x-5=

02.得到根x₁=1,x₂=

53.因为二次解集为1x5项系数为正，抛物线开口向上

4.在1,5区间内，二次函数值小于0习题演练3题目描述1一个长方形广告牌的长是宽的

1.5倍如果长增加2米，宽减少1米，面积不变求广告牌原来的长和宽建立方程2设原来的宽为x米，则长为

1.5x米根据面积不变

1.5x·x=

1.5x+2x-1展开得

1.5x²=

1.5x²+2x-

1.5x-2简化为

0.5x=2求解过程3解得x=4原来的宽为4米，长为6米验证4原面积4×6=24平方米变化后5×3=15平方米面积确实不变习题演练4题目一个物体从地面以30m/s的初速度竖直向上抛出其t秒后的高度h（米）满足方程h=30t-5t²求物体达到最大高度时的时间和最大高度分析函数这是一个开口向下的二次函数，其中a=-5，b=30，c=0最高点对应函数的顶点计算过程达到最大高度的时间t=-b/2a=-30/-10=3秒最大高度h=30×3-5×3²=90-45=45米结果解释物体在抛出后3秒达到最大高度45米这个模型反映了重力加速度为10m/s²的匀变速直线运动习题演练5代入点坐标题目2A0,1c=1B1,4a+b+1=4C2,11已知抛物线y=ax²+bx+c a≠0经过点4a+2b+1=1A0,1，B1,4，C2,1求这条抛物线的解析式解方程组3a+b=34a+2b=0解得a=-1,b=45验证写出解析式代入三个点的坐标，确认方程成立4y=-x²+4x+1学习小结基础概念掌握我们深入学习了二次函数的定义、图像特征和基本性质理解了二次函数y=ax²+bx+c中各参数的几何意义，以及它们如何影响函数图像解题技能提升通过多种方法学习了如何解二次方程和二次不等式，包括因式分解法、配方法和求根公式法这些技能为解决更复杂的问题奠定了基础应用能力培养我们探讨了二次函数在现实生活中的应用，如物体运动、面积计算和经济模型等这些例子帮助我们理解了数学与实际问题之间的联系思维方式锻炼通过分析和解决各种二次函数问题，我们培养了逻辑思维和问题解决能力学会了如何将复杂问题分解为可管理的步骤拓展思考高阶函数探索函数的连续性与极限二次规划问题二次函数是多项式函数的一种我们可以二次函数是连续函数的一个典型例子我们可以深在入优研化究理函论数中的，连二续次性规概划念是，一以个及重如要何领利域用极它限涉来及分在析二函次数约的束行条为件下这最为大后化续或学最习小微化积二分次奠目定标基函础数这在经济学、工程学等领域有广泛应用进一步探索三次函数、四次函数等更高阶的函数这些函数在更复杂的实际问题中有重要应用，如物理学中的运动方程和经济学中的供需模型课堂小结关键概念回顾问题解决策略图形分析能力我们学习了二次函数的定义、通过各种实例，我们练习了如我们强化了函数图像的分析能图像特征、解析式的不同形式，何将实际问题转化为数学模型，力，学会了如何从图像中提取以及如何解二次方程和不等式特别是二次函数模型这种能重要信息，如最值点、对称性这些是理解更高级数学概念的力在科学研究和工程应用中至等这种直观理解对于复杂问基础关重要题的分析非常有帮助未来学习方向二次函数是更高级数学概念的基石我们讨论了如何将这些知识应用到更复杂的函数和实际问题中，为今后的学习指明了方向下节课预告函数的奇偶性我们将探讨函数的奇偶性概念，学习如何判断一个函数是奇函数还是偶函数，以及这些性质在函数图像和数学分析中的应用函数的单调性我们将学习如何判断函数在某个区间内的单调性，这包括增函数和减函数的概念，以及如何利用导数来分析函数的单调区间函数的周期性我们将介绍周期函数的概念，学习如何确定函数的周期，并探讨一些常见的周期函数，如三角函数复合函数最后，我们将学习如何构造和分析复合函数，理解函数组合的概念，这将为我们今后学习更复杂的函数关系奠定基础。