《几何变换原理》课件

几何变换原理本课程将深入探讨几何变换的原理、分类、矩阵表达方式以及在计算机图形学中的应用我们将从基础知识出发，逐步学习平移、旋转、缩放、反射和错切等基本变换，并探讨其在物体建模、相机模型、纹理映射等领域的应用通过学习本课程，您将掌握几何变换的基本原理，并能够在计算机图形学领域进行更加深入的研究和实践课程简介学习目标课程内容理解几何变换的基本概念和分类，并能够运用矩阵表达方式描述本课程将涵盖二维和三维空间中的几何变换，包括平移、旋转、不同的变换掌握平移、旋转、缩放、反射和错切等基本变换的缩放、反射和错切等基本变换我们将深入探讨其矩阵表达方式，原理和应用了解几何变换在计算机图形学中的应用场景，例如并讲解组合变换、逆变换、同构变换等概念最后，我们将分析物体建模、相机模型、纹理映射等几何变换在计算机图形学领域的应用，并结合实际案例进行讲解几何变换的定义及分类定义在几何学中，几何变换是指将空间中的点或图形按照一定的规则进行移动、旋转、缩放、1反射或错切等操作，从而得到新的点或图形分类几何变换可以分为两大类刚性变换和非刚性变换刚性变换是指保持图形2形状和大小不变的变换，例如平移和旋转非刚性变换是指改变图形形状或大小的变换，例如缩放、反射和错切应用3几何变换在计算机图形学、图像处理、机器人学等领域都有着广泛的应用几何变换的表达方式矩阵表达方程表达矩阵表达是描述几何变换最常用除了矩阵表达外，还可以使用方的一种方式通过矩阵乘法，可程来描述几何变换例如，平移以将变换应用于向量或点，从而变换可以用两个平移量来描述，得到变换后的结果矩阵表达方旋转变换可以用旋转中心和旋转式简洁、直观，易于理解和计算角度来描述图形学中的应用在计算机图形学中，几何变换通常使用矩阵表达方式来实现因为矩阵表达方式更易于进行计算机运算，并且能够方便地进行变换组合和逆变换平移变换定义向量表达平移变换是指将空间中的点或图形按平移变换可以用一个向量来描述，该照某个方向移动一定距离的操作，即向量表示平移的方向和距离平行移动坐标变换在坐标系中，平移变换可以通过改变点的坐标来实现，即在原坐标的基础上加上平移向量平移变换的矩阵表达平移矩阵平移变换可以使用一个3x3的矩阵来表示矩阵的第一行和第二行表示平移向量，第三行表示单位矩阵矩阵乘法将平移矩阵与点或向量的坐标矩阵相乘，可以得到平移后的坐标矩阵具体计算方式是将平移矩阵的第一行和第二行分别与坐标矩阵的对应行相乘，然后将结果相加，得到变换后的点的坐标代码实现在实际应用中，可以使用编程语言中的矩阵库来实现平移变换的矩阵表达例如，在Python中可以使用NumPy库来进行矩阵运算旋转变换定义参数方向旋转变换是指将空间中的点或图形绕某个点旋转变换需要三个参数来描述旋转中心、旋转方向可以是顺时针或逆时针，通常用右或轴旋转一定角度的操作旋转轴和旋转角度旋转中心是指旋转轴上手法则来判断旋转方向右手法则是指将右的一个点，旋转角度是指绕旋转轴旋转的角手拇指指向旋转轴方向，四指指向旋转方向度旋转变换的矩阵表达旋转矩阵1旋转变换可以使用一个3x3的矩阵来表示，该矩阵称为旋转矩阵旋转矩阵的元素取决于旋转轴和旋转角度旋转矩阵的每一行和每一列都是一个单位向量，代表旋转后的坐标轴方向矩阵乘法2将旋转矩阵与点或向量的坐标矩阵相乘，可以得到旋转后的坐标矩阵旋转矩阵的计算方式较为复杂，需要根据具体的旋转轴和旋转角度进行推导应用场景3旋转变换在计算机图形学中有着广泛的应用，例如物体建模、动画制作、游戏开发等缩放变换21定义比例因子缩放变换是指将空间中的点或图形按照某缩放变换需要一个比例因子来描述，该比个比例进行放大或缩小操作例因子表示缩放的比例比例因子大于1表示放大，比例因子小于1表示缩小3坐标变换在坐标系中，缩放变换可以通过改变点的坐标来实现，即将原坐标乘以比例因子缩放变换的矩阵表达缩放矩阵应用场景缩放变换可以使用一个3x3的矩阵来表示，该矩阵称为缩放矩阵缩放矩阵的缩放变换在计算机图形学中有着广泛的应用，例如物体建模、图像处理、用户对角线元素表示沿各坐标轴的缩放比例，非对角线元素为0界面设计等123矩阵乘法将缩放矩阵与点或向量的坐标矩阵相乘，可以得到缩放后的坐标矩阵缩放矩阵的计算方式比较简单，只需要将比例因子分别乘以原坐标即可反射变换反射变换的矩阵表达反射矩阵矩阵乘法反射变换可以使用一个3x3的将反射矩阵与点或向量的坐标矩矩阵来表示，该矩阵称为反射矩阵相乘，可以得到反射后的坐标阵反射矩阵的元素取决于反射矩阵反射矩阵的计算方式较为平面或轴反射矩阵的每一行和复杂，需要根据具体的反射平面每一列都是一个单位向量，代表或轴进行推导反射后的坐标轴方向应用场景反射变换在计算机图形学中有着广泛的应用，例如镜面反射、虚拟现实等错切变换定义方向参数错切变换是指将空间中的点或图形沿着某错切变换需要一个方向向量来描述，该向错切变换还需要一个参数来描述错切的程个方向进行拉伸或压缩的操作，从而使图量表示错切的方向错切方向可以是水平度该参数通常称为错切因子，表示沿着形发生变形方向、垂直方向或其他方向错切方向拉伸或压缩的比例错切因子大于1表示拉伸，错切因子小于1表示压缩错切变换的矩阵表达错切矩阵错切变换可以使用一个3x3的矩阵来表示，该矩阵称为错切矩阵错切矩阵的元素取决于错切方向和错切因子错切矩阵的非对角线元素表示错切因子，对角线元素为1矩阵乘法将错切矩阵与点或向量的坐标矩阵相乘，可以得到错切后的坐标矩阵错切矩阵的计算方式比较简单，只需要将错切因子乘以原坐标的对应项即可应用场景错切变换在计算机图形学中有着广泛的应用，例如物体变形、图像处理、用户界面设计等变换组合定义矩阵乘法应用场景变换组合是指将多个几何变换按照一定的顺组合变换的矩阵表达可以通过将各个变换矩变换组合在计算机图形学中有着广泛的应用，序进行组合，从而得到一个新的变换例如，阵进行相乘得到矩阵乘法的顺序与变换的例如物体建模、动画制作、游戏开发等通将平移变换和旋转变换组合起来，可以得到顺序一致过组合不同的变换，可以实现更加复杂的图一个新的变换，该变换既包括平移，也包括形变换效果旋转组合变换的矩阵表达矩阵相乘组合变换的矩阵表达可以通过将各个变换矩阵进行相乘得到例如，将平移矩阵T和旋转矩阵R组合1起来，得到组合变换矩阵M=T*R矩阵乘法的顺序与变换的顺序一致，即先进行旋转变换，然后再进行平移变换应用场景在计算机图形学中，组合变换的矩阵表达方式非常重要，因为它可以简化多个变换的运2算，提高效率例如，在物体建模中，需要对物体进行多次变换，例如平移、旋转、缩放等，此时可以使用组合变换来实现，从而简化代码编写和提高运行效率代码实现3在实际应用中，可以使用编程语言中的矩阵库来实现组合变换的矩阵表达例如，在Python中可以使用NumPy库来进行矩阵运算逆变换定义矩阵求逆逆变换是指将一个变换的效果撤销，恢复逆变换的矩阵表达可以通过求原变换矩阵到原始状态的变换例如，平移变换的逆的逆矩阵得到逆矩阵的求解可以通过矩变换是将图形按照相反的方向平移相同的阵运算来实现距离应用场景逆变换在计算机图形学中有着广泛的应用，例如动画制作、用户界面设计等通过逆变换，可以将图形恢复到原始状态，或进行一些特殊的效果，例如物体反向运动、图形反转等逆变换的矩阵表达逆矩阵矩阵乘法12逆变换的矩阵表达可以通过求将原变换矩阵M与其逆矩阵原变换矩阵的逆矩阵得到例M⁻¹相乘，可以得到单位矩阵如，平移矩阵T的逆矩阵T⁻¹I，即M*M⁻¹=I这表明，可以通过矩阵运算求得T⁻¹进行一个变换，再进行其逆变矩阵的元素与T矩阵的元素互换，可以恢复到原始状态为相反数，但对角线元素保持不变应用场景3逆变换在计算机图形学中有着广泛的应用，例如动画制作、用户界面设计、游戏开发等通过逆变换，可以将图形恢复到原始状态，或进行一些特殊的效果，例如物体反向运动、图形反转等同构变换定义性质应用场景同构变换是指将空间中的点或图形按照一同构变换具有以下性质保持图形的形状同构变换在计算机图形学中有着广泛的应定的规则进行变换，同时保持图形的形状、和大小不变保持图形的相对位置不变用，例如物体建模、动画制作、游戏开发大小和相对位置不变的变换例如，平移、保持图形的拓扑性质不变等通过同构变换，可以实现物体的移动、旋转、反射都是同构变换旋转、翻转等操作，同时保持物体的形状和大小不变，从而实现更加逼真的图形效果同构变换的性质保持形状和大小1同构变换不会改变图形的形状和大小例如，将一个正方形进行平移或旋转，得到的图形仍然是一个正方形，其形状和大小与原正方形相同保持相对位置2同构变换不会改变图形中各点之间的相对位置例如，将一个三角形进行平移或旋转，得到的三角形中各点之间的相对位置关系仍然保持不变保持拓扑性质3同构变换不会改变图形的拓扑性质例如，将一个圆进行平移或旋转，得到的图形仍然是一个圆，其拓扑性质（即没有孔洞、没有自交点）与原圆相同齐次坐标系定义优势应用场景齐次坐标系是将二维或三维空间中的点用一齐次坐标系在进行几何变换时，可以将平移齐次坐标系在计算机图形学中有着广泛的应个更高维度的向量来表示，例如，二维空间变换和旋转变换统一到同一个矩阵表达中用，例如物体建模、动画制作、游戏开发等中的点x,y可以用齐次坐标x,y,1来表此外，齐次坐标系还可以方便地进行透视变使用齐次坐标系可以简化几何变换的运算，示，三维空间中的点x,y,z可以用齐次坐换，即模拟现实世界中物体远小近大的现象提高效率，并能够实现更加逼真的图形效果标x,y,z,1来表示齐次坐标系下的变换矩阵表达1在齐次坐标系下，平移、旋转、缩放、反射和错切等变换都可以用一个4x4的矩阵来表示例如，平移变换的矩阵表达为```|100tx||010ty||001tz||0001|```其中tx,ty,tz表示平移向量矩阵乘法2将变换矩阵与点或向量的齐次坐标矩阵相乘，可以得到变换后的齐次坐标矩阵矩阵乘法的计算方式与之前相同优势3在齐次坐标系下，所有变换都可以用矩阵乘法来表示，这使得几何变换的运算变得更加简单和统一齐次坐标系下的逆变换逆矩阵应用场景在齐次坐标系下，逆变换的矩阵逆变换在计算机图形学中有着广表达可以通过求原变换矩阵的逆泛的应用，例如动画制作、用户矩阵得到例如，平移矩阵T界面设计、游戏开发等通过逆的逆矩阵T⁻¹可以通过矩阵运变换，可以将图形恢复到原始状算求得T⁻¹矩阵的元素与T态，或进行一些特殊的效果，例矩阵的元素互为相反数，但对角如物体反向运动、图形反转等线元素保持不变优势在齐次坐标系下，逆变换的矩阵表达可以与其他变换统一起来，使得几何变换的运算更加简洁和统一三维空间变换12定义矩阵表达三维空间变换是指将三维空间中的点或图三维空间变换可以用4x4的矩阵来表示，形按照一定的规则进行移动、旋转、缩放、该矩阵称为变换矩阵变换矩阵的元素取反射或错切等操作，从而得到新的点或图决于变换的类型和参数形3应用场景三维空间变换在计算机图形学中有着广泛的应用，例如物体建模、动画制作、游戏开发等三维平移变换定义向量表达坐标变换三维平移变换是指将三维空间中的点或图形三维平移变换可以用一个向量来描述，该向在坐标系中，三维平移变换可以通过改变点沿着某个方向移动一定距离的操作，即平行量表示平移的方向和距离的坐标来实现，即在原坐标的基础上加上平移动移向量三维旋转变换定义旋转轴旋转角度三维旋转变换是指将三维空间中的点或图形三维旋转变换需要一个旋转轴来描述，该轴三维旋转变换还需要一个旋转角度来描述，绕某个轴旋转一定角度的操作可以是x轴、y轴、z轴或任意方向上的轴该角度表示绕旋转轴旋转的角度三维缩放变换定义比例因子坐标变换三维缩放变换是指将三维空间中的点或图三维缩放变换需要一个比例因子来描述，在坐标系中，三维缩放变换可以通过改变形按照某个比例进行放大或缩小操作该比例因子表示缩放的比例比例因子大点的坐标来实现，即将原坐标乘以比例因于1表示放大，比例因子小于1表示缩小子三维反射变换三维错切变换定义方向12三维错切变换是指将三维空间三维错切变换需要一个方向向中的点或图形沿着某个方向进量来描述，该向量表示错切的行拉伸或压缩的操作，从而使方向错切方向可以是水平方图形发生变形向、垂直方向或其他方向参数3三维错切变换还需要一个参数来描述错切的程度该参数通常称为错切因子，表示沿着错切方向拉伸或压缩的比例错切因子大于1表示拉伸，错切因子小于1表示压缩三维变换组合矩阵相乘三维变换组合的矩阵表达可以通过将各个变换矩阵进行相乘得到例如，将平移矩阵T和旋转矩阵R组合起来，得到组合变换矩阵M=T*R矩阵乘法的顺序与变换的顺序一致，即先进行旋转变换，然后再进行平移变换应用场景在计算机图形学中，三维变换组合的矩阵表达方式非常重要，因为它可以简化多个变换的运算，提高效率例如，在物体建模中，需要对物体进行多次变换，例如平移、旋转、缩放等，此时可以使用组合变换来实现，从而简化代码编写和提高运行效率代码实现在实际应用中，可以使用编程语言中的矩阵库来实现三维变换组合的矩阵表达例如，在Python中可以使用NumPy库来进行矩阵运算三维逆变换定义1三维逆变换是指将一个变换的效果撤销，恢复到原始状态的变换例如，三维平移变换的逆变换是将图形按照相反的方向平移相同的距离矩阵求逆2三维逆变换的矩阵表达可以通过求原变换矩阵的逆矩阵得到逆矩阵的求解可以通过矩阵运算来实现应用场景3三维逆变换在计算机图形学中有着广泛的应用，例如动画制作、用户界面设计等通过逆变换，可以将图形恢复到原始状态，或进行一些特殊的效果，例如物体反向运动、图形反转等三维同构变换定义性质应用场景三维同构变换是指将三维空间中的点或图形三维同构变换具有以下性质保持图形的形三维同构变换在计算机图形学中有着广泛的按照一定的规则进行变换，同时保持图形的状和大小不变保持图形的相对位置不变应用，例如物体建模、动画制作、游戏开发形状、大小和相对位置不变的变换例如，保持图形的拓扑性质不变等通过三维同构变换，可以实现物体的移三维平移、旋转、反射都是同构变换动、旋转、翻转等操作，同时保持物体的形状和大小不变，从而实现更加逼真的图形效果计算机图形学中的几何变换物体建模动画制作几何变换是物体建模的基础通过几何变换在动画制作中用于实现物对基本几何体进行平移、旋转、缩体的运动和变形例如，使用平移放、反射和错切等变换，可以创建变换可以实现物体沿直线运动，使出更加复杂的几何模型用旋转变换可以实现物体绕某个轴旋转，使用缩放变换可以实现物体的大小变化，使用反射变换可以实现物体翻转游戏开发几何变换在游戏开发中用于实现游戏场景的构建、角色的运动、物体的交互等例如，使用平移变换可以实现角色在游戏场景中的移动，使用旋转变换可以实现角色的视角变化，使用缩放变换可以实现物体大小的改变物体建模中的几何变换基本几何体网格模型物体建模通常从基本几何体开始，例如立方大多数物体模型都是由网格组成的网格模体、球体、圆锥体等然后通过对这些基本型是由多个顶点和面组成，每个顶点都有一几何体进行几何变换，例如平移、旋转、缩个坐标，每个面都有一个顶点序列通过对放、反射和错切等，可以创建出更加复杂的网格模型进行几何变换，可以改变物体的形几何模型状、大小和位置编辑工具大多数3D建模软件都提供了丰富的编辑工具，例如移动工具、旋转工具、缩放工具、反射工具、错切工具等这些工具可以方便地对物体模型进行几何变换，从而创建出更加复杂的几何模型相机模型与射影变换相机模型射影变换应用场景相机模型描述了现实世界中的物体如何被射影变换是几何变换的一种特殊形式，它相机模型和射影变换在计算机图形学中有相机投影到图像平面上的过程相机模型模拟了相机投影的过程射影变换将三维着广泛的应用，例如渲染、虚拟现实、增通常包括相机位置、相机方向、相机焦距空间中的点映射到二维图像平面上的点强现实等通过相机模型和射影变换，可等参数以将三维场景渲染成二维图像，或将虚拟物体叠加到现实世界中纹理映射中的几何变换纹理映射纹理映射是指将二维图像（纹理）映射到三维物体表面上的过程，从而为物体表面添加细节和颜色几何变换在纹理映射过程中，需要对纹理坐标进行几何变换，以使纹理能够正确地映射到物体表面例如，使用平移变换可以将纹理在物体表面上移动，使用旋转变换可以将纹理在物体表面上旋转，使用缩放变换可以将纹理在物体表面上放大或缩小应用场景纹理映射在计算机图形学中有着广泛的应用，例如物体建模、动画制作、游戏开发等通过纹理映射，可以为物体表面添加细节和颜色，从而实现更加逼真的图形效果课程总结基本概念本课程介绍了几何变换的基本概念，包括定义、分类、矩阵表达方式以及在计算机图形1学中的应用变换类型2我们学习了平移、旋转、缩放、反射和错切等基本变换，以及如何使用矩阵表达这些变换应用场景3我们探讨了几何变换在物体建模、相机模型、纹理映射等领域的应用作业与测试作业测试完成本课程的作业，包括一些简本课程结束后将进行测试，测试单的几何变换练习和应用实践，内容涵盖几何变换的基本概念、例如使用Python代码实现一些基矩阵表达方式、变换组合和逆变本几何变换，并应用到简单的图换等知识点，以及一些应用场景形绘制中的分析。