《实数的性质与运算》课件

《实数的性质与运算》本课件将带领大家深入了解实数的概念、性质和运算，并探讨其在数学领域的重要应用实数概念定义分类实数是包含有理数和无理数的集合，可以用来表示连续的量实数包括有理数，如整数、分数、小数等，以及无理数，如根号

2、圆周率等实数的性质加法结合律乘法结合律a+b+c=a+b+c a×b×c=a×b×c分配律a×b+c=a×b+a×c实数的表示方法十进制分数形式使用十进制表示实数，如

1.

23、-

5.67等可以用分数形式表示实数，如1/

2、3/4等实数的大小比较比较大小数轴表示12使用“大于”、“小于”、“等于”符号比较实数的大小在数轴上，右侧的实数大于左侧的实数实数的四则运算加法减法两个实数相加，结果仍为实数从一个实数中减去另一个实数，结果仍为实数乘法除法两个实数相乘，结果仍为实数一个实数除以另一个非零实数，结果仍为实数加法的性质交换律1a+b=b+a结合律2a+b+c=a+b+c加法单位元3a+0=a加法逆元4a+-a=0减法的性质减法定义a-b=a+-b减法性质a-b+c=a-b-c减法性质a-b-c=a-b+c乘法的性质交换律1结合律2分配律3乘法单位元4乘法逆元5除法的性质除法定义1a÷b=a×1/b除法性质2a÷b÷c=a÷b×c除法性质3a÷b÷c=a÷b×c幂的基本性质×a^m a^m a^n乘方同底数幂相乘a^m=a×a×...×a m个a相乘a^m×a^n=a^m+n×a^m^n ab^n幂的乘方积的乘方a^m^n=a^m×n a×b^n=a^n×b^n根号运算平方根立方根次根n对于非负数a，它的平方根是指一个数，平对于实数a，它的立方根是指一个数，立方对于实数a和正整数n，它的n次根是指方后等于a后等于a一个数，n次方后等于a绝对值的概念定义公式实数a的绝对值是指a与0的距离，用符号|a|表示当a≥0时，|a|=a；当a0时，|a|=-a绝对值的性质非负性对称性|a|≥0|a|=|-a|三角不等式|a+b|≤|a|+|b|绝对值不等式|x|a a01-axa|x|a a02x-a或xa实数的区间定义区间是指实数轴上的一段连续部分，表示实数的集合分类区间可分为开区间、闭区间、半开半闭区间等区间的表示方法开区间1a,b闭区间2[a,b]半开半闭区间3a,b]或[a,b区间的性质ab ab单调性包含性若ab，则a,b⊆[a,b]若ab，则[a,b]⊆a,b区间的运算并集交集两个区间的并集是指包含这两个区间的全部实数的集合两个区间的交集是指两个区间共有的实数的集合上确界和下确界上确界下确界对于一个非空的有界数集，它的上确界是指小于等于该集合中所对于一个非空的有界数集，它的下确界是指大于等于该集合中所有元素的最大数有元素的最小数上确界和下确界的性质存在性唯一性12任何一个非空的有界数集都存在上确界和下确界一个非空的有界数集的上确界和下确界都是唯一的极限的概念定义1当自变量x趋近于某个值a时，函数值fx趋近于某个常数L，则称L为函数fx当x趋近于a时的极限符号2limx→a fx=L极限存在的条件左极限等于右极限limx→a-fx=limx→a+fx=L函数在极限点处有定义fa=L极限运算的性质常数的极限1limx→a c=c和的极限2limx→a[fx+gx]=limx→a fx+limx→a gx积的极限3limx→a[fx×gx]=limx→a fx×limx→a gx商的极限4limx→a[fx÷gx]=limx→a fx÷limx→a gx无穷大和无穷小无穷大1当x趋近于某个值时，函数值fx无限增大，则称fx趋近于无穷大无穷小2当x趋近于某个值时，函数值fx无限减小，则称fx趋近于无穷小单调函数极限定理12单调递增函数单调递减函数若fx在a,b上单调递增，则若fx在a,b上单调递减，则limx→a+fx存在且limx→a+limx→a+fx存在且limx→a+fx=inf{fx|x∈a,b}fx=sup{fx|x∈a,b}夹逼定理夹逼定理若fx≤gx≤hx且limx→a fx=limx→a hx=L，则limx→a gx=L零点定理零点定理应用若函数fx在闭区间[a,b]上连续，且fa×fb0，则fx在零点定理可用于证明函数方程的解的存在性a,b内至少有一个零点连续函数的定义定义解释若函数fx在点x0处连续，则limx→x0fx=fx0函数在某个点处连续是指函数图像在该点处没有间断，也就是说函数图像可以连续地画出来，没有跳跃或断点连续函数的性质中间值定理1若函数fx在闭区间[a,b]上连续，且fa≠fb，则对任意介于fa和fb之间的实数c，存在一点x0∈a,b使得fx0=c最大值最小值定理2若函数fx在闭区间[a,b]上连续，则fx在[a,b]上存在最大值和最小值初等函数连续性多项式函数多项式函数在整个实数范围内连续有理函数有理函数在其定义域内连续指数函数指数函数在整个实数范围内连续对数函数对数函数在其定义域内连续反函数的连续性定义若函数fx在区间I上单调且连续，则其反函数f⁻¹x在区间1fI上也单调且连续函数连续性的应用12物理模型经济学连续函数可以用于描述物理量随时间连续函数可以用于描述经济指标随时的变化，例如温度、速度等间的变化，例如价格、产量等导数的概念定义函数fx在点x0处的导数是指当自变量x的增量Δx趋近于零时，函数值的增量Δy与自变量增量Δx之比的极限导数的计算公式基本公式常用公式fx=limΔx→0[fx+Δx-fx]/Δx x^n=nx^n-

1、sinx=cosx、cosx=-sinx、e^x=e^x等导数的性质导数的线性性乘积法则[afx+bgx]=afx+bgx[fxgx]=fxgx+fxgx商法则[fx/gx]=[fxgx-fxgx]/gx²导数的应用求函数的极值1利用导数可以求解函数的极值点，从而确定函数的最大值和最小值求函数的单调性2利用导数可以判断函数的单调性，从而确定函数的增减区间求函数的凹凸性3利用导数可以判断函数的凹凸性，从而确定函数的拐点求切线方程4利用导数可以求解函数在某一点处的切线方程定积分的概念定义定积分是指函数在某个区间上的积分值，表示函数曲线在该区间上所围成的面积符号∫[a,b]fx dx定积分的性质线性性1∫[a,b][afx+bgx]dx=a∫[a,b]fx dx+b∫[a,b]gx dx可加性2∫[a,c]fx dx=∫[a,b]fx dx+∫[b,c]fx dx积分中值定理3若函数fx在闭区间[a,b]上连续，则存在一点x0∈a,b使得∫[a,b]fx dx=fx0×b-a基本积分公式12常数函数幂函数∫[a,b]c dx=cb-a∫[a,b]x^n dx=b^n+1-a^n+1/n+134指数函数对数函数∫[a,b]e^x dx=e^b-e^a∫[a,b]lnx dx=[xlnx-x]_[a,b]换元法积分换元法将积分式中的变量用另一个变量替换，从而简化积分运算分部积分公式应用分部积分法可以用于求解一些难以直接求解的积分∫[a,b]uxvx dx=[uxvx]_[a,b]-∫[a,b]uxvx dx定积分的应用求面积求体积12定积分可以用于计算函数曲线定积分可以用于计算旋转体或在某个区间上所围成的面积其他三维图形的体积求弧长3定积分可以用于计算函数曲线在某个区间上的弧长总结本课件回顾了实数的概念、性质和运算，以及其在函数极限、连续性、导数和定积分中的应用希望大家能够掌握实数的相关知识，并在今后的学习中灵活运用。