《导数与函数极值》课件

《导数与函数极值》本课程将带领大家探索导数的奥妙，学习如何利用导数求解函数的极值，并将其应用于解决现实世界中的各种问题导数的定义导数是描述函数在某一点的瞬时变化率，它反映了函数在该点处的斜率我们通过计算函数在自变量发生微小变化时，函数值的变化量与自变量变化量的比值来定义导数导数的物理意义导数在物理学中有着重要的意义，它可以用来描述物体的速度和加速度例如，物体的速度就是位移函数对时间的导数，加速度则是速度函数对时间的导数速度加速度速度是描述物体运动快慢的物理量，它是位移函数对时间的导加速度是描述物体速度变化快慢的物理量，它是速度函数对时数间的导数导数的计算规则导数的计算规则可以帮助我们快速准确地求解各种函数的导数这些规则包括求和、差、积、商和复合函数的导数公式求和求差两个函数和的导数等于这两个函数导数的和两个函数差的导数等于这两个函数导数的差求积求商两个函数积的导数等于第一个函数乘以第二个函数的导数加上第二两个函数商的导数等于分子导数乘以分母减去分母导数乘以分子，个函数乘以第一个函数的导数再除以分母的平方基本函数的导数公式一些常见函数的导数公式已经被推导出来，我们可以直接使用这些公式来求解导数幂函数指数函数对数函数y=x^n的导数为y=y=e^x的导数为y=y=lnx的导数为y=nx^n-1e^x1/x三角函数y=sinx的导数为y=cosx复合函数的求导复合函数是指由多个函数组合而成的函数求解复合函数的导数需要使用链式法则，即复合函数的导数等于内函数的导数乘以外函数的导数链式法则1y=fgx的导数为y=fgx*gx隐函数的求导隐函数是指无法显式地将一个变量表示为另一个变量的函数求解隐函数的导数需要使用隐函数求导法，即对等式两边同时求导，并利用链式法则来求解隐函数求导法对等式两边同时求导，并利用链式法则来求解求解将导数公式代入等式，并解出待求导数参数方程求导参数方程是指用一个或多个参数来表示函数的方程求解参数方程的导数需要使用参数方程求导法，即分别对参数方程中的两个变量求导，并利用链式法则来求解参数方程x=ft,y=gt求导dy/dx=dy/dt/dx/dt高阶导数高阶导数是指对函数进行多次求导得到的导数例如，函数的一阶导数是函数本身对自变量的一次求导，二阶导数则是对函数的一阶导数进行求导，以此类推一阶导数1fx二阶导数2fx三阶导数3fx导数应用速度和加速度:导数在物理学中有着广泛的应用，它可以用来描述物体的运动状态，包括速度和加速度例如，物体的速度就是位移函数对时间的导数，加速度则是速度函数对时间的导数位移1st速度2vt=st加速度3at=vt=st极值的概念函数的极值是指函数在某个点取得最大值或最小值，称为极大值或极小值极值点是函数取极值的点极大值极小值函数在极大值点附近的值都小于该点12函数在极小值点附近的值都大于该点的函数值的函数值确定极值的步骤确定函数的极值点需要进行以下步骤求解函数的一阶导数，找到导数为零或不存在的点；对这些点进行二阶导数测试或一阶导数测试，判断它们是否是极值点，如果是，则确定是极大值点还是极小值点求解一阶导数1fx找导数为零或不存在的点2fx=0或fx不存在二阶导数测试或一阶导数测试3判断极值点类型一阶导数测试法一阶导数测试法是利用函数的一阶导数来判断函数的极值点如果函数的一阶导数在极值点左侧为正，右侧为负，则该点为极大值点；如果一阶导数在极值点左侧为负，右侧为正，则该点为极小值点12导数符号变化极值点类型从正变负极大值点34导数符号变化极值点类型从负变正极小值点二阶导数测试法二阶导数测试法是利用函数的二阶导数来判断函数的极值点如果函数的二阶导数在极值点处为负，则该点为极大值点；如果二阶导数在极值点处为正，则该点为极小值点二阶导数为负二阶导数为正极大值点极小值点最大值和最小值问题最大值和最小值问题是指求解函数在某个区间上的最大值和最小值这些问题在现实生活中有着广泛的应用，例如，寻找最佳生产方案、设计最佳运输路线等最大值最小值函数在区间上的最大值是函数在该区间上取得的最大函数值函数在区间上的最小值是函数在该区间上取得的最小函数值曲线的凹凸性和拐点曲线的凹凸性是指曲线在某一点附近的形状，是向上凹（凸）还是向下凹（凹）拐点是指曲线凹凸性发生变化的点渐近线渐近线是指曲线当自变量趋于无穷大或无穷小时，曲线无限接近的直线渐近线可以分为水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线水平渐近线垂直渐近线当自变量趋于无穷大或无穷小当自变量趋于某个特定值时，时，曲线无限接近的水平直线曲线无限接近的垂直直线斜渐近线当自变量趋于无穷大或无穷小时，曲线无限接近的斜直线函数图像的描绘函数图像的描绘是指将函数的图像在坐标系中绘制出来为了更好地描绘函数的图像，我们需要先确定函数的定义域、值域、极值点、拐点、渐近线等特征，然后根据这些特征来绘制函数的图像确定值域确定定义域

2...

1...确定极值点

3...5确定渐近线确定拐点...

4...微分中值定理微分中值定理是微积分学中一个重要的定理，它描述了函数在某个区间上的变化情况该定理指出，如果函数在闭区间上连续，在开区间上可导，那么在该区间上至少存在一点，使得函数在该点的导数等于函数在该区间上的平均变化率中值定理fc=fb-fa/b-a几何应用切线和法线:导数在几何学中也有着重要的应用，它可以用来求解曲线的切线和法线曲线的切线是指与曲线在某一点相切的直线，法线是指与切线垂直的直线切线法线切线的斜率等于函数在该点的导数法线的斜率等于负的函数在该点的导数的倒数经济应用边际效用和边际成本:导数在经济学中也有着广泛的应用，它可以用来描述边际效用和边际成本边际效用是指消费者消费额外单位商品带来的效用增加量，边际成本是指生产额外单位商品带来的成本增加量总效用总成本Ux Cx1234边际效用边际成本MUx=Ux MCx=Cx物理应用电路和力学:导数在物理学中有着重要的应用，它可以用来描述电路和力学中的各种物理量，例如电流、电压、功率、力、加速度等电路力学电流、电压、功率的计算力、加速度、速度的计算优化问题优化问题是指在满足一定约束条件下，求解函数的最大值或最小值的问题这些问题在现实生活中有着广泛的应用，例如，寻找最佳生产方案、设计最佳运输路线等目标函数要优化的函数约束条件限制目标函数的条件求解利用导数求解目标函数的最大值或最小值最大最小值的应用实例最大最小值问题在现实生活中有着广泛的应用，例如，寻找最佳生产方案、设计最佳运输路线、优化产品设计等12生产问题运输问题最大化利润，最小化成本最短路线，最快速度3设计问题最大化容积，最小化材料最值问题的建模与解决解决最值问题的第一步是建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，并用函数来表示目标函数和约束条件然后，利用导数求解目标函数的最大值或最小值建立数学模型将实际问题转化为数学问题，并用函数来表示目标函数和约束条件求解最大值或最小值利用导数求解目标函数的最大值或最小值案例分析最大收益问题:一家公司生产并销售某种产品，其收益函数为Rx=px，其中p是产品的价格，x是产品的销量公司希望最大化其收益如何找到最佳的售价和销量？目标函数求解Rx=px求解Rx的最大值案例分析最小费用问题:一家公司需要将货物从A地运往B地，其运输费用函数为Cx=ax+b，其中a是每单位距离的运输费用，b是固定费用公司希望最小化其运输费用如何找到最佳的运输路线？目标函数求解Cx=ax+b求解Cx的最小值案例分析最小时间问题:一个人需要从A地走到B地，其行走时间函数为Tx=s/v，其中s是距离，v是速度这个人希望最小化其行走时间如何找到最佳的行走路线？目标函数求解Tx=s/v求解Tx的最小值案例分析最大面积问题:一块长方形土地的周长为20米，如何确定土地的长和宽，使得土地的面积最大？目标函数求解Sx=x*10-x求解Sx的最大值案例分析最大体积问题:一块正方形纸片，边长为10厘米，将纸片四个角各剪去一个小正方形，然后折成一个无盖长方体，如何确定剪去的小正方形的边长，使得长方体的体积最大？目标函数求解Vx=10-2x*10-2x*x求解Vx的最大值案例分析最小材料问题:一个圆柱形容器的体积为100立方厘米，如何确定容器的底面半径和高，使得容器的表面积最小？目标函数求解Sr=2πr^2+2πrh求解Sr的最小值案例分析最大利润问题:一家公司生产并销售某种产品，其成本函数为Cx=500+10x，其收益函数为Rx=20x如何确定产品的产量，使得公司获得最大利润？目标函数求解Px=Rx-Cx=10x-500求解Px的最大值总结本课程介绍了导数的概念、计算规则以及在物理、经济、几何等领域的应用我们学习了如何利用导数求解函数的极值，并将其应用于解决各种实际问题导数定义导数计算函数在某一点的瞬时变化率求和、差、积、商和复合函数的导数公式导数应用速度和加速度、边际效用和边际成本、优化问题课后练习以下是一些课后练习，帮助您巩固所学知识•求解下列函数的导数-fx=x^3+2x^2-5x+1-gx=e^x+lnx-hx=sinx+cosx•求解下列函数的极值点-fx=x^4-4x^3+6x^2-4x+1-gx=x^3-3x^2+3x-1•解决以下优化问题-一块长方形土地的周长为20米，如何确定土地的长和宽，使得土地的面积最大？-一个圆柱形容器的体积为100立方厘米，如何确定容器的底面半径和高，使得容器的表面积最小？习题讲解我们将对课后练习进行详细讲解，帮助您理解并解决问题练习题讲解......思考与展望本课程只是对导数与函数极值理论的入门介绍，还有许多更深层次的内容值得探索，例如多元函数的导数、高阶导数的应用等多元函数的导数高阶导数的应用如何求解多元函数的导数高阶导数在物理学、工程学等领域的应用泰勒展开将函数展开成多项式形式，并用多项式来近似函数参考文献以下是一些参考资料，可以帮助您进一步学习导数与函数极值理论•《微积分》同济大学数学系•《高等数学》同济大学数学系•《Calculus》James Stewart。