《导数与函数极值分析》课件

导数与函数极值分析导数是微积分中的一个重要概念，它可以用来研究函数的性质和变化规律本课程将深入探讨导数的概念、性质、应用以及与函数极值、图像分析和经济应用之间的关系导数概念导数的概念起源于对函数变化率的研究它描述了函数在某个点例如，对于运动中的物体，它的速度可以用距离函数对时间的导处的瞬时变化速率数表示，即速度等于距离的变化量除以时间变化量导数性质线性导数的线性性质意味着，线性组合的导数等于导数的线性组合乘积两个函数的乘积的导数可以使用乘积法则计算，该法则将导数分解为两个部分商两个函数的商的导数可以使用商法则计算，该法则将导数表示为分子和分母的导数的组合链式法则对于复合函数，可以使用链式法则计算其导数，该法则将导数分解为外层函数和内层函数的导数的乘积导数应用函数单调性极值判断通过导数的符号可以判断函数的单调性正导数意味着函数单调导数可以用来确定函数的极值点，即函数取最大值或最小值的点递增，负导数意味着函数单调递减极值点通常发生在导数为零或导数不存在的点导数计算规则常数函数常数函数的导数为零幂函数幂函数的导数是将指数减一后乘以原指数指数函数指数函数的导数是原函数乘以自然对数的底数对数函数对数函数的导数是原函数的倒数除以自然对数的底数函数单调性判断通过求导数并判断其符号，可以确定函数的单调性1如果导数为正，则函数在该区间内单调递增2如果导数为负，则函数在该区间内单调递减3函数极值判断求导求函数的导数，并找到其导数为零或导数不存在的点极值点判断使用二阶导数或其他方法来判断这些点是否是极值点，以及是极大值还是极小值极值验证验证这些点是否是函数在定义域内的最大值或最小值最大值最小值问题定义域确定函数的定义域，并确定定义域的边界求极值在定义域内部，求函数的极值，即函数取最大值或最小值的点比较大小比较函数在定义域边界和极值点处的函数值，找出最大值和最小值函数拐点分析拐点求二阶导数判断拐点函数拐点是指函数的凹求函数的二阶导数，并判断这些点是否是函数凸性发生变化的点找到二阶导数为零或二的拐点，即二阶导数的阶导数不存在的点符号是否发生变化实例演示函数求导fx=x^3-3x^2+2fx=3x^2-6x12极值判断极值点43，，，所fx=6x-6f0=-6f2=6fx=0=x=0,x=2以为极大值点，为极小值点x=0x=2练习题1求函数fx=x^4-4x^3+6x^2-4x+1的单调区间、极值点和拐点练习题解析求导1fx=4x^3-12x^2+12x-4单调性2，所以在时单调递减，在时单调递增fx=4x-1^3fx x1x1极值3，所以为极小值点fx=0=x=1x=1拐点4，所以函数没有拐点fx=12x-1^2函数图像分析定义域奇偶性单调性极值确定函数的定义域，即函数允判断函数的奇偶性，可以帮助利用导数判断函数的单调性，利用导数判断函数的极值，可许取值的范围理解函数图像的对称性可以确定函数图像的上升和下以确定函数图像的峰值和谷值降趋势曲线特征点交点1确定函数图像与坐标轴的交点，即函数值或自变量取值为零的点极值点2确定函数图像的极值点，即函数取最大值或最小值的点拐点3确定函数图像的拐点，即函数的凹凸性发生变化的点曲线渐近线12水平渐近线垂直渐近线当自变量趋于正无穷或负无穷时，函当自变量趋近于某个值时，函数图像数图像趋近于一条水平直线，这条直趋近于一条垂直直线，这条直线称为线称为水平渐近线垂直渐近线3斜渐近线当自变量趋于正无穷或负无穷时，函数图像趋近于一条斜直线，这条直线称为斜渐近线实例演示水平渐近线垂直渐近线对于函数，当趋于正无穷或负无穷时，趋于，对于函数，当趋于时，趋于正无穷或负无穷，fx=1/x xfx0fx=1/x x0fx所以为水平渐近线所以为垂直渐近线y=0x=0练习题2分析函数fx=x^2+1/x-1的图像特征，包括定义域、奇偶性、单调性、极值、拐点、渐近线练习题解析导数应用举例几何含义速度和加速度优化问题导数可以用来求函数图像在某一点处的切在运动学中，速度是位置函数对时间的导导数可以用来解决优化问题，例如寻找最线斜率数，而加速度是速度函数对时间的导数大利润、最小成本或最优生产量等几何含义导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线的斜率1切线斜率表示函数在该点处的瞬时变化率，即函数值的变化量2与自变量变化量的比值速度和加速度速度速度是位置函数对时间的导数，表示物体在某时刻的瞬时速度加速度加速度是速度函数对时间的导数，表示物体在某时刻的瞬时加速度优化问题目标函数建立一个目标函数，表示要优化的量约束条件确定优化问题的约束条件，即需要满足的条件求导对目标函数求导，并找到导数为零或导数不存在的点极值判断判断这些点是否是极值点，以及是最大值还是最小值实例演示目标函数问题2S=xy一个长方形的周长为米，求其面积的201最大值约束条件2x+2y=2035极值求导S=0=x=y=54S=y-x练习题3一个长方体的体积为100立方厘米，求其表面积的最小值练习题解析目标函数1S=2xy+xz+yz约束条件2xyz=100求导3S=2y+z-2xy+z=0极值4x=y=z=5导数在经济中的应用边际分析利润最大化边际成本、边际收益和边际利润是指生产或销售一个额外单位产利润最大化是经济学中的一个重要目标，通过导数可以找到利润品所带来的成本、收益和利润的变化量函数的极值点，从而确定最优的生产和销售策略边际分析边际成本是指生产一个额外单位产品所增加的成本1边际收益是指销售一个额外单位产品所增加的收益2边际利润是指销售一个额外单位产品所增加的利润3利润最大化利润函数利润函数是总收益减去总成本的函数求导对利润函数求导，并找到导数为零或导数不存在的点极值判断判断这些点是否是极值点，以及是最大值还是最小值实例演示问题利润函数12一家公司的成本函数为，收Cx=100+10x益函数为，求利润最大Rx=50x-

0.5x^2Px=Rx-Cx=40x-

0.5x^2-100化的产量极值求导，所以利润最大化的产量Px=0=x=4043Px=40-x为个单位40练习题4一家公司的成本函数为Cx=2x^2+5x+10，收益函数为Rx=10x-x^2，求利润最大化的产量练习题解析利润函数1Px=Rx-Cx=-3x^2+5x-10求导2Px=-6x+5极值3，所以利润最大化的产量为个单位Px=0=x=5/65/6高阶导数二阶导数二阶导数是函数的一阶导数的导数，可以用来判断函数的凹凸性高阶导数高阶导数是函数的二阶导数、三阶导数等，可以用来研究函数更复杂的性质隐函数求导隐函数是指无法用显式表达式表示的自变量和因变量之间的关1系对于隐函数，可以使用隐函数求导法求出导数，该方法将隐函2数方程两边同时对自变量求导隐函数求导法需要运用链式法则，将因变量的导数表示成自变3量的导数的函数微分中值定理罗尔定理拉格朗日中值定理如果函数在闭区间上连续，在如果函数在闭区间上连续，在[a,b][a,b]开区间内可导，且，开区间内可导，则在开区间a,b fa=fb a,b a,则在开区间内至少存在一点，内至少存在一点，使得a,b cb cfc=使得fc=0fb-fa/b-a实例演示区间2[0,2]函数1fx=x^2-2x+1中值点3fc=f2-f0/2-0=1=c=1练习题5验证函数fx=x^3-3x+2在区间[-2,2]上满足拉格朗日中值定理练习题解析求导1fx=3x^2-3中值点2fc=f2-f-2/2--2=0=c=1验证3，所以函数在区间上满足拉格朗日中值定f1=0fx[-2,2]理复习重点导数的概念和性质函数单调性、极值和12拐点的判断了解导数的定义、求导法则以及基本性质掌握使用导数判断函数的单调性、极值和拐点的方法导数在几何、运动学和经济中的应用3理解导数在不同领域中的应用，并能解决相关问题课后思考导数与函数图像分析之间存在怎样的关系？导数在实际问题中的应用有哪些局限性？总结通过学习导数，我们可以更深入地理解函数的变化规律，并应用其解决现实生活中的各种问题导数是一个强大而灵活的工具，在数学、物理、经济等多个领域都有着广泛的应用。