《导数在函数极值问题中的应用课件》

《导数在函数极值问题中的应用》课程目标掌握导数在函数极值问题中的应用熟练运用导数求解一元函数和多元函数的极值理解导数与函数极值的关系能够应用导数解决实际问题导数的概念回顾定义物理意义12函数在某一点的导数，是该点导数表示函数的变化率处的切线的斜率求导法则3掌握常见函数的求导法则，例如常数函数、幂函数、指数函数等导数的几何意义切线的斜率切线方程函数在某一点的导数，是该点处的切线的斜率利用导数可以求出函数在某一点处的切线方程求导法则总结函数导数常数函数0幂函数nx^n-1指数函数a^x*lna对数函数1/x*lna三角函数sinx=cosx,cosx=-sinx一元函数的极值定义极大值极小值函数在某一点的取值比其邻近点处的取值都大，则称该点为极大函数在某一点的取值比其邻近点处的取值都小，则称该点为极小值点值点求解一元函数极值的步骤求导求驻点判断极值点求出函数的一阶导数令导数为0，求出函数的驻点利用导数的符号变化判断驻点是否为极值点利用导数判断极值点的性质导数符号变化极值点的性质如果导数在某一点的左右两侧符号发生变化，则该点为极值点如果导数在某一点从正变为负，则该点为极大值点如果导数在某一点从负变为正，则该点为极小值点应用实例一函数最大值问题问题描述求解步骤求函数fx=-x^2+4x在区间[0,4]求导、求驻点、判断极值点、比较端上的最大值点处的函数值应用实例二最小成本问题问题描述求解步骤某工厂生产两种产品A和B，已知A产品的成本函数为fx=建立总成本函数，求导、求驻点、判断极值点，产品的成本函数为，求生产x^2+2x Bgy=y^2+3y10个产品和个产品的最小总成本A5B应用实例三最大利润问题问题描述1某公司生产一种产品的成本函数为，销售cx=x^2+5x+10函数为，求该公司生产和销售该产品时的最大px=20x-x^2利润求解步骤2建立利润函数，求导、求驻点、判断极值点应用实例四最短距离问题问题描述已知点和点，求直线上距离点最近A1,2B3,4y=x+1A的点坐标求解步骤建立距离函数，求导、求驻点、判断极值点应用实例五几何最优化问题问题描述1求半径为1的圆内接正方形的面积最大值求解步骤2建立目标函数，求导、求驻点、判断极值点多元函数的极值问题定义1多元函数的极值是指函数在某一点的取值比其邻近点处的取值都大（或都小）偏导数2多元函数的偏导数是指函数对其中一个自变量求导数，而保持其他自变量不变极值条件3多元函数的极值点必须满足所有偏导数都为或不存在0多元函数偏导数的概念12偏导数定义偏导数的计算对的偏导数将看作常数，对求导fx,y xy x多元函数的极值条件必要条件充分条件多元函数的极值点必须满足所有偏导数都为0或不存在利用海森矩阵判断极值点的性质多元函数极值的求解方法求偏导数求驻点12求出函数的所有偏导数令所有偏导数为0，求出函数的驻点判断极值点3利用海森矩阵判断驻点是否为极值点，以及极值点的性质应用实例一多变量函数最优化问题应用实例二投资组合最优化问题问题描述求解方法如何分配投资组合，以最大化预期收益，并最小化投资风险利用多元函数的极值问题，建立目标函数和约束条件，求解最优投资组合应用实例三工程设计最优化问题问题描述如何设计桥梁，以最小化材料成本，并满足结构强度要求求解方法利用多元函数的极值问题，建立目标函数和约束条件，求解最优设计方案典型习题演示一问题解题步骤求函数fx,y=x^2+y^2-2x-求偏导数、求驻点、判断极值点的极值4y典型习题演示二问题1已知长方体的体积为，求表面积最小的长方体的尺寸1解题步骤2建立目标函数和约束条件，利用拉格朗日乘子法求解典型习题演示三问题解题步骤求函数fx,y=x^2+y^2在圆x^2+利用拉格朗日乘子法求解约束极值问y^2=1上的最大值和最小值题课程小结导数与极值应用广泛导数是研究函数极值问题的关键工具导数在解决实际问题中发挥着重要的作用知识梳理导数的概念极值问题导数的定义、几何意义、求导法则一元函数和多元函数的极值定义、求解步骤、判断方法习题训练练习题模拟试题课本上的例题和习题考试之前做一些模拟试题课后思考思考题延伸阅读导数在其他数学领域有哪些应用？阅读相关的数学书籍和论文，进一步了解导数的应用答疑交流。