《常微分方程》课件

常微分方程常微分方程是描述一个函数与其导数之间关系的方程，在物理学、化学、生物学、经济学等各个领域都有广泛的应用本课件将介绍常微分方程的基本概念、分类、解法以及应用什么是微分方程定义示例一个包含未知函数及其导数的方程称为微分方程它描述了一例如，一个简单的一阶微分方程可以描述一个物体的速度随时个函数与其变化率之间的关系间变化的关系dv/dt=a其中v表示速度，t表示时间，a表示加速度微分方程的分类常微分方程偏微分方程包含一个或多个自变量的未知包含多个自变量的未知函数及函数及其导数的方程其偏导数的方程线性微分方程非线性微分方程未知函数及其导数的最高次幂不满足线性微分方程定义的方为1，且系数不依赖于未知函数程的方程一阶常微分方程定义1最高阶导数为一阶的常微分方程一般形式2dy/dx=fx,y解法3分离变量法、积分因子法等一阶线性常微分方程定义一般形式未知函数及其一阶导数的系数均为x的函数dy/dx+pxy=qx一阶齐次线性常微分方程定义一般形式解法一阶线性常微分方程中，qx=0dy/dx+pxy=0分离变量法一阶非齐次线性常微分方程定义1一阶线性常微分方程中，qx≠0一般形式2dy/dx+pxy=qx解法3积分因子法高阶常微分方程定义解法最高阶导数大于1的常微分方程常数变易法、特征方程法等高阶线性常微分方程定义一般形式解法123未知函数及其导数的系数均为自anxd^ny/dx^n+a_n-1xd^n-特征方程法、待定系数法等变量的函数1y/dx^n-1+...+a_1xdy/dx+a_0xy=fx高阶齐次线性常微分方程定义1高阶线性常微分方程中，fx=0一般形式2anxd^ny/dx^n+a_n-1xd^n-1y/dx^n-1+...+a_1xdy/dx+a_0xy=0解法3特征方程法高阶非齐次线性常微分方程12定义一般形式高阶线性常微分方程中，fx≠0anxd^ny/dx^n+a_n-1xd^n-1y/dx^n-1+...+a_1xdy/dx+a_0xy=fx3解法常数变易法常数变易法微分方程的解法一阶微分方程高阶线性微分方程分离变量法、积分因子法等特征方程法、待定系数法、常数变易法等一阶微分方程的解法分离变量法积分因子法将方程中的变量分离，然后积分得到解将方程两边乘以一个积分因子，使方程左边变成一个完全微分，然后积分得到解高阶线性微分方程的解法特征方程法待定系数法常数变易法求解与齐次微分方程相关的特征方程，对于非齐次微分方程，假设特解的形将齐次微分方程的通解中的常数替换然后根据特征根构造通解式，然后代入方程求解系数成自变量的函数，然后代入非齐次微分方程求解初值问题定义一般形式解法在给定初始条件的情况下，求解微分yx_0=y_0求解通解，然后将初始条件代入通解，方程的解求解出特解边值问题定义1在给定边界条件的情况下，求解微分方程的解一般形式2yx_1=y_1,yx_2=y_2解法3求解通解，然后将边界条件代入通解，求解出特解拉普拉斯变换定义公式12一种将时域函数转换为复频Fs=∫_0^∞fte^-st dt域函数的积分变换性质3线性、时移、微分、积分等性质拉普拉斯变换在微分方程中的应用12将微分方程转换为代数方程求解代数方程利用拉普拉斯变换的微分性质，可以将利用代数方法求解复频域中的代数方程微分方程中的导数转换为复频域中的代数运算3将解变换回时域利用拉普拉斯逆变换，将复频域中的解转换为时域函数傅里叶级数定义应用将周期函数表示为三角函数的无穷信号处理、图像处理等领域级数傅里叶变换应用举例电路方程1电路方程微分方程利用基尔霍夫定律和欧姆定律，可以建立电路方程电路方程通常为微分方程，可以用微分方程的解法求解应用举例机械振动2振动方程参数描述物体振动的微分方程质量、阻尼系数、弹性系数等应用举例扩散过程3扩散方程应用描述物质在空间中扩散的微分热传导、物质扩散、污染物扩方程散等应用举例种群动态4模型描述种群数量随时间变化的微分方程参数出生率、死亡率、环境容量等应用举例热传导问题5热传导方程1描述热量在物体中传导的微分方程应用2热交换器设计、建筑保温等结语常微分方程在科学、工程、经济等领域都有广泛的应用学习常微分方程能够帮助我们理解现实世界中的各种现象，并建立相应的数学模型思考题

1.如何用常微分方程描述一个物体的抛物运动？

2.如何用常微分方程描述一个弹簧振子的运动？

3.如何用常微分方程描述一个放射性物质的衰变过程？参考文献

1.《常微分方程》丁同仁编著

2.《微分方程及其应用》王高雄编著

3.《高等数学》同济大学数学系编著问题讨论欢迎大家提出关于常微分方程的问题和想法，一起讨论学习。