《微积分基础习题》课件

积础习题《微分基》本课件旨在帮助学生理解微积分基础知识，并通过习题练习巩固学习成果课程概述课标课程目程内容本课程旨在帮助学生掌握微积分基础知识，包括函数、极限、导数、本课程涵盖了微积分基础知识的各个方面，包括函数的定义域和值微分、积分等概念，并能够运用这些知识解决实际问题域、基本初等函数、函数的极限、导数、微分、积分等概念，并辅以大量的例题和习题帮助学生理解和应用这些知识础函数基义函数的定函数的表示一个函数是指一个输入值集（定义函数可以用多种方式表示，包括函域）到一个输出值集（值域）之间数表达式、函数图像、函数表格等的映射关系，其中每个输入值都对例如，可以用表达式fx=x^2来应一个唯一的输出值表示一个平方函数质函数的性函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等了解函数的性质可以帮助我们更深入地理解函数的特点义值函数的定域和域义值定域域定义域是指函数可以接受的所有输入值的集合例如，函数fx=值域是指函数可以输出的所有输出值的集合例如，函数fx=1/x的定义域为所有非零实数x^2的值域为所有非负实数基本初等函数对幂指数函数数函数三角函数函数指数函数是指形如fx=a^x的对数函数是指形如fx=三角函数是指形如fx=sinx、幂函数是指形如fx=x^n的函函数，其中a为常数且a0，a log_ax的函数，其中a为常数fx=cosx、fx=tanx等数，其中n为常数≠1且a0，a≠1函数，它们描述了直角三角形的边角关系图基本初等函数的像质基本初等函数的性单调性奇偶性周期性函数的单调性是指函数值随自变量的变化函数的奇偶性是指函数关于原点对称或关函数的周期性是指函数在一定的区间内重而变化的规律例如，指数函数y=a^x于y轴对称的性质例如，函数y=sinx复出现的性质例如，函数y=sinx的周a1在整个定义域上都是递增的是奇函数，函数y=cosx是偶函数期为2π运基本初等函数的基本算减复加乘除合函数基本初等函数可以进行加减乘除等复合函数是指将一个函数作为另一运算，例如，fx+gx、fx-个函数的自变量，例如，hx=gx、fx*gx、fx/gx fgx反函数反函数是指对于一个函数fx，存在一个函数gx，使得fgx=x且gfx=x例如，函数y=x^2的反函数为y=sqrtx反函数反函数的概念反函数的求法反函数是指对于一个函数fx，存在一个函数gx，使得fgx=求反函数的步骤一般是将y=fx中的x和y互换，然后解出y，x且gfx=x也就是说，反函数将原函数的输出值映射回其输得到y=gx，即为原函数的反函数入值复合函数复复值合函数的概念合函数的求复合函数是指将一个函数作为另一个函数的自变量，例如，hx=求复合函数的值时，需要先求出内层函数的值，再将内层函数的值fgx复合函数的定义域是gx的定义域中所有使得gx在fx作为外层函数的自变量代入计算例如，hx=fgx，则h1=的定义域内的x的值的集合fg1隐函数隐隐导函数的概念函数的求隐函数是指由方程Fx,y=0所确定的函数，其中y不是显式地表求隐函数的导数需要使用隐函数求导法，即对方程两边同时求导，示为x的函数例如，方程x^2+y^2=1所确定的函数就是隐函数然后解出y例如，对方程x^2+y^2=1两边求导，得到2x+2yy=0，解出y=-x/y参数方程表示的函数导参数方程的概念参数方程的求参数方程是指用一个参数t表示自变量x和因变量y的方程，例如，求参数方程表示的函数的导数需要使用参数方程求导法，即对x和x=t^2，y=t+1参数方程可以用来表示曲线或函数y分别求导，然后用y=dy/dt/dx/dt计算y例如，对于x=t^2，y=t+1，有dx/dt=2t，dy/dt=1，因此y=1/2t函数极限的概念义极限的概念极限的意函数的极限是指当自变量x无限接近于某个值a时，函数值无限接极限是微积分中重要的基础概念之一，它可以用来描述函数在某个近于某个值L用数学符号表示为limx-a fx=L点附近的行为，并为导数、积分等概念奠定基础质函数极限的性夹唯一性保号性逼定理如果函数fx在x=a处有极限，则该极如果函数fx在x=a处有极限L，且L≠如果函数fx、gx和hx满足以下条限值是唯一的0，则当x充分接近a时，fx的符号与L件当x充分接近a时，fx≤gx≤的符号相同hx，且limx-a fx=limx-ahx=L，则limx-a gx=L穷穷无小与无大穷穷无小的概念无大的概念无穷小是指当自变量x无限接近于某个值a时，函数值无限接近于0无穷大是指当自变量x无限接近于某个值a时，函数值无限增大的的函数用数学符号表示为limx-a fx=0函数用数学符号表示为limx-a fx=∞则运极限的四算减加法乘法除法limx-a[fx±gx]=limx-a fxlimx-a[fx*gx]=limx-a fxlimx-a[fx/gx]=limx-a fx/±limx-a gx*limx-a gxlimx-a gx，其中limx-a gx≠0极限的存在性判断荡左极限和右极限函数的振如果函数fx在x=a处有极限，如果函数fx在x=a处左右极限则左极限和右极限必须存在且相不相等，或函数值在x=a附近无等限振荡，则函数在x=a处没有极限跃函数的跳如果函数fx在x=a处左右极限存在但不等，则函数在x=a处有跳跃间断点连续函数的性连续义连续义性的定函数的意函数fx在x=a处连续是指limx-a fx=fa也就是说，函连续函数的图像是一条没有间断点的曲线，它能够在该点附近连续数在该点的极限值等于函数在该点的值变化连续函数在微积分中具有重要的意义，因为它可以进行微分和积分连续质函数的性值值值介定理最大最小定理如果函数fx在闭区间[a,b]上连如果函数fx在闭区间[a,b]上连续，且fa≠fb，则对于任意介续，则fx在[a,b]上存在最大值于fa和fb之间的值L，在[a,b]和最小值内存在一点c，使得fc=L连续一致性如果函数fx在闭区间[a,b]上连续，则fx在[a,b]上一致连续一致连续性是指函数在整个区间内变化的幅度都小于某个预先设定的值间类断点的分间跃间穷间可去断点跳断点无断点如果函数fx在x=a处有极限，但fa不存如果函数fx在x=a处左右极限都存在，但如果函数fx在x=a处左右极限至少有一个在或fa与该极限不相等，则称x=a为函数左右极限不相等，则称x=a为函数fx的跳为无穷大，则称x=a为函数fx的无穷间断fx的可去间断点可以改变函数在该点的跃间断点函数图像在该点发生跳跃点函数图像在该点趋向于无穷大定义，使函数在该点连续导数的概念导义导义数的定数的意函数fx在x=a处的导数是指函数在该点处的瞬时变化率，定义为导数可以用来描述函数在某一点处的变化速率，例如，速度是位移fa=limh-0[fa+h-fa]/h的导数，加速度是速度的导数导义数的几何意线线切斜率切方程函数fx在x=a处的导数fa等于函数图像在点a,fa处的切线函数fx在x=a处的切线方程为y-fa=fa x-a的斜率导运则数的算法减链则加法乘法除法式法[fx±gx]=fx±gx[fx*gx]=fx*gx+[fx/gx]=[fx*gx-[fgx]=fgx*gxfx*gx fx*gx]/[gx]^2，其中gx≠0阶导高数阶导阶导二数高数函数fx的二阶导数是指fx的一阶导数fx的导数，用fx表示函数fx的n阶导数是指fx的n-1阶导数的导数，用f^nx表二阶导数可以用来判断函数的凹凸性示高阶导数可以用来研究函数的更复杂性质隐导函数的数隐导函数求法1对隐函数方程两边同时求导，并将y视为一个未知数，然后解出y链则式法2对于隐函数方程Fx,y=0，需要使用链式法则对y进行求导题例3求方程x^2+y^2=1所确定的隐函数的导数导参数方程求导参数方程求法1对参数方程x=xt，y=yt分别求导，然后用y=dy/dt/dx/dt计算y题例2求参数方程x=t^2，y=t+1所确定的函数的导数应用3参数方程求导法可以用来求曲线在某个点的切线斜率，以及曲线在某个点处的曲率微分的概念义义微分的定微分的意函数fx在x=a处的微分是指函数在该点处的增量与自变量增量的微分可以用来近似地表示函数在某个点附近的变化量，例如，可以比值的极限，定义为dfa=fa*Δx利用微分来估计函数在某个点附近的值的变化量义微分的几何意线线切方程切近似函数fx在x=a处的微分dfa等于函数图像在点a,fa处的切线微分可以用来近似地表示函数图像在某个点附近的变化量，即可以的斜率乘以自变量的增量近似地用切线来代替曲线运则微分的算法减链则加法乘法除法式法d[fx±gx]=dfx±dgx d[fx*gx]=fx*dgx d[fx/gx]=[gx*dfx d[fgx]=fgx*gx*+gx*dfx-fx*dgx]/[gx]^2，Δx其中gx≠0值微分中定理值值义微分中定理的概念微分中定理的意如果函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b内可导，则在微分中值定理表明，在一定条件下，函数在某个区间内的增量可以a,b内至少存在一点c，使得fb-fa=fc b-a用导数在该区间内某个点的值来表示它可以用来证明其他微积分定理达则洛必法达则达则应洛必法的概念洛必法的用如果函数fx和gx在x=a处都趋向于0或都趋向于无穷大，且洛必达法则可以用来计算一些难以直接求解的极限，例如，当函数limx-a fx/gx存在，则limx-a fx/gx=limx-a fx和gx在x=a处都为0或都为无穷大时fx/gx单调值函数的性与极单调值义值性的概念极的定极点的求法函数fx在某个区间上单调递增是指当自函数fx在x=a处的极值是指函数在该点求函数的极值点需要先求函数的一阶导数，变量x在该区间内增大时，函数值fx也增附近的局部最大值或最小值然后令导数为0求出可能的极值点，最后大函数fx在某个区间上单调递减是指判断这些点是否是极值点当自变量x在该区间内增大时，函数值fx减小函数的凹凸性与拐点义凹凸性的概念拐点的定拐点的求法函数fx在某个区间上凹是指该区间的切函数fx的拐点是指函数图像从凹到凸或求函数的拐点需要先求函数的二阶导数，线都在函数图像的下方函数fx在某个从凸到凹的转折点然后令导数为0求出可能的拐点，最后判区间上凸是指该区间的切线都在函数图像断这些点是否是拐点的上方图函数像描述12定义域值域函数可以接受的所有输入值的集合函数可以输出的所有输出值的集合34单调性极值函数值随自变量的变化而变化的规律函数在某个点附近的局部最大值或最小值积不定分概念积义积义不定分的定不定分的意函数fx的不定积分是指所有导数为fx的函数的集合，用∫fxdx不定积分可以用来求函数的原函数，它在微分方程的求解、面积计表示算等领域有广泛应用积基本分公式∫x^n dx=x^n+1/n+1+C n≠-1∫1/x dx=ln|x|+C∫e^x dx=e^x+C∫a^x dx=a^x/lna+C a0，a≠1∫sinx dx=-cosx+C∫cosx dx=sinx+C∫tanx dx=ln|secx|+C∫cotx dx=ln|sinx|+C∫secx dx=ln|secx+tanx|+C∫cscx dx=-ln|cscx+cotx|+C换积元分法换积换积骤元分法的概念元分法的步换元积分法是将原积分表达式中的自变量或被积函数用一个新的变

1.选择合适的换元，将原积分表达式中的自变量或被积函数用一个量替换，从而使积分变得更简单常用的换元方法包括直接换元新的变量替换

2.计算新变量的微分

3.将原积分表达式中的自法、三角换元法和倒代换法变量、被积函数和微分都用新变量表示

4.进行积分运算，得到新变量的积分结果

5.将新变量的积分结果代回原变量，得到原积分的积分结果积分部分法积积骤分部分法的概念分部分法的步分部积分法是将原积分表达式中的被积函数拆分成两个函数的乘积，

1.将被积函数拆分成两个函数的乘积，其中一个函数容易积分，另然后使用分部积分公式进行积分分部积分公式为∫u dv=uv-一个函数容易求导

2.选择合适的u和dv，计算du和v

3.将u、∫v dudv、du和v代入分部积分公式，进行积分运算

4.继续使用分部积分法或其他积分方法求解新积分，直到得到最终结果积定分概念积义积义定分的定定分的意函数fx在闭区间[a,b]上的定积分是指曲线y=fx、x轴以及直定积分可以用来计算曲线所围成的面积、体积、弧长等几何量它线x=a和x=b所围成的图形的面积用数学符号表示为∫_a^b在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用fx dx积质定分的性线质性性可加性∫_a^b[kfx+gx]dx=∫_a^c fx dx+∫_c^b fxdxk∫_a^b fxdx+∫_a^b gx=∫_a^b fxdxdx积值分中定理如果函数fx在闭区间[a,b]上连续，则在[a,b]内至少存在一点c，使得∫_a^b fxdx=fc b-a顿牛-莱布尼茨公式顿顿应牛-莱布尼茨公式的概念牛-莱布尼茨公式的用如果函数fx在闭区间[a,b]上连续，且Fx是fx的一个原函数，牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的一个基本定理，它将定积分与不则∫_a^b fxdx=Fb-Fa定积分联系起来，使我们可以利用不定积分来计算定积分义积广分义积义积计广分的概念广分的算广义积分是指积分区间为无穷区间或被积函数在积分区间内有间断计算广义积分需要将积分区间分解成若干个子区间，然后对每个子点的积分例如，∫_1^∞1/xdx就是广义积分区间进行积分，最后将各个子区间的积分结果加起来习题讲总结精与习题讲精本课件精选了微积分基础习题，并提供详细的解答步骤，帮助学生理解和掌握知识点识总结知本课件总结了微积分基础知识的重点内容，帮助学生回顾和巩固学习成果。