《曲线导数与函数平均变化率》课件介绍

《曲线导数与函数平均变化率》课件介绍课程目标了解导数的概念和定义，理解导数的几何意义，掌握导数的计能够运用导数解决实际问题，了解导数与平均变化率的关系，算方法并能够将两者应用于实际问题授课计划与安排1导数的定义与几何意义2节课2导数的计算公式与基本初等函数的导数2节课3复合函数的导数与隐函数的导数2节课4高阶导数1节课5导数在工程应用中的作用1节课6平均变化率的概念与计算2节课7导数与平均变化率的关系1节课8实际案例分析2节课9总结与习题讲解1节课导数的定义函数的导数函数fx在点x的导数，指的是当x变化时，函数值fx的变化率定义设函数fx在x的邻域内有定义，若极限limh-0[fx+h-fx]/h存在，则称该极限值为函数fx在点x的导数，记作fx或dfx/dx导数的几何意义切线的斜率函数fx在点x的导数fx等于函数图像在该点处的切线的斜率变化率导数反映了函数在某一点处的变化趋势和速度，即函数值的变化率导数的计算公式基本公式求导法则x^n=n*x^n-1n为常数u+v=u+vsinx=cosx u-v=u-vcosx=-sinx cu=c*u c为常数e^x=e^x u*v=uv+uvu/v=uv-uv/v^2基本初等函数的导数函数导数x^n n*x^n-1sinx cosxcosx-sinxtanx sec^2xcotx-csc^2xsecx secxtanxcscx-cscxcotxe^x e^xlnx1/xa^x a^xlnalog_ax1/xlna复合函数的导数链式法则1如果y=fu且u=gx，则y对x的导数为dy/dx=dy/du*du/dx示例2求y=sin2x的导数步骤

1.设u=2x

32.求y对u的导数dy/du=cosu

3.求u对x的导数du/dx=

24.运用链式法则dy/dx=dy/du*du/dx=cosu*2=2cos2x隐函数的导数隐函数1隐函数是指不能直接用y=fx的形式表示的函数求导步骤

21.将隐函数方程两边对x求导

2.将y视为未知数，解方程求得y示例3求方程x^2+y^2=1表示的隐函数y对x的导数解

41.对两边求导2x+2yy=

02.解方程得到y=-x/y高阶导数12二阶导数高阶导数函数的一阶导数的导数称为二阶导数函数的二阶导数的导数称为三阶导数，以此类推3应用高阶导数可以用来描述函数的曲率、拐点等性质导数在工程应用中的作用优化设计速度与加速度电学应用利用导数可以求解函数导数可以用来描述物体导数可以用来描述电学的极值，从而在工程设的速度和加速度，在运量的时间变化率，例如计中找到最佳的方案动学中得到广泛应用电流、电压等平均变化率的定义定义函数fx在区间[x1,x2]上的平均变化率指的是，当x从x1变化到x2时，函数值fx的平均变化率公式平均变化率=fx2-fx1/x2-x1平均变化率的几何意义割线的斜率函数fx在区间[x1,x2]上的平均变化率等于函数图像上点x1,fx1和x2,fx2所连直线的斜率平均变化速度平均变化率反映了函数值在一段时间内的平均变化速度平均变化率的计算示例解求函数fx=x^2在区间[1,3]上的平均变化率f1=1^2=1f3=3^2=9平均变化率=9-1/3-1=4平均变化率与导数的关系平均变化率2平均变化率表示函数在一段区间内的平导数均变化率1导数表示函数在某一点处的瞬时变化率关系3当区间长度趋近于零时，平均变化率的极限等于导数导数与平均变化率的直观对比导数平均变化率相当于汽车在某一时刻的瞬时速度相当于汽车在一段路程中的平均速度实际案例分析绳索长度与重力力矩1应用分析问题利用导数可以计算重力力矩随时间变化的速重力力矩与绳索长度成正比，而绳索长度的度，帮助起重机操作员安全地控制起重过程起重机吊起重物时，绳索长度与重力力矩之变化率与起重机的速度有关间有什么关系？实际案例分析汽车加速度与燃油消耗率2分析2汽车的加速度越大，燃油消耗率越高，因为需要更多的能量来加速问题1汽车的加速度与燃油消耗率之间有什应用么关系？利用导数可以计算汽车加速度随时间的3变化率，帮助汽车制造商设计更节能的汽车实际案例分析导航卫星轨道的调整3问题1如何调整导航卫星的轨道，使其能够提供更准确的定位信息？分析2卫星的轨道调整需要根据其速度和加速度进行精确计算，而应用导数可以帮助我们计算这些参数3利用导数可以模拟卫星轨道的变化，并设计出更有效的轨道调整方案实际案例分析机翼迎角对升力的影响4问题分析应用123机翼的迎角对升力有什么影响？机翼的迎角越大，升力越大，但当迎利用导数可以计算升力随迎角变化的角超过一定角度后，升力会下降速率，帮助飞机设计师设计出更安全的机翼小结与思考题本节课的重点内容导数的定义、几何意义、计算公式导数与平均变化率的关系导数在工程应用中的作用本节课的难点内容复合函数的导数隐函数的导数高阶导数链式法则的使用需要理解和练习求解隐函数的导数需要进行一些代数运高阶导数的概念比较抽象，需要理解其算定义和应用经典习题示例1题目1求函数fx=x^3+2x^2-5x+1的导数解2fx=3x^2+4x-5经典习题示例2题目1求函数fx=sin2x的导数解2fx=2cos2x经典习题示例31题目求函数y=x^2+y^2=1的导数2解y=-x/y经典习题示例4题目解求函数fx=e^x+lnx的二阶导fx=e^x-1/x^2数经典习题示例5题目1一辆汽车以20米/秒的速度行驶，突然开始加速，其加速度为at=t^2+2t，其中t为时间（单位秒）求汽车在2秒后的速度解2vt=∫atdt=1/3t^3+t^2+C因为汽车的初始速度为20米/秒，所以C=20所以v2=1/3*2^3+2^2+20=28米/秒课后练习题1求函数fx=x^4-3x^2+2x-1的导数求函数fx=cos3x的导数课后练习题21求函数y=x^3+y^3=1的导数2求函数fx=e^2x+lnx^2的二阶导数课后练习题3一个圆的半径以2厘米/秒的速度增长，当半径为5厘米时，圆的面积增长速度是多少？一辆汽车以30米/秒的速度行驶，突然开始减速，其加速度为at=-t^2+5t-4，其中t为时间（单位秒）求汽车在3秒后的速度课后练习题4题目一个球体以1厘米/秒的速度膨胀，当半径为10厘米时，球体的体积增长速度是多少？题目一个正方形的边长以2厘米/秒的速度增长，当边长为8厘米时，正方形的面积增长速度是多少？课后练习题5题目一个圆柱体的底面半径以1厘米/秒的速度增长，高以2厘米/秒的速度减小，当底面半径为5厘米，高为10厘米时，圆柱体的体积增长速度是多少？课后练习题6题目一个正方形的边长以3厘米/秒的速度增长，当边长为6厘米时，正方形的周长增长速度是多少？课后练习题7题目一个球从斜坡上滚下，其速度为vt=t^2+2t，其中t为时间（单位秒）求球在4秒后的位移课后练习题81题目一个物体的运动轨迹为st=t^3+2t^2-5t，其中t为时间（单位秒）求物体在2秒后的速度课后练习题9课后练习题10题目一个函数的图像在点1,2处的切线方程为y=3x-1，求该函数在点1,2处的导数课程总结导数是微积分中的基本概念，它在数学、理解导数的定义、几何意义、计算方法，平均变化率与导数密切相关，两者可以物理、工程等领域有着广泛的应用能够帮助我们更好地理解函数的变化趋用来解决实际问题，例如计算物体运动势和速度速度、优化设计等师生交流与答疑学生提出问题，老师耐心解答通过互动，加深对课程内容的理解。