《等差数列习题课》课件

《等差数列习题课》欢迎来到等差数列习题课！本课程旨在通过精选例题和练习，帮助大家巩固等差数列的概念，熟练掌握通项公式和前n项和公式的应用，提升解决数列问题的能力让我们一起探索等差数列的奥秘，攻克数列难题！等差数列概念回顾等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示简单来说，等差数列就是相邻两项之间的差值保持不变的数列例如，数列1,3,5,7,9就是一个等差数列，其公差为2等差数列在数学中有着广泛的应用，是学习高等数学的基础理解等差数列的概念是解决相关问题的关键需要注意的是，公差可以是正数、负数或零当公差为正数时，数列递增；当公差为负数时，数列递减；当公差为零时，数列为常数列定义公差特点123相邻两项的差相等通常用字母d表示，是相邻两项的差值每一项都可以通过首项和公差表示等差数列的性质等差数列的性质是解决等差数列问题的有力工具掌握这些性质，可以简化计算，快速找到解题思路其中，最常用的性质包括若m+n=p+q，则am+an=ap+aq；等差数列的任意相邻k项之和仍然构成等差数列；以及等差数列的下标成等差数列的项也构成等差数列此外，等差数列还具有对称性，即首尾两项之和等于与首尾等距离的两项之和这些性质在解决复杂问题时，往往能起到事半功倍的效果牢记等差数列的性质，灵活运用，可以提高解题效率和准确性在实际应用中，要善于观察数列的特点，选择合适的性质进行分析和计算对称性和的性质成等差数列的项首尾等距离的两项之和相若m+n=p+q，则am+下标成等差数列的项也构等an=ap+aq成等差数列求等差数列通项公式等差数列的通项公式是an=a1+n-1d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差掌握通项公式，可以方便地求出等差数列的任意一项通项公式的推导过程并不复杂，但需要理解其内在含义通过通项公式，我们可以将等差数列的每一项与首项和公差联系起来，从而实现快速求解在实际应用中，有时需要根据已知条件反求首项或公差这时，需要灵活运用通项公式，进行变形和计算熟练掌握通项公式及其应用，是解决等差数列问题的基础确定首项a1找到数列的第一项确定公差d计算相邻两项的差代入公式将a1和d代入公式an=a1+n-1d等差数列的前项和n等差数列的前n项和公式有两个常用的形式Sn=na1+an/2和Sn=na1+nn-1d/2前者适用于已知首项和末项的情况，后者适用于已知首项和公差的情况选择合适的公式，可以简化计算过程前n项和公式的推导可以用倒序相加法，这是一个非常巧妙的思路通过将数列倒序排列，然后与原数列相加，可以得到一个常数列，从而简化求和过程在实际应用中，需要根据已知条件灵活选择公式有时需要将通项公式和前n项和公式结合使用，才能解决问题熟练掌握前n项和公式及其应用，是解决等差数列问题的关键公式一公式二Sn=na1+an/2，已知首项和末项Sn=na1+nn-1d/2，已知首项和公差例题等差数列的通项公式1已知等差数列{an}中，a1=2，d=3，求a10解根据通项公式an=a1+n-1d，可得a10=2+10-1×3=2+27=29此题考察了通项公式的直接应用通过代入已知条件，即可快速求出指定项的值需要注意的是，要正确理解通项公式中各个字母的含义已知条件目标a1=2，d=3求a10公式an=a1+n-1d例题等差数列的前项和2n已知等差数列{an}中，a1=1，d=2，求S10解根据前n项和公式Sn=na1+nn-1d/2，可得S10=10×1+10×10-1×2/2=10+90=100此题考察了前n项和公式的直接应用通过代入已知条件，即可快速求出前n项的和需要注意的是，要正确理解前n项和公式中各个字母的含义确定d2公差确定a11首项确定n3项数应用数列问题1在数列问题中，经常需要判断一个数列是否为等差数列，并求出其通项公式或前n项和这时，需要根据数列的特点，选择合适的方法进行分析和计算例如，可以通过计算相邻两项的差是否相等来判断一个数列是否为等差数列如果差相等，则该数列为等差数列，否则不是在求通项公式或前n项和时，可以根据已知条件灵活选择公式有时需要将多个公式结合使用，才能解决问题需要注意的是，要仔细分析题目条件，选择合适的方法进行求解观察数列1分析数列的特点判断是否为等差数列2计算相邻两项的差求通项公式或前n项和3选择合适的公式进行计算应用等差数列问题2等差数列问题是指与等差数列相关的各种问题，例如求等差数列的某一项、求等差数列的前n项和、判断一个数列是否为等差数列等解决这些问题，需要熟练掌握等差数列的定义、性质和公式在解决等差数列问题时，需要仔细分析题目条件，选择合适的方法进行求解有时需要将多个公式结合使用，才能解决问题需要注意的是，要仔细审题，理解题目含义，避免出现理解错误同时，要规范解题步骤，确保计算准确无误审题1理解题目含义分析2选择合适的方法计算3规范解题步骤应用连续自然数问题3连续自然数问题是指与连续自然数相关的各种问题，例如求连续自然数的和、求连续自然数的平均数等由于连续自然数构成一个等差数列，因此可以使用等差数列的公式来解决这些问题例如，求从1到n的连续自然数的和，可以使用公式Sn=nn+1/2这个公式是等差数列前n项和公式的一个特殊情况，其中a1=1，d=1在解决连续自然数问题时，需要仔细分析题目条件，选择合适的方法进行求解有时需要将多个公式结合使用，才能解决问题需要注意的是，要仔细审题，理解题目含义，避免出现理解错误123第一个自然数第二个自然数第三个自然数应用等差问题4在实际生活中，有很多问题都可以转化为等差数列问题来解决例如，储蓄问题、增长问题、分配问题等解决这些问题，需要将实际问题转化为数学模型，然后运用等差数列的知识进行求解例如，一个储户每月存入固定金额的钱，那么每个月月末的存款总额就构成一个等差数列通过计算等差数列的前n项和，可以求出n个月后的存款总额在解决等差问题时，需要仔细分析题目条件，将实际问题转化为数学模型然后，选择合适的公式进行求解需要注意的是，要仔细审题，理解题目含义，避免出现理解错误建模1将实际问题转化为数学模型分析2选择合适的公式求解3计算结果例题应用等差数列公式解决问题3某人从2000年起，每年年初存入银行1000元，年利率为5%，按复利计算，到2019年末，本利和共多少元？（精确到1元）解设an表示第n年年末的本利和，则a1=10001+5%，a2=10001+5%2+10001+5%，……，a20=10001+5%20+10001+5%19+……+10001+5%这是一个等比数列求和问题，可以使用等比数列求和公式进行求解此题将储蓄问题转化为等比数列求和问题，考察了等比数列求和公式的应用需要注意的是，要正确理解复利的含义，并将实际问题转化为数学模型实际问题数学模型储蓄问题等比数列求和例题应用等差数列公式解决问4题一个剧场设置了20排座位，第一排有38个座位，往后每一排都比前一排多2个座位，这个剧场共有多少个座位？解这是一个等差数列求和问题，其中a1=38，d=2，n=20根据前n项和公式Sn=na1+nn-1d/2，可得S20=20×38+20×20-1×2/2=760+380=1140此题将座位问题转化为等差数列求和问题，考察了等差数列求和公式的应用需要注意的是，要正确理解题目含义，并将实际问题转化为数学模型已知条件目标12a1=38，d=2，n=20求S20公式3Sn=na1+nn-1d/2例题应用等差数列公式解5决问题在100以内有多少个能被7整除的正整数？它们的和是多少？解能被7整除的正整数构成一个等差数列，其中a1=7，d=7设an=98，则n=98-7/7+1=13因此，100以内有13个能被7整除的正整数它们的和为S13=13×7+98/2=13×105/2=

682.5此题将整除问题转化为等差数列求和问题，考察了等差数列求和公式的应用需要注意的是，要正确理解题目含义，并将实际问题转化为数学模型整除数量和能被7整除的正整数100以内有多少个它们的和是多少练习1已知等差数列{an}中，a3=8，a5=12，求a10提示可以先求出公差d，然后根据通项公式求出a10此题考察了等差数列通项公式的应用需要注意的是，要根据已知条件灵活选择公式进行求解已知条件a3=8，a5=12目标求a10练习2已知等差数列{an}中，a1+a3=10，a2+a4=14，求a5提示可以先求出a1和d，然后根据通项公式求出a5此题考察了等差数列通项公式的应用需要注意的是，要根据已知条件灵活选择公式进行求解求d2公差求a11首项求a53第五项练习3已知等差数列{an}中，S5=20，求a3提示可以利用S5=5a3进行求解此题考察了等差数列前n项和公式的应用需要注意的是，要根据已知条件灵活选择公式进行求解已知条件1S5=20目标2求a3练习4已知等差数列{an}中，a1=2，d=3，求Sn的最小值提示可以先求出an，然后判断an的正负性，从而确定Sn的最小值此题考察了等差数列前n项和公式的应用需要注意的是，要根据已知条件灵活选择公式进行求解求an通项公式判断正负性确定Sn的最小值练习5已知等差数列{an}中，a1=1，d=2，求满足Sn100的最小正整数n提示可以先求出Sn，然后解不等式Sn100此题考察了等差数列前n项和公式的应用需要注意的是，要根据已知条件灵活选择公式进行求解求Sn1前n项和公式解不等式2Sn100练习6三个数成等差数列，它们的和为15，它们的平方和为83，求这三个数提示可以设这三个数为a-d，a，a+d，然后根据已知条件列方程求解此题考察了等差数列性质的应用需要注意的是，要根据已知条件灵活选择公式进行求解设数列方程求解a-d，a，a+d根据已知条件求出a和d练习7一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为125，偶数项的和为150，求这个数列的公差提示可以利用等差数列的性质，将奇数项和偶数项的和表示出来，然后列方程求解此题考察了等差数列性质的应用需要注意的是，要根据已知条件灵活选择公式进行求解奇数项和偶数项和列方程表示出来表示出来求解公差练习8已知等差数列{an}中，a1=1，Sn=n2，求an提示可以利用an=Sn-Sn-1进行求解此题考察了等差数列通项公式的应用需要注意的是，要根据已知条件灵活选择公式进行求解公式1an=Sn-Sn-1练习9已知等差数列{an}中，am=n，an=m（m≠n），求am+n提示可以先求出公差d，然后根据通项公式求出am+n此题考察了等差数列通项公式的应用需要注意的是，要根据已知条件灵活选择公式进行求解am anam+n已知已知求解练习10在等差数列{an}中，已知a1+a2+……+an=100，a1+a2+……+a2n=400，求a1+a2+……+a3n提示可以利用等差数列的性质，将前n项和和前2n项和表示出来，然后列方程求解此题考察了等差数列性质的应用需要注意的是，要根据已知条件灵活选择公式进行求解Sn1已知S2n2已知S3n3求解练习11已知等差数列{an}中，a1=2，d=3，求数列{|an|}的前n项和提示需要分情况讨论an的正负性，然后分别求和此题考察了等差数列前n项和公式的应用需要注意的是，要根据已知条件灵活选择公式进行求解求an分情况讨论分别求和通项公式an的正负性求{|an|}的前n项和练习12设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，an+1=2Sn，求an提示可以利用an+1=2Sn和an=2Sn-1进行求解此题考察了等差数列通项公式的应用需要注意的是，要根据已知条件灵活选择公式进行求解an+11已知an2表示为Sn的函数求解an3通项公式练习13在等差数列{an}中，a1=2，an=29，Sn=155，求n提示可以利用Sn=na1+an/2进行求解此题考察了等差数列前n项和公式的应用需要注意的是，要根据已知条件灵活选择公式进行求解已知条件列方程求解充分利用正确建立仔细计算练习14已知等差数列{an}中，a5=10，a10=20，求S15提示可以先求出a1和d，然后根据前n项和公式求出S15此题考察了等差数列前n项和公式的应用需要注意的是，要根据已知条件灵活选择公式进行求解求求求a1d S15首项公差前15项和练习15等差数列{an}中，a1=-11，d=2，求数列{|an|}的前n项和Tn提示先求出通项公式，判断正负分界点，然后分段求和此题考察了等差数列前n项和公式的应用需要注意的是，要根据已知条件灵活选择公式进行求解通项公式判断12求出an正负分界点分段求和3分别计算正负项的和练习16已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+n,求数列{an}的通项公式提示利用累加法求通项公式此题考察了数列递推关系和累加法的应用，是数列中的重要题型，需要熟练掌握累加法求解通项公式练习17在等差数列{an}中，a3+a7=37,a2*a8=70,求数列{an}的通项公式提示利用等差数列的性质，将a3+a7和a2*a8转化为关于a1和d的方程，然后求解此题考察了等差数列的性质和方程思想的应用，需要灵活运用数列的性质，转化为方程进行求解转化1利用等差数列的性质方程2建立关于a1和d的方程求解3得到通项公式练习18在等差数列{an}中，已知a1=1,d=2,求Sn=a1+a2+...+an的表达式，并求Sn的最大值或最小值提示先求出Sn的表达式，然后分析Sn的性质，确定其最大值或最小值此题考察了等差数列前n项和公式和二次函数性质的应用，需要熟练掌握数列求和和函数求最值的方法表达式性质最值求出Sn的表达式分析Sn的性质确定Sn的最大值或最小值练习19已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1,求数列{an}的通项公式提示利用构造法，将递推关系转化为an+1+x=3an+x的形式，然后求解此题考察了数列递推关系和构造法的应用，是数列中的难题，需要灵活运用各种技巧构造1构造新的数列转化2将递推关系简化求解3得到通项公式练习20已知数列{an}满足a1=2,an+1=n+2an/n,求数列{an}的通项公式提示利用累乘法求通项公式此题考察了数列递推关系和累乘法的应用，是数列中的重要题型，需要熟练掌握累乘法求解通项公式总结回顾在本节习题课中，我们复习了等差数列的定义、性质和公式，并通过大量的例题和练习，巩固了相关知识希望大家能够熟练掌握等差数列的各种解题技巧，为后续学习打下坚实的基础等差数列是数列中的重要组成部分，在数学和实际生活中都有着广泛的应用通过本节课的学习，相信大家对等差数列有了更深刻的理解定义性质公式相邻两项的差相等具有对称性和其他重要性质通项公式和前n项和公式重点难点提示本节课的重点是等差数列的通项公式和前n项和公式，难点是如何灵活运用这些公式解决实际问题在解题过程中，需要仔细分析题目条件，选择合适的方法进行求解需要注意的是，要熟练掌握等差数列的各种性质，例如对称性、和的性质等，这些性质可以简化计算，快速找到解题思路通项公式前项和公式12n灵活应用熟练掌握性质3简化计算思考与拓展除了本节课讲解的内容，等差数列还有很多值得深入研究的地方例如，可以研究等差数列的推广形式，或者研究等差数列在其他数学领域中的应用希望大家能够积极思考，勇于探索，不断拓展自己的知识面，提升自己的数学能力思考探索提升深入研究拓展知识面数学能力课后作业1已知等差数列{an}中，a1=3，d=2，求a20和S20此题考察了等差数列通项公式和前n项和公式的应用，是基础题，希望大家认真完成a201求第20项S202求前20项和课后作业2已知等差数列{an}中，a3=7，a8=17，求a1和d此题考察了等差数列通项公式的应用，需要根据已知条件灵活选择公式进行求解求a1首项求d公差课后作业3三个数成等差数列，它们的和为21，它们的积为315，求这三个数此题考察了等差数列性质的应用，需要根据已知条件灵活选择公式进行求解设数1a-d，a，a+d列方程2根据已知条件求解3求出a和d课后作业4在等差数列{an}中，a1=1，a2+a3+a4=21，求an此题考察了等差数列通项公式的应用，需要根据已知条件灵活选择公式进行求解已知条件选择公式求解分析已知条件选择合适公式计算求解课后作业5求证对于任意正整数n，1+2+3+...+n=nn+1/2此题考察了数学归纳法的应用，需要掌握数学归纳法的基本步骤基础步骤归纳假设归纳证明验证n=1时成立假设n=k时成立证明n=k+1时成立答疑时间如果大家在学习过程中遇到任何问题，欢迎随时提问，我会尽力为大家解答希望大家能够认真学习，刻苦钻研，取得优异的成绩！感谢大家的参与！。