《高等数学B》教学课件

《高等数学》课程教学课件B课程简介本课程为高等数学，是理工科专业必修课程主要介绍微积课程内容包括函数、极限、连续、导数、微分、积分等基本概B分基本理论及其应用，为后续专业课程学习奠定基础念和计算方法，并涉及微分方程、多元函数等内容课程目标掌握高等数学的基本概熟练掌握基本运算方法12念和理论能够进行函数的求导、积分理解函数、极限、连续、导等运算数、微分、积分等概念运用高等数学知识解决实际问题3能够将数学知识应用于工程、物理等领域先修知识回顾初等数学线性代数包括代数、几何、三角函数等包括向量、矩阵、行列式等基基础知识础知识集合与基本运算集合概念基本运算集合的定义、元素、表示方法、集合之间的关系并集、交集、差集、补集等运算函数概念及基本性质定义域值域函数的自变量取值范围函数的因变量取值范围单调性奇偶性函数的增减性函数的对称性极限概念与计算极限概念函数在自变量趋近于某一点时，函数值的趋近值12极限计算使用极限法则进行计算函数连续性连续性定义函数在某一点连续，意味着在该点处没有跳跃或断裂连续性判定使用极限方法判断函数在某一点是否连续连续函数性质连续函数具有保号性、介值定理等重要性质导数概念及性质定义1函数在某一点的变化率几何意义2函数曲线在该点的切线斜率物理意义3瞬时速度、加速度等物理量导数运算规则和差法则1求和差函数的导数积法则2求积函数的导数商法则3求商函数的导数链式法则4求复合函数的导数中值定理12罗尔定理拉格朗日中值定理函数在闭区间上连续，在开区间上可导，且函数在闭区间上连续，在开区间上可导，则在区间端点取值相等，则在开区间内至少存在开区间内至少存在一点，使导数等于函数在一点，使导数为零在区间端点处的平均变化率3柯西中值定理两个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，且导数不全为零，则在开区间内至少存在一点，使两个函数的导数之比等于函数在区间端点处的平均变化率之比函数单调性与极值单调性极值函数的增减性函数在某一点取得最大值或最小值微分法应用求切线方程求函数极值利用导数求函数曲线在某一点的切线方程利用导数求函数的极值点和极值不定积分及基本公式不定积分概念基本公式求导数为已知函数的函数常见的函数的不定积分公式换元积分法第一类换元法1将被积函数化为某个新函数的导数第二类换元法2将积分变量用另一个变量代替分部积分法公式将被积函数分解成两个函数的乘积，然后使用分部积分公式进行计算应用用于求解一些复杂的积分问题定积分概念及性质定义1求函数曲线在某区间上的面积性质2定积分具有线性性、可加性、积分中值定理等重要性质牛顿莱布尼茨公式-公式1定积分的值等于被积函数在积分区间的端点处的原函数值之差应用2利用牛顿莱布尼茨公式可以方便地计算定积分-定积分应用12求面积求体积计算函数曲线在某区间上的面积计算旋转体或其他物体的体积3求弧长计算函数曲线在某区间上的弧长反常积分无穷积分瑕积分积分区间为无穷大或无穷小被积函数在积分区间内存在间断点函数的级数展开泰勒级数麦克劳林级数将函数展开为无穷级数，并以该点的各阶导数表示泰勒级数在处的特殊情况x=0幂级数收敛半径收敛域幂级数收敛的区间幂级数收敛的点集应用用于求解微分方程、计算函数值等常微分方程概述定义1包含未知函数及其导数的方程分类2根据未知函数的阶数、系数类型等进行分类一阶常微分方程可分离变量方程可以将未知函数及其导数分离到方程的两边齐次方程方程中所有项的次数相同线性方程未知函数及其导数都是一次的二阶常微分方程常系数齐次方程1系数为常数的齐次方程非齐次方程2包含非齐次项的方程线性微分方程解法1利用特征方程求解齐次方程，然后使用待定系数法求解非齐次方程应用2应用于电路分析、机械振动等领域偏微分基本概念12定义分类包含多个自变量和未知函数及其偏导数的方程根据未知函数的阶数、系数类型等进行分类偏导数及全微分偏导数全微分对多个自变量中的一个自变量求导，其他自变量视为常数函数在某一点的微小变化量多元函数极值问题求极值点求极值利用偏导数求多元函数的驻点，并判断驻点是否是极值点求多元函数在极值点处的函数值重积分基本概念定义应用对多个自变量上的函数进行积分用于计算面积、体积、质量等物理量。