《高等数学中的无限与极限》课件

高等数学中的无限与极限本课程将带领你探索数学中无穷大与极限的概念，并深入探讨它们在函数、导数等领域中的应用第一章基本概念无限序列极限概念无限序列是无限多个数按照一定顺序排列成的集合极限指的是当一个变量无限接近某个值时，另一个变量所趋近的值无限序列与极限概念的引入无穷大无穷小一个变量无限增大时的状态，如数列的极限一个变量无限接近于零时的状态，如数列的极限{n}{1/n}无穷大与无穷小的概念无穷大无穷小当一个变量的值大于任何一个正当一个变量的值无限接近于零时，数时，就说这个变量趋于无穷大就说这个变量趋于无穷小无穷大与无穷小的运算加法减法无穷大无穷大无穷大无穷大无穷大不确定+=-=乘法除法无穷大无穷大无穷大无穷大无穷大不确定*=/=第二章数列的极限12数列极限的定义数列极限的性质当数列的项无限接近某个值时，这个值就称为数列的极限数列极限具有唯一性、保号性、有界性等性质数列极限的定义与性质定义性质如果对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，当nN时，唯一性、保号性、有界性恒成立，则称数列收敛于，记为|an-a|ε{an}a lim n→∞an=a利用夹逼定理求极限夹逼定理若数列，，满足，且{an}{bn}{cn}an≤bn≤cn limn→∞an=limn→∞cn1，则=a limn→∞bn=a应用2通过构造两个收敛于相同极限的数列，来求解中间数列的极限单调有界数列的极限定理单调有界定理1单调递增且有上界的数列收敛于它的上界；单调递减且有下界的数列收敛于它的下界应用2用于判断数列是否收敛，并求解收敛的极限级数的概念与性质12定义性质无穷级数是指将一个无穷数列的各项级数收敛、发散、绝对收敛、条件收依次相加得到的表达式敛等性质第三章函数的极限函数极限的定义函数极限的性质当自变量趋近于某个值时，函数值无限接近于某个值，则称这个值函数极限具有唯一性、保号性、有界性等性质为函数的极限函数极限的定义与性质利用代入法、换元法求函数极限代入法换元法直接将自变量的值代入函数表达式，求得极限值通过引入新的变量，将原函数的极限转化为另一个函数的极限无穷小的比较和等价无穷小比较比较两个无穷小的阶数，判断它们在自变量趋近于某个值时的相对大小等价无穷小当两个无穷小的比值在自变量趋近于某个值时极限为，则称它1们为等价无穷小functions withvertical asymptotes定义性质当自变量趋近于某个值时，函数值无限增大或减小，则称这个垂直渐近线是函数图像在自变量趋近于某个值时所接近的一条值为函数的垂直渐近线直线第四章连续函数12连续函数的定义连续函数的性质当自变量在某个点处连续变化时，函数值也连续变化，则称该连续函数具有介值定理、最大值最小值定理等性质函数在这个点处连续连续函数的定义与性质定义1如果函数fx在点x0处连续，则lim x→x0fx=fx0性质2介值定理、最大值最小值定理连续函数的运算性质加减法1两个连续函数的和、差仍然是连续函数乘除法2两个连续函数的积、商（除数不为零）仍然是连续函数一致连续的概念与判定12定义判定如果对于任意给定的正数ε，总存在正利用定义、闭区间上的连续函数一定数δ，使得当|x1-x2|δ时，|fx1一致连续等方法判定恒成立，则称函数-fx2|εfx在区间上一致连续I连续映射的重要性质定义性质连续映射是指将一个拓扑空间映射到另一个拓扑空间，并保持拓扑保持连通性、保持紧致性、保持度量等性质结构的映射第五章导数概念导数的定义与几何意义定义几何意义函数fx在点x0处的导数是指函数fx在点x0处的瞬时变化导数在几何上表示曲线在该点处的切线的斜率率，记为或fx0dfx/dx|x=x0导数的运算法则加减法两个函数的和、差的导数等于这两个函数的导数的和、差乘法两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数高阶导数及其应用定义应用函数的二阶导数是指函数的一阶应用于求解曲线的凹凸性、拐点、导数的导数，以此类推函数的极值等问题微分中值定理罗尔定理拉格朗日中值定理如果函数在闭区间上连如果函数在闭区间上连fx[a,b]fx[a,b]续，在开区间内可导，且续，在开区间内可导，则存在a,b faa,b，则存在一点∈，使一点∈，使得=fbξa,bξa,b fb-fa=得fξ=0fξb-a第六章应用与专题无限级数的和的概念1将无穷级数的各项相加得到的极限，称为该级数的和函数极限与连续性的关系2连续函数的极限等于函数值，而函数极限存在不一定能推出函数连续导数在最值问题中的应用3利用导数可以求解函数的最值问题，如求解函数的最大值和最小值无限级数的和的概念定义性质无限级数的和是指将级数的各项依次相加得到的极限无限级数的和可以是有限值，也可以是无穷大，甚至可以是不确定的函数极限与连续性的关系关系反例函数在某个点处连续，则函数在该点处的极限等于函数值函数在某个点处有极限，但函数在该点处不一定连续导数在最值问题中的应用求解步骤求解函数的导数，令导数等于零，求解方程，得到函数的驻点比较驻点和端点处的函数值，得到最大值和最小值应用应用于求解函数的最大值、最小值、最优解等问题课程总结与复习回顾要点复习建议本课程介绍了无限序列、极限、建议同学们认真复习课本内容，函数的极限、导数等概念，并探并完成相应的练习题，以巩固所讨了它们在数学中的应用学知识。