《高等数学同济版》课件

《高等数学同济版》课件PPT本课件旨在帮助您更好地理解和掌握高等数学的基本概念和方法，为学习后续课程和应用数学知识打下坚实的基础第一章极限数列极限函数极限讨论数列的收敛性，包括极限的概念、性质和求法，以及重要极介绍函数极限的概念、性质和求法，以及极限存在的条件和一些限的应用重要极限的应用数列极限的概念和性质定义性质12当趋于无穷时，数列无极限存在唯一性、有界性、单n{an}限接近于一个常数，则称数调性等，这些性质可以帮助我A列收敛于，为数列们判断数列的收敛性{an}A A{an}的极限函数极限的概念和性质定义性质12当自变量趋于某一点（或无极限存在唯一性、有界性、保x a穷大）时，函数无限接近号性等，这些性质可以帮助我fx于一个常数，则称为函数们判断函数的极限是否存在，A A在点（或无穷大）处的极以及求函数的极限fx a限无穷小与无穷大无穷小无穷大当自变量趋于某一点（或无穷大）时，函数无限接近于零，当自变量趋于某一点（或无穷大）时，函数的绝对值无限增x a fx xafx则称为无穷小量大，则称为无穷大量fx fx极限运算和、差、积、商复合函数极限的和、差、积、商运算规则，复合函数的极限可以利用复合函可以将复杂极限拆解为简单的极数极限的求法，将内层函数和外限进行计算层函数的极限进行组合计算第二章导数斜率切线导数表示函数在某一点处的变化率，导数可以用于求函数在某一点处的切即曲线的切线斜率线方程优化导数可以用于求函数的极值和最值，从而解决实际问题导数的概念定义导数的记号12函数在处的导数定义导数的记号有很多种，例如fx x=a为、、等，它们limh→0[fa+h-fx df/dx dy/dx，如果极限存在，则称都表示函数的导数fa]/h fx在处可导fx x=a导数的几何意义切线斜率1瞬时速度2当函数表示物体的位置时，导数表示物体在处的瞬时速度fx fxx=a变化率3导数可以用来描述函数在某一点处的变化率，例如，物体的速度、价格的增长率等等导数运算法则和、差、积、商复合函数反函数两个可导函数的和、差、积、商的导数复合函数的导数可以利用链式法则计算反函数的导数可以利用反函数的导数公可以分别用它们的导数表示式计算高阶导数二阶导数高阶导数函数的二阶导数就是函数的一阶导数的导数，它可以用来描述函高阶导数的概念类似于二阶导数，它可以用来研究函数的更深层数的凹凸性的性质函数的单调性与极值单调性导数可以用来判断函数的单调性，例如，如果函数的导数在某区间内大于零，则函数在该区间内单调递增极值导数可以用来求函数的极值，例如，如果函数的导数在某一点处等于零，则该点可能是函数的极值点第三章微分全微分1全微分是多元函数在某一点处的微小变化量，它可以近似地表示函数在该点处的变化微分方程2微分方程是包含未知函数及其导数的方程，它在很多领域都有应用，例如物理、化学、生物等等全微分概念及性质定义性质12多元函数在点处的全微分具有线性性、可加性、fx,y a,b全微分定义为齐次性等性质，这些性质可以，帮助我们进行微分运算df=fxa,bdx+fya,bdy其中和分别表fxa,b fya,b示对和的偏导数fx,y xy微分在近似计算中的应用12线性近似误差估计利用全微分公式可以得到多元函数在利用全微分公式可以估计多元函数在某一点处的线性近似公式，从而可以某一点处的误差进行近似计算微分方程的基本概念定义分类12微分方程是包含未知函数及其微分方程可以根据未知函数的导数的方程，它可以描述很多阶数、变量个数、方程的线性实际问题或非线性等进行分类第四章积分面积体积弧长积分可以用来求曲边图形的面积积分可以用来求旋转体的体积积分可以用来求曲线的弧长不定积分概念及性质定义性质12如果函数的导数等于，不定积分具有线性性、积分常Fx fx则称为的不定积分，数的任意性等性质，这些性质Fx fx记为可以帮助我们进行积分运算∫fxdx=Fx+C基本积分公式积分技巧换元积分法分部积分法通过变量代换，将复杂积分转化通过分部积分公式，将复杂积分为简单的积分进行计算转化为简单的积分进行计算三角函数积分利用三角函数的恒等式和换元积分法求解三角函数的积分广义积分无穷积分瑕积分积分区间为无穷区间的积分，需要用极限方法进行计算被积函数在积分区间内存在间断点的积分，需要用极限方法进行计算第五章常微分方程一阶微分方程1讨论一阶常微分方程的解法，包括分离变量法、齐次方程法、积分因子法等二阶线性微分方程2介绍二阶线性常微分方程的解法，包括特征方程法、常数变易法等应用问题建模与求解3通过建立微分方程模型，解决实际问题，例如，人口增长、物理模型等一阶微分方程的解法分离变量法齐次方程法12将微分方程分离成两个变量的对于齐次方程，通过变量代换函数，然后分别积分即可求解可以将其化为可分离变量的方程积分因子法3通过乘以一个积分因子，可以将微分方程化为全微分形式，从而求解二阶线性微分方程的解法特征方程法常数变易法12对于二阶线性常系数微分方程，可以通过解特征方程来求解对于非齐次线性微分方程，可以通过常数变易法求解特解，通解再与通解组合得到通解应用问题建模与求解问题分析1分析实际问题，确定问题中包含的未知函数和已知量建立模型2根据问题的实际情况，建立微分方程模型求解方程3利用微分方程的解法，求解微分方程的解解释结果4根据解的具体形式，解释问题的实际意义第六章多元函数微积分偏导数梯度多元函数的偏导数表示函数在某个方梯度表示多元函数在某一点方向上的向上的变化率最大变化率方向极值多元函数的极值问题可以利用偏导数和海森矩阵进行求解偏导数概念及性质定义性质12多元函数在点处对偏导数具有线性性、可加性、fx,y a,b x的偏导数定义为齐次性等性质，这些性质可以limh→0，如果极帮助我们进行偏导数运算[fa+h,b-fa,b]/h限存在，则称在点fx,y a,b处对可偏导x全微分与隐函数微分全微分隐函数微分多元函数的全微分可以用来近似对于隐函数，可以通过对等式两地表示函数在某一点处的变化边同时求导来求解隐函数的导数方向导数与梯度方向导数梯度12方向导数表示多元函数在某一点沿某个方向上的变化率梯度表示多元函数在某一点方向上的最大变化率方向，它与方向导数密切相关多元函数的极值问题极值条件海森矩阵12多元函数的极值点必须满足偏海森矩阵可以用来判断多元函导数为零或不存在的条件数的极值点的类型，例如，极大值、极小值或鞍点。