《高等经济数学》课件

《高等经济数学》课件PPT欢迎来到《高等经济数学》的课堂！本课件旨在帮助大家系统学习高等经济数学的核心概念、基本理论和应用方法通过本课程的学习，希望大家能够掌握解决经济领域相关数学问题的基本技能，为进一步的专业学习打下坚实的基础让我们一起开启这段充满挑战与收获的学习之旅！课程简介本课程是经济学专业的核心数学课程，旨在培养学生运用数学工具分析和解决经济问题的能力课程内容涵盖函数、极限、导数、积分等基本概念，以及这些概念在经济分析中的应用我们将深入探讨边际分析、弹性分析、最优化问题等，帮助学生建立扎实的数学基础通过理论学习与案例分析相结合的方式，使学生不仅掌握数学知识，更能够灵活运用这些知识解决实际经济问题同时，我们还将介绍一些常用的数学软件，提高学生的应用能力核心概念经济应用12函数、极限、导数、积分边际分析、弹性分析、最优化软件应用3常用数学软件介绍课程目标通过本课程的学习，学生应能够掌握高等经济数学的基本概念和理论；熟练运用导数、积分等数学工具解决经济问题；理解边际分析、弹性分析、最优化等经济概念的数学表达；培养运用数学思维分析和解决实际经济问题的能力为后续课程的学习和研究打下坚实基础课程结束后，学生应具备解决经济模型的能力，能够对经济现象进行定量分析，并能运用数学软件进行模拟和预测此外，学生还应培养严谨的逻辑思维和批判性思维，为未来的职业发展做好准备数学工具经济模型定量分析掌握导数、积分等数学解决经济模型的能力经济现象进行定量分析工具先修知识为了更好地学习本课程，建议大家具备以下先修知识高中数学基础（包括代数、几何、三角函数等）；基本的经济学概念（如供给、需求、成本、收益等）；一定的计算机操作能力（如熟悉Office软件、了解编程语言等）这些知识将有助于大家更好地理解和掌握本课程的内容如果在先修知识方面存在薄弱环节，建议大家在课前进行适当的复习和补充学习同时，我们也将在课程中对相关知识进行回顾和讲解，帮助大家顺利过渡高中数学基础基本经济学概念计算机操作能力代数、几何、三角函数供给、需求、成本、收益Office软件、编程语言教学内容安排本课程的教学内容主要包括三个部分函数与极限、导数及其应用、积分及其应用每个部分又分为若干章节，分别介绍相关的基本概念、理论和应用我们将按照循序渐进的原则，逐步深入地讲解各个知识点在教学过程中，我们将采用课堂讲授、案例分析、习题练习、小组讨论等多种教学方法，以提高大家的学习效果同时，我们还将利用网络平台，提供课程资料、作业提交、在线答疑等服务，方便大家随时随地学习函数与极限基本概念、理论导数及其应用导数、经济问题积分及其应用积分、实际应用第一章函数和极限本章是高等经济数学的基础，主要介绍函数和极限的基本概念、性质和运算函数是描述变量之间关系的数学工具，极限是研究函数变化趋势的重要方法掌握本章内容，对于理解和应用后续章节的知识至关重要我们将从实数集开始，逐步深入地讲解函数的定义、性质、类型，以及极限的概念、性质、运算法则和存在准则本章的重点是理解极限的概念和掌握极限的运算法则难点是理解极限的存在准则和应用极限解决实际问题我们将通过大量的例题和习题，帮助大家克服难点，掌握重点函数极限变量之间关系的数学工具研究函数变化趋势的重要方法重点理解极限的概念和掌握极限的运算法则实数集

1.1实数集是数学分析的基础，包含了有理数和无理数了解实数集的性质，如完备性、有序性、稠密性等，对于理解极限、连续等概念至关重要我们将介绍实数集的定义、分类、表示方法和基本性质例如，有理数可以表示为两个整数的比，而无理数则不能，如π和√2实数集是连续的，这意味着在任何两个实数之间都存在无限多个实数这种连续性是微积分的基础我们将通过数轴来直观地展示实数集，并介绍实数集的一些重要子集，如整数集、有理数集等定义1有理数和无理数性质2完备性、有序性、稠密性表示方法3数轴、集合函数的定义及基本性质

1.2函数是数学中描述变量之间依赖关系的重要概念我们将介绍函数的定义、表示方法（如解析式、图像、表格）和基本性质（如单调性、奇偶性、周期性、有界性）例如，y=fx表示y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量函数的单调性描述了函数值随自变量变化而变化的趋势，奇偶性描述了函数关于坐标轴的对称性，周期性描述了函数值重复出现的规律，有界性描述了函数值的范围理解这些性质对于分析函数的行为非常重要我们将通过大量的例子来解释这些性质，并介绍如何判断一个函数是否具有这些性质定义表示方法基本性质变量之间的依赖关系解析式、图像、表格单调性、奇偶性、周期性、有界性复合函数和反函数

1.3复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数我们将介绍复合函数的定义、构成条件和求法例如，如果y=fu，u=gx，则y=fgx是x的复合函数复合函数的定义域是使内层函数有意义且外层函数有意义的x的集合反函数是原函数的逆运算我们将介绍反函数的定义、存在条件和求法例如，如果y=fx有反函数，则x=f^-1y反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域我们将通过例题来演示如何求复合函数和反函数，并讨论它们的性质定义域2使函数有意义的x的集合复合函数1函数组合反函数原函数的逆运算3基本初等函数

1.4基本初等函数是构成复杂函数的基础我们将介绍六类基本初等函数常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数例如，y=c是常数函数，y=x^a是幂函数，y=a^x是指数函数，y=log_ax是对数函数，y=sinx是三角函数，y=arcsinx是反三角函数我们将详细介绍每类函数的定义、图像、性质和应用例如，指数函数增长速度非常快，对数函数增长速度非常慢，三角函数具有周期性，反三角函数是三角函数的反函数理解这些基本初等函数，对于分析和解决实际问题至关重要指数函数对数函数三角函数增长迅速增长缓慢具有周期性极限的概念及性质

1.5极限是微积分的核心概念，描述了当自变量无限接近某个值时，函数值的变化趋势我们将介绍极限的定义（包括ε-δ定义和ε-N定义）、几何意义和性质（如唯一性、有界性、保号性）例如，limx→a fx=L表示当x无限接近a时，fx无限接近L极限的唯一性是指如果极限存在，则极限值是唯一的有界性是指如果极限存在，则函数在极限点附近是有界的保号性是指如果极限值大于0（或小于0），则函数在极限点附近也是大于0（或小于0）的理解这些性质对于判断极限是否存在和计算极限值非常重要我们将通过大量的例子来解释这些性质，并介绍如何应用这些性质解决实际问题保号性1有界性2唯一性3极限概念4极限运算法则

1.6极限运算法则是计算极限的重要工具我们将介绍极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则和夹逼准则例如，如果limx→a fx=A，limx→a gx=B，则limx→a[fx±gx]=A±B，limx→a[fx*gx]=A*B，limx→a[fx/gx]=A/B B≠0复合函数的极限运算法则是指如果limx→a gx=b，limu→b fu=L，则limx→a fgx=L夹逼准则是指如果gx≤fx≤hx，且limx→a gx=limx→a hx=L，则limx→a fx=L我们将通过大量的例题来演示如何应用这些运算法则计算极限，并讨论它们的适用条件和注意事项四则运算复合函数加、减、乘、除内层外层函数夹逼准则两边夹无穷小与无穷大

1.7无穷小和无穷大是极限的特殊情况我们将介绍无穷小的定义、性质和阶的比较，以及无穷大的定义和性质例如，如果limx→a fx=0，则fx是x→a时的无穷小无穷小不是一个很小的数，而是一个变化趋势，表示函数值无限接近于0无穷大的定义与无穷小类似，表示函数值无限增大我们将介绍无穷小的阶的概念，例如，如果limx→a[fx/gx]=0，则fx是比gx高阶的无穷小理解无穷小和无穷大的概念，对于分析极限和函数的性质非常重要我们将通过大量的例子来解释这些概念，并介绍如何应用这些概念解决实际问题无穷小1极限为0的函数无穷大2极限为无穷的函数阶的比较3无穷小之间的比较极限存在准则

1.8极限存在准则是判断极限是否存在的重要依据我们将介绍两个重要的极限存在准则单调有界准则和夹逼准则单调有界准则是指单调有界数列必有极限例如，如果数列{x_n}单调递增且有上界，或者单调递减且有下界，则{x_n}必有极限夹逼准则已经在前面介绍过，这里再次强调它的重要性我们将通过大量的例子来演示如何应用这两个准则判断极限是否存在，并计算极限值例如，可以用单调有界准则证明数列{1+1/n^n}的极限存在，可以用夹逼准则证明limx→0[sinx/x]=1单调有界准则夹逼准则单调有界数列必有极限两边夹第二章导数及其应用本章是微积分的核心内容，主要介绍导数的概念、计算方法和应用导数是描述函数变化率的重要工具，广泛应用于经济分析、优化问题等领域我们将从导数的定义开始，逐步深入地讲解导数的运算法则、高阶导数、隐函数的微分、参数方程的微分，以及导数在极值问题、微分中值定理和lHôpital法则中的应用本章的重点是掌握导数的计算方法和应用难点是理解微分中值定理和lHôpital法则我们将通过大量的例题和习题，帮助大家克服难点，掌握重点导数计算方法函数变化率导数的运算法则应用经济分析、优化问题导数的概念和导数函数

2.1导数是描述函数在某一点处变化快慢的量我们将介绍导数的定义、几何意义和物理意义例如，函数y=fx在x_0处的导数定义为fx_0=limΔx→0[fx_0+Δx-fx_0]/Δx导数的几何意义是函数图像在该点处的切线斜率，导数的物理意义是物体在该时刻的瞬时速度导数函数是指函数在定义域内每一点处的导数值组成的函数我们将介绍导数函数的求法和性质例如，如果fx=x^2，则fx=2x导数函数可以用来分析原函数的单调性、极值等性质几何意义物理意义导数函数切线斜率瞬时速度定义域内每一点的导数值导数的运算法则

2.2导数的运算法则是计算导数的重要工具我们将介绍导数的四则运算法则、复合函数的导数运算法则和反函数的导数运算法则例如，如果ux和vx可导，则[ux±vx]=ux±vx，[ux*vx]=ux*vx+ux*vx，[ux/vx]=[ux*vx-ux*vx]/[vx]^2vx≠0复合函数的导数运算法则是指[fgx]=fgx*gx反函数的导数运算法则是指如果y=fx有反函数x=gy，则gy=1/fx我们将通过大量的例题来演示如何应用这些运算法则计算导数，并讨论它们的适用条件和注意事项四则运算加、减、乘、除复合函数链式法则反函数倒数关系高阶导数

2.3高阶导数是指对函数进行多次求导得到的导数我们将介绍高阶导数的定义、表示方法和计算方法例如，函数y=fx的二阶导数定义为fx=[fx]，n阶导数定义为f^nx=[f^n-1x]高阶导数可以用来分析函数的凹凸性、拐点等性质我们将介绍一些常用函数的高阶导数公式，例如，x^n^k=nn-

1...n-k+1*x^n-k我们将通过例题来演示如何计算高阶导数，并讨论高阶导数的应用二阶导数1凹凸性三阶导数2变化率的变化率阶导数n3多次求导隐函数的微分

2.4隐函数是指由一个方程确定的函数我们将介绍隐函数的定义、存在条件和微分方法例如，方程Fx,y=0确定了一个隐函数y=yx，则可以通过对方程两边求导来求得dy/dx隐函数的微分方法称为隐函数求导法我们将介绍隐函数求导法的步骤和注意事项例如，需要注意y是x的函数，不能将y视为常数我们将通过例题来演示如何求隐函数的导数，并讨论隐函数的应用函数2y=yx方程1Fx,y=0求导隐函数求导法3参数方程的微分

2.5参数方程是指由一组参数方程确定的曲线我们将介绍参数方程的定义、表示方法和微分方法例如，方程组x=xt，y=yt确定了一条曲线，则可以通过分别对参数t求导来求得dy/dx=dy/dt/dx/dt我们将介绍参数方程求导法的步骤和注意事项例如，需要保证dx/dt≠0我们将通过例题来演示如何求参数方程的导数，并讨论参数方程的应用参数方程求导注意x=xt，y=yt dy/dx=dy/dt/dx/dt dx/dt≠0极值问题

2.6极值问题是指求函数最大值或最小值的问题我们将介绍极值的定义、必要条件和充分条件例如，函数fx在x_0处取得极大值，则fx_0=0且fx_00，或者fx_0不存在但fx在x_0附近单调性发生改变我们将介绍求极值的步骤和方法例如，首先求出导数fx，然后求出fx=0的解，再判断这些解是否满足极值的充分条件我们将通过大量的例题来演示如何求极值，并讨论极值在经济问题中的应用，如成本最小化、利润最大化等极大值极小值临界点函数最大值函数最小值导数为0的点微分中值定理

2.7微分中值定理是微积分中的重要定理我们将介绍罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理罗尔定理是指如果函数fx在[a,b]上连续，a,b上可导，且fa=fb，则存在c∈a,b，使得fc=0拉格朗日中值定理是指如果函数fx在[a,b]上连续，a,b上可导，则存在c∈a,b，使得fc=[fb-fa]/b-a柯西中值定理是指如果函数fx和gx在[a,b]上连续，a,b上可导，则存在c∈a,b，使得[fb-fa]/[gb-ga]=fc/gc我们将通过例题来演示如何应用这些定理，并讨论它们的应用柯西中值定理1拉格朗日中值定理2罗尔定理3法则

2.8lHôpitallHôpital法则是计算未定式极限的重要工具我们将介绍lHôpital法则的适用条件和使用方法例如，如果limx→a fx=0，limx→a gx=0，且limx→a[fx/gx]存在，则limx→a[fx/gx]=limx→a[fx/gx]lHôpital法则适用于0/0型和∞/∞型未定式我们将介绍如何将其他类型的未定式转化为0/0型或∞/∞型，以便应用lHôpital法则例如，0*∞型可以转化为0/0型，∞-∞型可以转化为0/0型我们将通过大量的例题来演示如何应用lHôpital法则计算极限，并讨论它的适用条件和注意事项适用条件使用方法0/0型和∞/∞型求导后取极限注意事项多次使用、转化类型第三章积分及其应用本章是微积分的另一个核心内容，主要介绍积分的概念、计算方法和应用积分是导数的逆运算，广泛应用于经济分析、面积计算等领域我们将从不定积分的概念开始，逐步深入地讲解基本积分公式、换元积分法、分部积分法、有理函数的积分、无穷区间上的积分、定积分的概念与性质、微积分基本定理和广义积分本章的重点是掌握积分的计算方法和应用难点是理解微积分基本定理和广义积分我们将通过大量的例题和习题，帮助大家克服难点，掌握重点不定积分1原函数定积分2面积应用3经济分析不定积分的概念与性质

3.1不定积分是导数的逆运算我们将介绍不定积分的定义、几何意义和性质例如，如果Fx=fx，则Fx是fx的一个原函数，fx的所有原函数组成的集合称为fx的不定积分，记作∫fxdx=Fx+C，其中C是任意常数不定积分的几何意义是函数图像的垂直平移不定积分的性质包括线性性质和积分中值定理我们将介绍如何验证一个函数是否是另一个函数的原函数，并讨论不定积分的应用定义导数的逆运算几何意义垂直平移性质线性性质、积分中值定理基本积分公式

3.2基本积分公式是计算积分的基础我们将介绍一些常用的基本积分公式，例如，∫x^n dx=x^n+1/n+1+C n≠-1，∫1/x dx=ln|x|+C，∫e^x dx=e^x+C，∫sinx dx=-cosx+C，∫cosx dx=sinx+C我们将通过例题来演示如何应用这些基本积分公式计算积分，并讨论它们的适用条件和注意事项例如，需要注意积分常数C的添加，以及复合函数的积分公式的应用幂函数1∫x^n dx指数函数2∫e^x dx三角函数3∫sinx dx,∫cosx dx换元积分法

3.3换元积分法是计算复杂积分的重要工具我们将介绍第一类换元积分法和第二类换元积分法第一类换元积分法是指∫fgxgxdx=∫fudu，其中u=gx第二类换元积分法是指∫fxdx=∫fgtgtdt，其中x=gt我们将介绍如何选择合适的换元公式，以及换元后的积分如何计算例如，可以选择三角函数、指数函数、对数函数等作为换元函数我们将通过大量的例题来演示如何应用换元积分法计算积分，并讨论它们的适用条件和注意事项第二类换元2变量替换第一类换元1凑微分选择合适的换元公式3分部积分法

3.4分部积分法是计算积分的另一种重要工具我们将介绍分部积分法的公式和使用方法分部积分法的公式是指∫u dv=uv-∫v du，其中u和v是x的函数分部积分法的关键是选择合适的u和dv我们将介绍如何选择u和dv，以及分部积分法的使用技巧例如，可以选择幂函数、指数函数、对数函数等作为u，选择三角函数、指数函数等作为dv我们将通过大量的例题来演示如何应用分部积分法计算积分，并讨论它们的适用条件和注意事项公式选择例题∫u dv=uv-∫v du合适的u和dv演示计算过程有理函数的积分

3.5有理函数是指可以表示为两个多项式之比的函数我们将介绍有理函数的定义、分解方法和积分方法例如，可以将有理函数分解为部分分式之和，然后对每个部分分式进行积分我们将介绍如何将有理函数分解为部分分式，以及如何计算每个部分分式的积分例如，可以使用待定系数法来分解有理函数我们将通过例题来演示如何计算有理函数的积分，并讨论它们的适用条件和注意事项定义分解积分两个多项式之比部分分式之和对每个部分分式进行积分无穷区间上的积分

3.6无穷区间上的积分是指积分区间包含无穷大的积分我们将介绍无穷区间上的积分的定义和计算方法例如，∫[a,∞fx dx=limb→∞∫[a,b]fx dx如果极限存在，则称积分收敛，否则称积分发散我们将介绍如何判断无穷区间上的积分是否收敛，以及如何计算收敛的积分例如，可以使用比较判别法或狄利克雷判别法来判断积分是否收敛我们将通过例题来演示如何计算无穷区间上的积分，并讨论它们的适用条件和注意事项定义收敛发散积分区间包含无穷大极限存在极限不存在定积分的概念与性质

3.7定积分是微积分的重要概念我们将介绍定积分的定义、几何意义和性质例如，函数fx在[a,b]上的定积分定义为∫[a,b]fx dx=limn→∞Σ[i=1to n]fx_iΔx，其中Δx=b-a/n，x_i=a+iΔx定积分的几何意义是函数图像与x轴之间的有向面积定积分的性质包括线性性质、积分中值定理和积分上限函数我们将介绍如何计算定积分，并讨论定积分的应用积分上限函数1积分中值定理2线性性质3定积分概念4微积分基本定理

3.8微积分基本定理是微积分的核心定理，将导数和积分联系起来我们将介绍微积分基本定理的内容和应用微积分基本定理包括两个部分第一部分是指如果函数fx在[a,b]上连续，则积分上限函数Fx=∫[a,x]ft dt是可导的，且Fx=fx第二部分是指如果函数fx在[a,b]上连续，且Fx是fx的一个原函数，则∫[a,b]fx dx=Fb-Fa我们将介绍如何应用微积分基本定理计算定积分和求解微分方程，并讨论它的适用条件和注意事项例如，需要保证函数在积分区间上连续第一部分第二部分积分上限函数的导数定积分的计算应用求解微分方程广义积分

3.9广义积分是指积分区间包含无穷大或者被积函数在积分区间内有奇点的积分我们将介绍广义积分的定义和计算方法例如，∫[a,b]fx dx，如果b=∞或者fx在x=c处无界，则称为广义积分广义积分的计算方法是将积分区间分解为若干个小区间，然后在每个小区间上取极限我们将介绍如何判断广义积分是否收敛，以及如何计算收敛的广义积分例如，可以使用比较判别法或狄利克雷判别法来判断积分是否收敛我们将通过例题来演示如何计算广义积分，并讨论它们的适用条件和注意事项定义收敛发散积分区间包含无穷大或奇点极限存在极限不存在。