南京理工数值分析课件数值分析

南京理工数值分析课件什么是数值分析数值分析是利用数值方法来求解数学问题的一种方法它利用计它包含了许多算法，用于解决包括求解方程组、求解微分方程、算机来进行计算，以获得问题的近似解求解积分、求解矩阵特征值等问题数值分析的重要性广泛应用提高效率数值分析在各个领域都有着广泛数值分析可以帮助我们快速高效的应用，包括科学计算、工程设地解决许多复杂的数学问题，提计、金融建模等高工作效率解决实际问题许多实际问题无法用解析方法求解，需要使用数值分析的方法来获得近似解数值分析在工程应用中的实例结构分析航空航天数值分析可以帮助我们计算结构的应数值分析可以帮助我们设计飞机和火力、应变和位移箭，模拟飞行过程，以及计算气动力电子电路数值分析可以帮助我们分析电路的性能，以及计算电路中的电流和电压数值分析的基本任务近似解1数值分析的主要任务是找到问题的近似解误差分析2评估近似解的精度，并分析误差来源数值方法3开发和研究各种数值方法，以解决不同类型的数学问题数值方法的分类插值函数逼近方程求解数值积分根据已知的函数值，估计未知用简单函数来近似复杂函数，求解线性方程组、非线性方程估计定积分的值，并用其代替函数值的算法并用其代替复杂函数进行计算组、微分方程等问题的算法解析积分进行计算常见数值方法的优缺点梯形法则辛普森法则简单易懂，但精度较低精度较高，但复杂度较高牛顿法雅可比迭代法收敛速度快，但可能无法收敛简单易懂，但收敛速度慢误差与数值稳定性舍入误差1由于计算机存储容量有限，进行运算时会产生舍入误差截断误差2当用有限项的无穷级数来逼近函数时，会产生截断误差数值稳定性3指算法对初始数据微小扰动的不敏感程度插值问题定义1根据已知的离散数据点，估计未知函数值的算法应用2插值广泛应用于数据分析、图像处理、信号处理等领域常见算法3拉格朗日插值法、牛顿插值法、样条插值法等插值算法及其性质123插值多项式唯一性精度通过已知数据点构造一个多项式函数，使它对于给定的数据点，插值多项式是唯一的插值算法的精度取决于数据点的分布和插值在数据点处与已知函数值相等多项式的阶数拉格朗日插值法公式图形拉格朗日插值公式可以用来直接计算插值多项式拉格朗日插值法可以用图形来直观地表示插值多项式牛顿插值法递推公式效率应用牛顿插值法使用递推公式来计算插值多项牛顿插值法比拉格朗日插值法更加高效牛顿插值法常用于数值积分和数值微分等式应用样条插值法最小二乘法定义应用最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，它通过最小化误差平方最小二乘法广泛应用于统计分析、机器学习、信号处理等领域和来寻找最佳拟合曲线函数拟合目标1函数拟合的目标是找到一个函数，尽可能地接近给定的数据点方法2常用的函数拟合方法包括最小二乘法、多项式拟合、傅里叶级数拟合等应用3函数拟合广泛应用于物理学、化学、工程学等领域非线性方程求解定义1非线性方程指的是方程中包含非线性项的方程难点2非线性方程的求解比线性方程更加困难，通常需要使用迭代方法应用3非线性方程在各个领域都有着广泛的应用，例如物理学、化学、经济学等牛顿法图形公式牛顿法可以通过图形来直观地理解其工作原理牛顿法使用迭代公式来不断逼近方程的根弦截法原理弦截法使用两点之间的割线来逼近方程的根优点弦截法比牛顿法更加简单，不需要求导缺点弦截法的收敛速度比牛顿法慢迭代法概念优势迭代法是通过不断迭代来逼近方迭代法适用于求解各种类型的方程的根的方法程，包括线性方程和非线性方程局限迭代法可能无法收敛，或者收敛速度很慢线性方程组的解法定义1线性方程组指的是包含多个未知数的线性方程组方法2常用的解法包括消元法、迭代法等应用3线性方程组在科学计算、工程设计、金融建模等领域都有着广泛的应用消元法步骤解消元法通过一系列的矩阵变换来将线性方程组转化为上三角矩阵形通过回代法即可求得线性方程组的解式雅可比迭代法原理雅可比迭代法是一种迭代方法，它将线性方程组中的每个未知数用其他未知数的线性组合来表示优势雅可比迭代法比较简单易懂，易于实现局限雅可比迭代法的收敛速度较慢高斯赛德尔迭代法概念优点适用性高斯赛德尔迭代法是一种改进的迭代方法，高斯赛德尔迭代法的收敛速度比雅可比迭高斯赛德尔迭代法适用于大多数线性方程它在每次迭代时，都使用最新计算出的未代法快组知数值矩阵特征值问题定义1矩阵特征值问题是指寻找满足方程Ax=λx的特征值λ和特征向量x应用2矩阵特征值问题在各种领域都有着广泛的应用，例如振动分析、稳定性分析、图像处理等方法3常用的方法包括幂法、反幂法、QR算法等幂法与反幂法幂法反幂法幂法用于计算矩阵的最大特征值反幂法用于计算矩阵的最小特征和对应的特征向量值和对应的特征向量数值积分应用定义数值积分在各种领域都有着广泛的应用，例如物理学、工程学、经济学等数值积分是指用数值方法来估计定积分的值123方法常用的方法包括梯形法则、辛普森法则、龙贝格积分法等梯形法则图形公式梯形法则将积分区间分成若干个子区间，然后用梯形来近似每个子梯形法则的公式比较简单，易于理解和实现区间的面积辛普森法则原理辛普森法则使用二次多项式来近似函数，然后用二次多项式的积分来估计定积分的值优点辛普森法则比梯形法则更加精确适用性辛普森法则适用于大多数积分问题龙贝格积分法概念优势应用龙贝格积分法是一种改进的数值积分方法，龙贝格积分法的精度较高，收敛速度快龙贝格积分法广泛应用于科学计算和工程它通过对梯形法则的结果进行外推来提高设计等领域精度数值微分定义1数值微分是指用数值方法来估计函数的导数方法2常用的方法包括向前差分法、向后差分法、中心差分法等应用3数值微分在各种领域都有着广泛的应用，例如物理学、工程学、金融学等向前差分法图形公式向前差分法使用函数在当前点和下一个点的值来近似函数的导数向前差分法的公式比较简单，易于理解和实现向后差分法原理向后差分法使用函数在当前点和上一个点的值来近似函数的导数优点向后差分法比向前差分法更加精确缺点向后差分法需要使用过去的函数值，可能存在数据不可用情况中心差分法概念优势中心差分法使用函数在当前点的中心差分法比向前差分法和向后前一个点和后一个点的值来近似差分法更加精确函数的导数局限中心差分法需要使用左右两边的函数值，可能存在数据不可用情况。