高中数学函数图像分析课件

高中数学函数图像分析课件函数图像分析是高中数学的重要内容，它不仅可以帮助我们更好地理解函数的概念和性质，还可以为我们解决实际问题提供有效的工具课程目标深入理解高中数学中各掌握函数图像的分析方能够将函数图像分析应种函数的图像特征法，例如平移、伸缩、用到实际问题中，解决对称等相关问题函数概念回顾定义定义域和值域函数符号函数是描述两个集合之间对应关系的一种数定义域是指函数可以接受的所有输入值的集函数通常用字母表示，如，其中表示fx x学模型它定义了输入值（自变量）与输出合，值域是指函数输出的所有值的集合自变量，表示对应于的函数值fx x值（因变量）之间的关系一次函数定义性质一次函数是形如的函数，其中和是常数，为一•图像为一条直线y=kx+bk≠0k b k次项系数，为常数项一次函数图像是一条直线，决定了直线bk•当时，直线向上倾斜k0的斜率，决定了直线与轴的交点b y•当时，直线向下倾斜k0•当时，直线为水平线k=0•决定了直线与轴的交点b y一次函数图像特点一次函数的图像是一条直线，其特点如下•直线经过原点当一次函数的常数项为时，其图像经过原点0•斜率一次函数的斜率决定了直线的倾斜程度斜率越大，直线越陡峭；斜率越小，直线越平缓斜率为正数，直线向上倾斜；斜率为负数，直线向下倾斜•截距一次函数的常数项表示直线与轴的交点纵坐标常数项越大，直线y与轴的交点越高；常数项越小，直线与轴的交点越低y y一次函数的应用现实生活中的应用数学建模12一次函数在现实生活中有着广一次函数可以用来建立数学模泛的应用，例如，我们可以用型，对现实世界中的现象进行一次函数来描述匀速运动、商模拟和预测例如，我们可以品价格的计算、利润的计算等用一次函数模型来预测人口增等一次函数的应用可以帮助长趋势、股票价格的波动等我们更好地理解现实世界，解等决实际问题科学研究3一次函数在科学研究中也有着重要的作用例如，物理学中，我们可以用一次函数来描述自由落体运动、匀速直线运动等等二次函数定义图像二次函数是形如二次函数图像的开口方向由的y=ax²+bx+c a的函数，其中为常符号决定时开口向上，a≠0a,b,c a0a数二次函数的图像是一个抛物时开口向下顶点坐标为0-线，其开口方向、顶点坐标和对，对称轴为直线b/2a,f-b/2a x称轴都可以通过函数表达式确=-b/2a定性质二次函数具有以下性质•当时，函数在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增；a0•当时，函数在对称轴左侧单调递增，在对称轴右侧单调递减；a0•函数的最大值或最小值出现在顶点处二次函数图像特点二次函数图像是一个对称的抛物线，其特点如下•对称轴抛物线关于对称轴对称，对称轴为直线，其中x=-b/2a、为二次函数的系数a b•顶点抛物线的顶点位于对称轴上，坐标为△，其中-b/2a,-/4a△是二次函数的判别式=b^2-4ac•开口方向当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开a0a0口向下•与轴交点抛物线与轴的交点个数取决于判别式△的值x x•当△时，抛物线与轴有两个交点，即有两个实数根0x•当△时，抛物线与轴只有一个交点，即有一个实数根=0x（重根）•当△时，抛物线与轴没有交点，即没有实数根0x•与轴交点抛物线与轴的交点坐标为，其中为二次函y y0,c c数的常数项二次函数的应用建筑运动经济二次函数在建筑设计中发挥着重要作用例在运动中，二次函数可以用来描述物体抛射在经济学中，二次函数可以用来描述股票价如，抛物线形的拱桥和屋顶结构，可以有效的轨迹例如，足球运动员射门时，球的飞格的波动通过分析股票价格的趋势，可以地分散压力，提高稳定性行路径可以用二次函数来模拟预测未来的价格变化三次函数图像性质应用三次函数的图像一般呈三次函数有以下性质三次函数在物理学、经济S形，可以根据系数的变化学等领域都有广泛的应•定义域为；R而发生不同的变化，比用，比如•值域为；R如•描述物体的运动轨•单调性当时，a0•当时，图像在轴迹；a0x图像在轴的左侧单调x的左侧上升，右侧下•分析经济增长模型递增，右侧单调递降；减；当时，图像a0•当时，图像在轴a0x在轴的左侧单调递x的左侧下降，右侧上减，右侧单调递增；升•奇偶性三次函数一般为奇函数，即f-x=-fx三次函数图像特点三次函数的图像一般呈形，其特点如下“S”当大于时，函数图像从左下方向右上方延伸；当小于时，函a0a0数图像从左上方向右下方延伸三次函数图像具有对称中心，其对称中心为点b/3a,2b^3/27a^2-c/3a•三次函数图像最多有三个拐点，拐点处的切线斜率为0•三次函数图像的单调性与极值点当大于时，函数在拐点处取得极值，且在拐点左侧单调递增，a0在拐点右侧单调递减当小于时，函数在拐点处取得极值，且在拐点左侧单调递减，a0在拐点右侧单调递增三次函数的应用工程应用物理应用三次函数在工程领域有着广泛的应用，例如三次函数在物理学中也有着重要的应用，例如•建筑设计三次函数可以用来描述建筑物的曲线形状，例如拱•运动学三次函数可以用来描述物体的运动轨迹桥、屋顶等•力学三次函数可以用来描述物体的弹性形变•机械设计三次函数可以用来描述机器零件的曲线形状，例如•热力学三次函数可以用来描述热量的传递规律齿轮、曲轴等•电路设计三次函数可以用来描述电路中的电流、电压等物理量的变化规律指数函数定义图像12指数函数是指形如的指数函数的图像取决于底数y=a^x a函数，其中为常数，且的大小当时，图像单a aa1且函数的定义域为全调递增，且图像在轴下方逐0a≠1x体实数，值域为正实数渐接近轴；当x0a1时，图像单调递减，且图像在轴上方逐渐接近轴x x性质3指数函数具有以下性质当时，函数单调递增；当-a10a1时，函数单调递减函数的图像过点函数的图像关于轴对-0,1-y称指数函数图像特点指数函数图像具有以下特点•定义域为全体实数•值域为正实数•过点0,1•当时，图像单调递增，且轴为其渐近线a1y•当时，图像单调递减，且轴为其渐近线0a1y指数函数的应用人口增长指数函数可以用来模拟人口的增长趋势，因为人口增长率通常保持稳定，从而导致人口数量呈指数级增长投资收益指数函数可以用来计算投资收益，尤其是在复利的情况下，因为本金随着时间的推移呈指数级增长放射性衰变指数函数可以用来描述放射性物质的衰变过程，因为放射性物质的衰变速度是恒定的，导致放射性物质的质量呈指数级下降药物浓度指数函数可以用来模拟药物在体内的浓度变化，因为药物在体内被代谢的速度是恒定的，导致药物浓度呈指数级下降对数函数定义性质应用如果且，那么数叫对数函数在科学、工程、金融等领域都有广ax=N a0a≠1x•loga1=0做以为底的对数，记作泛的应用，例如计算地震的强度、声音的强a NlogaN=x•logaa=1度、化学反应的速率等•logaMN=logaM+logaN•logaM/N=logaM-logaN•logaMn=n logaM对数函数图像特点对数函数图像具有以下特点•定义域为，值域为0,+∞-∞,+∞•过点1,0•单调性当时，函数在定义域内单调递增；当时，函数在定a10a1义域内单调递减•渐近线以轴为渐近线y•与指数函数互为反函数对数函数的应用科学研究工程技术金融领域对数函数在科学研究中有着广泛的应用，在工程技术领域，对数函数用于描述信号在金融领域，对数函数用于描述投资增例如在物理学中，对数函数可用于描述声处理、噪声分析、控制系统等方面的现象长、利率变化等金融现象，以及分析经济强、光强等物理量，以及描述放射性衰变和规律例如，在声学中，对数函数用于数据的增长趋势例如，对数函数可以用过程描述声音的强度来描述投资的收益率随时间变化的趋势幂函数幂函数是一种特殊的函幂函数的图像形态取决幂函数在现实生活中有数，其表达式为于幂指数的值当着广泛的应用，例如y=a a，其中是一个常时，函数图像在第描述物体运动速度随时x^a a0数，称为幂指数一象限内单调递增；当间变化的规律、描述经时，函数图像在第济增长率随时间变化的a0一象限内单调递减；当规律等等时，函数图像为一a=0条平行于轴的直线x幂函数图像特点幂函数图像的特点取决于幂指数的取值情况，主要分为以下几种n当为正整数时，幂函数图像经过原点，且在第一象限内单调递增，随着的n n增大，图像在第一象限内的增长速度越快当为负整数时，幂函数图像经过原点，且在第一象限内单调递减，随着的n n增大，图像在第一象限内的下降速度越快当为分数时，幂函数图像的形状取决于分数的分子和分母，图像可能在第一n象限内单调递增或递减，也可能在第一象限内存在拐点当为零时，幂函数图像为一条水平直线，即，图像在整个数轴上都是常n y=1数幂函数的应用物理学经济学幂函数在物理学中广泛应用，例在经济学中，幂函数可以用于描如描述重力、电磁力等物理现述生产函数、需求函数和供给函象例如，牛顿万有引力定律可数等例如，柯布道格拉斯生产-以用幂函数来描述，其中引力与函数可以用幂函数来表示，它将两个物体质量的乘积成正比，与生产要素投入与产出联系起来它们之间距离的平方成反比工程学在工程学中，幂函数可以用于描述材料的强度、应力、应变等例如，材料的抗拉强度可以用幂函数来表示，它与材料的截面积和应力相关三角函数正弦函数

11.正弦函数是三角函数中最基础的一个，其图像是一个周期性的波浪形，其周期为，振幅为2π1余弦函数

22.余弦函数的图像与正弦函数的图像相似，只是相位相差，其周期也为，π/22π振幅为1正切函数

33.正切函数的图像是一个周期性的函数，其周期为，并且在某些点上存在间断π点余切函数

44.余切函数的图像也存在间断点，其周期为，并且在某些点上不存在定义π三角函数图像特点三角函数图像具有周期性、对称性、单调性等特点•周期性三角函数图像在一定范围内呈规律性变化，并在此范围内不断重复•对称性三角函数图像关于某些直线或点对称•单调性三角函数图像在某些区间内具有单调性，即函数值随着自变量的增大而增大或减小通过分析这些特点，我们可以更好地理解三角函数的性质，并将其应用于解决实际问题三角函数的应用三角函数在实际生活中在物理学中，三角函数在工程学中，三角函数有着广泛的应用，例如可以用来描述振动、波可以用来分析电路、结在导航、地图、测量等浪等周期性运动构等复杂系统领域反比例函数定义图像反比例函数是指形如为常数，且的函数在反反比例函数的图像是一条双曲线，位于坐标系的四个象限中双y=k/x kk≠0比例函数中，两个变量和之积始终为一个常数，因此当曲线有两个分支，分别位于第

一、三象限和第

二、四象限双曲x yk x增大时，会减小，反之亦然线关于坐标原点对称，且渐近线为轴和轴y x y反比例函数图像特点反比例函数图像是一条双曲线，具有以下特点•图像位于第

一、三象限或第

二、四象限，且关于原点中心对称•图像不经过坐标轴，且离坐标轴越远，图像越接近坐标轴•当时，图像位于第

一、三象限；当时，图像位于第

二、四k0k0象限•函数图像的渐近线为坐标轴，即当趋于正无穷或负无穷时，趋于x y；当趋于正无穷或负无穷时，趋于0y x0反比例函数的应用物理学反比例函数在物理学中有着广泛的应用，例如描述物体运动的速度和时间的关系，以及描述电阻和电流的关系化学在化学中，反比例函数可以用来描述化学反应中反应物浓度和反应速率的关系，以及描述溶液的浓度和体积的关系经济学在经济学中，反比例函数可以用来描述商品的需求量和价格的关系，以及描述供给量和价格的关系工程学反比例函数在工程学中也有着重要的应用，例如描述机械零件的强度和尺寸的关系，以及描述电路的电流和电阻的关系复合函数定义图像特点应用复合函数是指由两个或多个函数组合而成的复合函数的图像通常比其组成函数的图像更复合函数广泛应用于各个领域，包括物理函数，其输出值依赖于另一个函数的输出复杂学、经济学和工程学值复合函数图像特点复合函数的图像，是由多个简单函数图像组合而成，并根据复合函数的定义和性质，通过对简单函数图像进行相应的变换得到复合函数图像的特点主要包括以下几个方面复合函数图像的形状取决于其组成函数的图像形状，以及复合函数的定义

1.式复合函数图像的定义域和值域是由其组成函数的定义域和值域共同决定的

2.复合函数图像的单调性、奇偶性、对称性等性质也与组成函数的性质有关

3.复合函数图像可以通过对组成函数图像进行平移、伸缩、对称等变换来得

4.到复合函数的应用解决实际问题简化计算12复合函数可用于建模现实世界通过将复杂函数分解成多个简中的各种问题，例如人口增单函数的组合，我们可以简化长、投资回报、物理现象等计算过程例如，计算一个函例如，我们可以用复合函数来数的导数时，我们可以利用复描述一个物体的温度随时间变合函数的求导法则来简化计化的过程，其中温度的变化取算决于物体的初始温度、周围环境的温度以及时间的推移理解函数关系3复合函数可以帮助我们更好地理解函数之间的关系例如，我们可以用复合函数来描述一个函数的输出如何依赖于另一个函数的输出绝对值函数定义性质绝对值函数是指形如的函•定义域为全体实数y=|x|数，其定义域为全体实数，值域•值域为非负实数为非负实数函数图像关于轴y•图像关于轴对称y对称当时，；当x≥0y=x x•当时，；当时，x≥0y=x x00y=-x时，y=-x图像绝对值函数的图像是一条形曲线，顶点在原点曲线在轴上V0,0x方，且关于轴对称y绝对值函数图像特点绝对值函数图像具有以下特点•对称性绝对值函数图像关于轴对称y•单调性当时，函数单调递增；当时，函数单调x≥0x≤0递减•奇偶性绝对值函数是偶函数•定义域绝对值函数的定义域为全体实数•值域绝对值函数的值域为非负实数绝对值函数的应用距离计算速度限制误差范围绝对值函数可以用于计算两点之间的距离，绝对值函数可以用于描述速度限制，例如高绝对值函数可以用于表示误差范围，例如测例如在地图上计算两点之间的直线距离速公路的限速量结果的误差函数图像的平移水平平移1将函数的图像向右平移个单位，得到的y=fx a y=fx-a图像向左平移个单位，得到的图像ay=fx+a垂直平移2将函数的图像向上平移个单位，得到y=fx b y=fx+b的图像向下平移个单位，得到的图像by=fx-b函数图像的伸缩纵向伸缩1图像向上伸缩y=afx,a1,纵向压缩2y=afx,0横向伸缩3y=fbx,0横向压缩4图像向左压缩y=fbx,b1,函数图像的伸缩是指将图像沿坐标轴方向进行拉伸或压缩伸缩可以分为纵向伸缩和横向伸缩，其本质是改变函数的解析式中的系数函数图像的对称关于轴对称y当函数满足时，函数图像关于轴对称例如，函数f-x=fx y的图像关于轴对称y=x^2y关于原点对称当函数满足时，函数图像关于原点对称例如，函f-x=-fx数的图像关于原点对称y=x^3关于直线对称x=a当函数满足时，函数图像关于直线对称例f2a-x=fx x=a如，函数的图像关于直线对称y=x-1^2x=1函数图像的变形综合平移1左右平移、上下平移伸缩2横向伸缩、纵向伸缩对称3关于轴、轴、原点对称xy综合4多种变换的组合掌握函数图像的变形技巧，可以帮助我们快速理解和分析函数的性质，提高解题效率例如，通过平移、伸缩、对称等变换，我们可以将复杂的函数图像转化为简单的函数图像，从而更容易地求解函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等习题课巩固知识点练习解题技巧提升解题能力知识总结函数图像分析图像分析方法实际应用通过学习函数图像分析，我们掌握了多种我们学习了多种分析函数图像的方法，例函数图像分析在生活和科研中都有着广泛函数图像的基本特征，包括一次函数、二如观察图像的形状、斜率、截距等，以及的应用，例如利用函数图像分析预测经济次函数、指数函数、对数函数等，以及图利用图像变换规律进行图像分析，并能根增长趋势、研究物理现象变化规律等像的平移、伸缩和对称等变换规律这些据图像信息推断函数的解析式知识对于我们理解函数性质和应用至关重要课后思考函数图像的应用函数图像的变形你能举出一些生活中应用函数图如何将函数图像进行平移、伸缩像解决问题的例子吗？和对称变换？函数图像分析技巧有哪些方法可以帮助我们更准确地分析函数图像？。