高中数学函数课件

高中数学函数课件本课件旨在帮助高中生系统学习和掌握函数的相关知识通过本课件的学习，学生将能够理解函数的概念、分类、表示方法，掌握各类基本函数的图像和性质，并能够运用函数知识解决实际问题本课件内容丰富、讲解透彻，结合大量的例题和练习，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力通过本课件的学习，学生能够为将来进一步学习高等数学打下坚实的基础课件目标知识目标能力目标情感目标掌握函数的概念、分类、表示方法理解能够运用函数知识解决实际问题培养学激发学生学习数学的兴趣培养学生严谨线性函数、二次函数、反比例函数、指数生的数学思维能力和解题能力提高学生的科学态度培养学生良好的学习习惯和函数、对数函数、三角函数的图像和性的抽象思维能力和逻辑推理能力培养学学习方法培养学生积极向上的人生态质掌握函数的复合、逆、奇偶性、周期生的自主学习能力和合作学习能力度性、单调性、极值等概念了解导数、不等式、极限、连续性、积分等与函数相关的内容函数的概念定义要素设，是非空的数集，如果按照一个函数包含三个要素定义域A B某个确定的对应关系，使对于集、值域和对应法则函数记f AB f合中的任意一个数，在集合作，其中称为自变量，A xB y=fx x y中都有唯一确定的数和它对称为因变量自变量的取值范围fx应，那么就称为从集合称为定义域，因变量的取值范围f A→B A到集合的一个函数，记作称为值域B，∈y=fx xA表示函数可以用多种方式来表示，包括解析式、图像和表格解析式是用数学公式来表示函数的方法，图像是用坐标系中的曲线来表示函数的方法，表格是用表格的形式来表示函数的方法函数的分类代数函数超越函数特殊函数代数函数是由常数、变量以及代数运算符号超越函数是指不能用代数式表示的函数常特殊函数是指在数学、物理等领域中具有特（加、减、乘、除、乘方、开方）组成的函见的超越函数包括指数函数、对数函数、三殊性质和应用的函数常见的特殊函数包括数常见的代数函数包括线性函数、二次函角函数等狄拉克函数、贝塞尔函数等数、多项式函数等函数的表示解析式法用含有自变量和因变量的数学表达式表示函数关系的方法例如y=x+1,y=x^2图像法用坐标系中的图像来表示函数关系的方法函数的图像能够直观地反映函数的变化趋势和性质列表法用表格的形式列出函数关系的方法列表法适用于表示定义域为有限集合的函数线性函数定义斜率12形如（、为常数，斜率表示直线相对于轴的倾y=kx+b k b k x且）的函数叫做线性函斜程度当时，直线向上k≠0k0数，其中是斜率，是截距倾斜；当时，直线向下倾kbk0斜；当时，直线与轴平k=0x行截距3截距表示直线与轴的交点坐标当时，直线与轴交于正半轴；b y b0y当时，直线与轴交于负半轴；当时，直线经过原点b0yb=0线性函数的图象斜率21直线截距3线性函数的图像是一条直线直线的斜率决定了直线的倾斜程度，截距决定了直线与轴的交点通过斜率和截距，我们可以确定一条直y线的位置和方向例如，的图像是一条斜率为，截距为的直线y=2x+121线性函数的性质单调性1当时，线性函数单调递增；当时，线性函数单调递k0k0减奇偶性2线性函数既不是奇函数也不是偶函数，除非，此时线性函b=0数为奇函数对称性3线性函数关于其与轴交点对称y一次函数的应用成本分析供需关系物理运动用线性函数表示成本与产量之间的关系，可用线性函数表示商品的价格与需求量之间的用线性函数表示物体运动的速度与时间之间以进行成本预测和控制关系，可以进行市场分析和预测的关系，可以进行运动分析和预测二次函数定义一般式顶点式形如（、、为常数，且，其中、、为常数，且，其中是顶点坐标这y=ax²+bx+c ab cy=ax²+bx+c ab cy=ax-h²+k h,k）的函数叫做二次函数，其中是二这种形式可以直接看出二次函数的种形式可以直接看出二次函数的顶点坐标a≠0a a≠0次项系数，是一次项系数，是常数项二次项系数、一次项系数和常数项和对称轴b c二次函数的图象开口方向2抛物线13顶点二次函数的图像是一条抛物线二次项系数决定了抛物线的开口方向，当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下抛物a a0a0线的顶点是抛物线的最高点或最低点，顶点坐标为-b/2a,4ac-b²/4a二次函数的性质对称轴顶点坐标12抛物线关于直线对抛物线的顶点坐标为x=-b/2a-b/2a,称，这条直线称为抛物线的对，顶点是抛物线4ac-b²/4a称轴的最高点或最低点最值3当时，抛物线有最小值；当时，抛物线有最大值a04ac-b²/4a a04ac-b²/4a二次函数的应用物理学工程学描述抛体运动的轨迹，例如投掷设计拱桥的形状，拱桥的形状通物体、喷泉水柱等利用二次函常是抛物线形，可以承受较大的数可以分析物体的运动规律压力利用二次函数可以计算拱桥的受力情况经济学描述成本、利润与产量之间的关系，例如成本函数、利润函数等利用二次函数可以进行成本控制和利润最大化反比例函数定义解析式性质形如（为常数，且）的函数，其中为常数，且反比例当时，反比例函数的图像在第

一、三y=k/x kk≠0y=k/x kk≠0k0叫做反比例函数，其中是比例系数函数的自变量不能为象限；当时，反比例函数的图像在第kx0k0

二、四象限反比例函数的图象渐近线21双曲线象限3反比例函数的图像是双曲线双曲线有两条渐近线，分别是轴和轴当时，双曲线位于第

一、三象限；当时，双曲线位于第x yk0k0

二、四象限反比例函数的性质单调性1当时，在每个象限内，反比例函数单调递减；当时，k0k0在每个象限内，反比例函数单调递增奇偶性2反比例函数是奇函数，图像关于原点对称对称性3反比例函数关于直线和对称y=x y=-x反比例函数的应用物理学电学工程学描述气体的压强与体积之间的关系，例如玻描述电流与电阻之间的关系，例如欧姆定描述完成一定工作量所需的时间与工作效率意耳定律利用反比例函数可以分析气体的律利用反比例函数可以分析电路的特性之间的关系利用反比例函数可以进行工作状态变化效率分析指数函数定义底数指数形如（且）的函数叫做指底数必须大于且不等于，这是为了保指数可以是任意实数指数函数的定义y=a^x a0a≠1a01x数函数，其中是底数，是指数证指数函数的单调性和连续性域是全体实数a x指数函数的图象单调性2曲线13渐近线指数函数的图像是一条曲线当时，指数函数单调递增；当a10指数函数的性质定义域值域单调性123指数函数的定义域是全体实数指数函数的值域是当时，指数函数单调递增；当0,+∞a10指数函数的应用生物学金融学描述细菌的繁殖，细菌的数量呈描述复利的增长，本金和利息的指数增长利用指数函数可以预总额呈指数增长利用指数函数测细菌的数量变化可以计算复利的收益核物理描述放射性元素的衰变，元素的数量呈指数衰减利用指数函数可以计算放射性元素的半衰期对数函数定义底数真数形如（且）的函数叫做对底数必须大于且不等于，这是为了保真数必须大于对数函数的定义域是y=logₐx a0a≠1a01x0数函数，其中是底数，是真数证对数函数的单调性和连续性a x0,+∞对数函数的图象2单调性曲线1渐近线3对数函数的图像是一条曲线当时，对数函数单调递增；当a10对数函数的性质定义域值域单调性123对数函数的定义域是对数函数的值域是全体实数当时，对数函数单调递增；当0,+∞a10对数函数的应用地震学声学描述地震的震级，地震的能量呈描述声音的强度，声音的响度呈对数增长利用对数函数可以计对数增长利用对数函数可以计算地震的震级算声音的响度化学描述溶液的酸碱度，溶液的值是对数值利用对数函数可以计算溶液的pH值pH三角函数定义种类周期性三角函数是以角度（通常采用弧度制）为常见的三角函数包括正弦函数、余弦函三角函数具有周期性，即函数值会按照一自变量，角度对应于单位圆上的坐标为因数、正切函数、余切函数、正割函数和余定的周期重复出现例如，正弦函数和余变量的函数割函数弦函数的周期为2π正弦函数周期性21sinx奇函数3正弦函数是三角函数中最基本的一个函数，记作正弦函数的周期为，是奇函数，图像关于原点对称正弦函数的值域为y=sinx2π[-1,1]余弦函数周期性1cosx2余弦函数是三角函数中最基本余弦函数的周期为，是偶函2π的一个函数，记作数，图像关于轴对称y=cosx y值域3余弦函数的值域为[-1,1]正切函数周期性tanx正切函数是三角函数之一，记作正切函数的周期为，是奇函数，π正切函数可以表示为图像关于原点对称y=tanx正弦函数与余弦函数的比值，即tanx=sinx/cosx渐近线正切函数有渐近线，当趋近于时，正切函数的值趋近于无穷xπ/2+kπ大三角函数的性质周期性对称性单调性正弦函数、余弦函数的正弦函数是奇函数，图在不同的区间内，三角周期为，正切函数的像关于原点对称；余弦函数具有不同的单调2π周期为函数是偶函数，图像关性例如，正弦函数在π于轴对称；正切函数是上单调递y[-π/2,π/2]奇函数，图像关于原点增，在上单[π/2,3π/2]对称调递减三角函数的应用物理学电学信号处理描述波动现象，例如声波、光波等利用三描述交流电的变化，电压和电流随时间呈正分析和处理各种信号，例如音频信号、视频角函数可以分析波的传播和干涉弦或余弦变化利用三角函数可以分析交流信号等利用三角函数可以进行信号的分解电路的特性和合成函数的复合定义运算注意设，，且的值域是复合函数是将一个函数的输出作为另一个复合函数的定义域是内函数的定义y=fu u=gx gx fu gx定义域的子集，则叫做与函数的输入例如，设，域，值域是外函数的值域复合函数y=f[gx]fx fx=x²gx=fu的复合函数，称为内函数，，则的运算顺序是从内到外，先计算内函数的gx gxfx x+1f[gx]=x+1²称为外函数值，再计算外函数的值函数的逆定义若函数的值域是，则它的反函数是，它的定义y=fx Bx=f⁻¹y域是，值域是原函数的定义域B存在性只有一一对应的函数才存在反函数如果一个函数不是一一对应的，则不能直接求出其反函数求法交换原函数中的自变量和因变量，然后解出因变量例如，的反函数是，解出，所以反函数是y=x+1x=y+1y=x-1y=x-1偶函数和奇函数奇函数21偶函数对称性3对于定义域内任意，若，则称为偶函数，图像关于轴对称对于定义域内任意，若，则称为奇函数，xf-x=fx fxy xf-x=-fx fx图像关于原点对称既不是奇函数也不是偶函数的函数称为非奇非偶函数函数的周期性定义性质12对于定义域内任意，若存在若是函数的周期，则x T fx nT一个非零常数，使得也是函数的周期，其中为T fx+Tfxn，则称为周期函数，任意整数周期函数可以无限=fx fx称为周期次地重复其图像T常见周期函数3常见的周期函数包括三角函数，例如正弦函数、余弦函数、正切函数等函数的单调性单调递增单调递减若在区间内，对于任意和若在区间内，对于任意和a,b x₁a,b x₁，当，当，则称在区间x₂x₁x₂x₁fx₂fx内单调递减a,b判断方法可以通过导数来判断函数的单调性若，则单调递增；若fx0fx，则单调递减；若，则可能取得极值fx0fx fx=0fx函数的极值极大值极小值求法若在附近存在区间，使得对于任意若在附近存在区间，使得对于任意可以通过导数来求函数的极值首先求出导x₀a,b x₀a,b∈，都有，且，则称∈，都有，且，则称数，然后令，解出的值，这些x a,b fx≤fx₀x≠x₀x a,b fx≥fx₀x≠x₀fx fx=0x为的极大值为的极小值的值可能是极值点再判断这些的值是fx₀fx fx₀fx x x否为极值点，可以使用二阶导数判断法函数的导数定义几何意义求导公式设函数在点的某个邻域内有定导数的几何意义是函数图像在该点处的切常见的求导公式包括，y=fx x₀C=0义，当自变量在处取得增量时，函线的斜率导数可以反映函数在该点处的，，x x₀Δx xⁿ=nxⁿ⁻¹sinx=cosx cosx=-数取得增量；如果变化率，，等yΔy=fx₀+Δx-fx₀sinx eˣ=eˣlnx=1/x与之比当时的极限存在，则ΔyΔxΔx→0称函数在点处可导，并称这个极y=fx x₀限为函数在点处的导数，记作y=fx x₀fx₀导数的应用求单调性求极值通过导数可以判断函数的单调通过导数可以求函数的极值首性若，则单调递先求出导数，然后令fx0fx fx增；若，则单调递，解出的值，这些的值fx0fx fx=0x x减可能是极值点再判断这些的值x是否为极值点，可以使用二阶导数判断法求最值通过导数可以求函数在闭区间上的最值首先求出函数在闭区间内的极值，然后比较极值和端点值，最大的值就是最大值，最小的值就是最小值不等式与函数关系不等式可以看作是函数值之间的大小关系通过函数图像可以直观地看出不等式的解集解法解不等式可以利用函数的性质例如，若在区间内单fx a,b调递增，则fx₁应用不等式可以用来解决实际问题，例如求最值、求范围等可以将实际问题转化为不等式问题，然后利用函数的性质求解函数的极限性质21定义存在性3设函数在点的某个空心邻域内有定义，如果当无限接近于时，函数无限接近于一个确定的常数，则称为函数当趋近fx x₀xx₀fx AA fx x于时的极限，记作函数极限的存在性与函数在该点处是否有定义无关x₀limx→x₀fx=A函数的连续性定义性质12设函数在点的某个邻域连续函数的和、差、积、商fx x₀内有定义，如果（分母不为）仍然是连续函limx→x₀fx0，则称函数在点数复合函数在满足一定条件=fx₀fxx₀处连续下也是连续函数应用3连续函数在数学分析中有重要的应用，例如证明中值定理、求解微分方程等函数的积分不定积分定积分微积分基本定理设Fx=fx，则称Fx为fx的不定积设函数fx在区间[a,b]上有定义，将区间设Fx=fx，则∫ₐᵇfxdx=Fb-分，记作，其中为任分成个小区间，每个小区间的长度微积分基本定理建立了导数和积分∫fxdx=Fx+C C[a,b]n Fa意常数为Δxᵢ，在每个小区间上任取一点ξᵢ，作和之间的联系∑fξᵢΔxᵢ，当n→∞时，如果这个和的极限存在，则称在区间上可积，并称fx[a,b]这个极限为在区间上的定积分，fx[a,b]记作∫ₐᵇfxdx积分的应用求面积求体积求做功利用定积分可以计算曲利用定积分可以计算旋利用定积分可以计算变线围成的面积例如，转体的体积例如，计力做功例如，计算弹计算与轴在区间算绕轴旋转一周性力在物体移动一段距y=x²xy=x²x上围成的面积形成的旋转体的体积离时所做的功[0,1]总结本课件系统地介绍了高中数学函数的相关知识，包括函数的概念、分类、表示方法，各类基本函数的图像和性质，以及函数在实际问题中的应用通过本课件的学习，相信大家对函数有了更深入的理解和掌握希望大家在今后的学习中继续努力，不断提高自己的数学水平感谢大家的学习！。