《偏微分方程》课件

偏微分方程欢迎来到偏微分方程的世界！本课程将带您深入探索偏微分方程的理论、应用和数值解法我们将从基础概念出发，逐步学习各种类型的偏微分方程，以及求解这些方程的常用方法通过本课程的学习，您将掌握解决实际问题的数学工具，为未来的研究和工作打下坚实的基础课程简介课程定位学习方法考核方式本课程是数学、物理、工程等专业的重要本课程注重理论与实践相结合我们将通本课程的考核方式包括平时作业、期中考基础课程它将介绍偏微分方程的基本概过课堂讲解、例题分析、习题练习等方式，试和期末考试平时作业占总成绩的30%，念、理论和解法，为后续课程的学习和科帮助您掌握偏微分方程的基本知识和解题期中考试占总成绩的30%，期末考试占总学研究打下基础技巧鼓励积极思考，主动提问成绩的40%什么是偏微分方程？定义与常微分方程的区别含有未知多元函数及其偏导数的方常微分方程是只有一个自变量的未程，称为偏微分方程偏微分方程知函数的微分方程，而偏微分方程描述了多元函数及其偏导数之间的是含有多个自变量的未知函数的微关系，广泛应用于物理、工程、经分方程偏微分方程的解更加复杂，济等领域需要用到偏导数阶数偏微分方程中出现的未知函数最高阶偏导数的阶数，称为偏微分方程的阶数例如，二阶偏微分方程中，未知函数最高阶偏导数为二阶偏微分方程的应用领域流体力学热传导电磁学Navier-Stokes方程描述热传导方程描述了热量Maxwell方程组描述了电了流体的运动，是流体在物体中的传递过程磁场的行为，是电磁学力学中的核心方程用用于分析热量的扩散、的基础方程用于分析于模拟和分析各种流体温度的分布等，在工程电磁波的传播、电磁场现象，如空气动力学、热物理、材料科学等领的分布等，在无线通信、水动力学等域有重要应用雷达等领域有重要应用课程目标掌握偏微分方程的基本掌握求解偏微分方程的12概念和理论常用方法理解偏微分方程的定义、分类、掌握特征线法、变量分离法、解的存在性和唯一性等基本概Green函数法等求解偏微分方程念，掌握线性偏微分方程的叠的常用方法，能够运用这些方加原理等基本理论法求解简单的偏微分方程了解偏微分方程的数值解法3了解有限差分法、有限元法等偏微分方程的数值解法，能够运用这些方法求解简单的偏微分方程数值解课程内容概述一阶偏微分方程1介绍一阶线性偏微分方程和非线性偏微分方程的解法，包括特征线法，以及激波的形成二阶线性偏微分方程2重点介绍波动方程、热传导方程和方程，包括这些方程的推导、Laplace解法和物理意义偏微分方程的数值解法3介绍有限差分法和有限元法，以及差分格式的稳定性和方法Galerkin其他内容4介绍偏微分方程的分类、偏微分方程组和偏微分方程的弱解预备知识向量微积分多元函数微积分傅里叶分析需要掌握向量场的概念、梯度、散度和旋需要掌握多元函数的偏导数、全微分、多需要掌握傅里叶级数、傅里叶变换等基本度等基本概念，以及相关的计算方法元函数的积分等基本概念，以及相关的计概念，以及相关的计算方法了解傅里叶算方法分析在求解偏微分方程中的应用向量微积分回顾向量场梯度散度旋度向量场是指在空间中的每一个梯度是一个向量，指向函数增散度是一个标量，表示向量场旋度是一个向量，表示向量场点都对应一个向量的场例如，长最快的方向，其大小表示函在某一点的发散程度散度在在某一点的旋转程度旋度在流速场、电场、磁场等都是向数在该方向上的增长率梯度流体力学、电磁学等领域有重流体力学、电磁学等领域有重量场在优化问题中有重要应用要应用要应用多元函数微积分偏导数全微分偏导数是多元函数对其中一个自变全微分是多元函数所有自变量的微量的导数，其他自变量视为常数分的线性组合，表示函数在某一点偏导数描述了函数沿着坐标轴方向的微小变化全微分在近似计算中的变化率有重要应用多元函数积分多元函数积分是多元函数在某一个区域上的积分，包括二重积分、三重积分等多元函数积分在计算面积、体积等问题中有重要应用傅里叶分析基础傅里叶级数傅里叶变换应用傅里叶级数是将周期函傅里叶变换是将非周期傅里叶分析可以用于求数分解为一系列正弦函函数分解为连续频率的解偏微分方程，例如热数和余弦函数的和傅频谱傅里叶变换在信传导方程、波动方程等里叶级数在信号处理、号处理、图像处理等领通过傅里叶变换，可以图像处理等领域有重要域有重要应用将偏微分方程转化为常应用微分方程，简化求解过程一阶偏微分方程线性方程2线性一阶偏微分方程的求解方法定义1含有未知函数及其一阶偏导数的方程称为一阶偏微分方程非线性方程非线性一阶偏微分方程的特点和求解方法3线性一阶偏微分方程的解法特征线法1将偏微分方程转化为常微分方程组求解常微分方程2求解得到的常微分方程组得到通解3将解用原变量表示，得到偏微分方程的通解特征线法确定特征方程1求解特征方程2得到特征线3求解原方程4特征线法是一种求解一阶偏微分方程的常用方法其基本思想是将偏微分方程转化为常微分方程，然后求解常微分方程得到原方程的解该方法适用于求解线性、拟线性等类型的偏微分方程非线性一阶偏微分方程求解困难激波非线性一阶偏微分方程的求解通常比线性方程更困难，因为不存在非线性方程的解可能出现激波，需要特殊的处理激波是指解的间统一的解法常见的求解方法包括隐式差分法和显式差分法断，例如流体力学中的冲击波激波的形成是由于非线性效应导致的激波的形成非线性效应间断解12非线性效应是激波形成的主要激波是一种间断解，即解在某原因当非线性效应足够强时，一点的值是不连续的激波在解的梯度会变得非常大，最终物理上表示一些突变现象，例形成间断如爆炸、冲击等处理方法3需要采用特殊的处理方法，例如方法、方法等Godunov Lax-Friedrichs这些方法可以保证数值解的稳定性，并能够捕捉到激波的位置和强度二阶线性偏微分方程方程类型定义物理意义波动方程描述波的传播弦振动、声波、电磁波热传导方程描述热量的传递物体温度随时间的变化Laplace方程描述稳定状态的物理静电场、引力场场波动方程定义形式解法波动方程是描述波的传播的偏微分方程波动方程的形式为∂²u/∂t²=c²∂²u/∂x²，求解波动方程的常用方法包括行波解法、它广泛应用于物理、工程等领域，例如声其中u是波的位移，t是时间，x是空间坐分离变量法等行波解法可以得到波动方波、光波、电磁波等标，c是波速程的行波解，分离变量法可以将波动方程转化为常微分方程，简化求解过程波动方程的推导弦振动弹性波电磁波123波动方程可以从弦振动的物理模型推弹性波也可以用波动方程描述考虑电磁波也可以用波动方程描述从导出来考虑一根张紧的弦，假设弦弹性介质中的微小形变，可以得到弹Maxwell方程组出发，可以推导出电的密度均匀，且只发生小振动，则可性波的波动方程弹性波在地震、声磁场的波动方程电磁波在无线通信、以得到波动方程纳等领域有重要应用雷达等领域有重要应用行波解定义性质应用行波解是指波的形状在行波解具有一定的传播行波解可以用于描述各传播过程中保持不变的速度和方向它可以向种波的传播现象，例如解行波解的形式为左传播，也可以向右传声波、光波、电磁波等ux,t=fx-ct，其中f是播行波解的能量在传行波解在工程、物理等波的形状函数，c是波速播过程中保持不变领域有重要应用初边值问题的解法叠加原理21分离变量法傅里叶级数3初边值问题是指在给定的初始条件和边界条件下求解偏微分方程的问题对于波动方程的初边值问题，常用的解法包括分离变量法、叠加原理和傅里叶级数法这些方法可以将偏微分方程转化为常微分方程，简化求解过程热传导方程定义形式解法热传导方程是描述热量在物体中传递的偏热传导方程的形式为∂u/∂t=α∂²u/∂x²，求解热传导方程的常用方法包括分离变量微分方程它广泛应用于工程热物理、材其中u是温度，t是时间，x是空间坐标，α法、积分变换法等分离变量法可以将热料科学等领域，例如物体温度随时间的变是热扩散率传导方程转化为常微分方程，简化求解过化、热量的扩散等程积分变换法可以利用傅里叶变换或拉普拉斯变换求解热传导方程热传导方程的推导能量守恒定律傅里叶定律12热传导方程可以从能量守恒定傅里叶定律描述了热流量与温律推导出来考虑物体中的一度梯度之间的关系热流量与个微小区域，假设热量只通过温度梯度成正比，比例系数为传导的方式传递，则可以得到热导率傅里叶定律是热传导热传导方程方程推导的重要依据热扩散率3热扩散率是描述物体传热能力的参数热扩散率越大，物体传热能力越强，温度变化越快热扩散率与热导率、密度和比热容有关热传导方程的解稳态解瞬态解应用稳态解是指温度不随时瞬态解是指温度随时间热传导方程的解可以用间变化的解稳态解满变化的解瞬态解需要于分析各种热传导问题，足Laplace方程稳态解考虑初始条件和边界条例如散热器设计、隔热在工程中有重要应用，件瞬态解在工程中有材料选择等热传导方例如散热设计重要应用，例如加热或程在工程、物理等领域冷却过程分析有重要应用最大值原理应用最大值原理可以用于判断热传导方程解的2性质，例如解的稳定性、解的唯一性等定义最大值原理在理论分析和数值计算中都有重要应用对于热传导方程，最大值原理指出，区1域内部的最大温度只能出现在边界或初始时刻这意味着热量只能从高温区域证明向低温区域传递最大值原理可以用反证法证明假设区域内部存在最大温度，则该点处的二阶导数3小于等于零，与热传导方程矛盾方程Laplace定义物理意义应用方程是二阶线性偏微分方程，形式方程描述了空间中某一点的物理量方程广泛应用于物理、工程等领域，Laplace Laplace Laplace为∇²u=0，其中u是未知函数，∇²是拉与其周围点的平均值之间的关系如果某例如静电场分析、流体力学分析等普拉斯算子Laplace方程描述了稳定状态一点的物理量等于其周围点的平均值，则Laplace方程的解是调和函数，具有良好的的物理场，例如静电场、引力场等该物理量满足Laplace方程性质方程的解Laplace调和函数解法12满足方程的函数称为调求解方程的常用方法包LaplaceLaplace和函数调和函数具有良好的括分离变量法、Green函数法等性质，例如光滑性、唯一性等分离变量法可以将Laplace方程调和函数在复变函数论中有重转化为常微分方程，简化求解要应用过程Green函数法可以利用函数求解方程Green Laplace问题3Dirichlet问题是指在给定的边界条件下求解方程的问题Dirichlet Laplace Dirichlet问题有唯一解，且解是稳定的问题在工程中有重要应用，例如Dirichlet电场分析调和函数平均值性质最大值原理光滑性调和函数满足平均值性调和函数满足最大值原调和函数具有光滑性，质，即在某一点的值等理，即区域内部的最大即在区域内部具有任意于以该点为中心的球面值只能出现在边界上阶导数光滑性是调和上所有点的平均值平最大值原理是调和函数函数的重要性质，可以均值性质是调和函数的的重要性质，可以用于保证解的精度重要性质，可以用于证判断解的性质明其他性质边值问题的求解边界2Neumann1边界Dirichlet混合边界3边值问题是指在给定的边界条件下求解偏微分方程的问题对于方程的边值问题，常见的边界条件包括边界、边LaplaceDirichlet Neumann界和混合边界不同的边界条件对应不同的物理意义，例如边界表示给定边界上的电势，边界表示给定边界上的电场强DirichletNeumann度函数Green定义性质应用函数是一种特殊的函数，可以用于函数具有对称性、唯一性等性质函数可以用于求解方程、Green GreenGreen Laplace求解线性偏微分方程的边值问题Green对称性可以简化计算过程，唯一性保证解Poisson方程、波动方程等线性偏微分方程函数满足一定的微分方程和边界条件，可的存在性和唯一性Green函数在理论分Green函数在物理、工程等领域有重要应以用于表示解的积分形式析和数值计算中都有重要应用用，例如电磁场分析、声场分析等变量分离法基本思想适用范围12变量分离法是将偏微分方程转变量分离法适用于求解一些特化为常微分方程的方法该方殊的偏微分方程，例如波动方法的基本思想是假设解可以表程、热传导方程、Laplace方程示为几个单变量函数的乘积，等该方法需要一定的技巧，然后将原方程转化为几个常微例如选择合适的坐标系、确定分方程合适的边界条件等步骤3变量分离法的步骤包括假设解的形式、代入原方程、分离变量、求解常微分方程、叠加解等每个步骤都需要仔细计算和分析，才能得到正确的解矩形区域上的解坐标系傅里叶级数边界条件在矩形区域上求解偏微在矩形区域上求解偏微在矩形区域上求解偏微分方程，通常采用直角分方程，通常需要用到分方程，需要考虑边界坐标系直角坐标系简傅里叶级数傅里叶级条件不同的边界条件单直观，便于进行变量数可以将函数分解为一对应不同的物理意义，分离和数值计算系列正弦函数和余弦函例如Dirichlet边界、数的和，便于求解方程Neumann边界等圆形区域上的解贝塞尔函数21极坐标系傅里叶级数3在圆形区域上求解偏微分方程，通常采用极坐标系极坐标系可以简化方程的形式，便于进行变量分离求解过程中需要用到贝塞尔函数和傅里叶级数等特殊函数特征值问题定义性质应用特征值问题是指求解线性算子的特征值和特征值和特征向量具有一定的性质，例如特征值问题广泛应用于物理、工程等领域，特征向量的问题特征值问题在偏微分方特征值是实数、特征向量线性无关等这例如量子力学、振动分析等特征值和特程的求解中占有重要地位，例如分离变量些性质可以用于判断解的性质，简化求解征向量可以用于描述系统的固有属性，例法、谱方法等过程如能量、频率等理论Sturm-Liouville定义性质12理论是研究二阶理论指出，特征Sturm-Liouville Sturm-Liouville线性常微分方程特征值问题的值是实数、特征函数正交等重要理论该理论提供了一套这些性质可以用于判断解的性完整的框架，用于分析特征值质，简化求解过程和特征函数的性质应用3理论广泛应用于物理、工程等领域，例如量子力学、振动Sturm-Liouville分析等理论可以用于求解偏微分方程的特征值问题Sturm-Liouville特征函数的完备性完备性傅里叶级数正交性特征函数的完备性是指，任意函数都可以表傅里叶级数是一种特殊的特征函数展开，可特征函数的正交性是指，不同特征值对应的示为特征函数的线性组合完备性是求解偏以用于表示周期函数傅里叶级数在信号处特征函数的积分等于零正交性可以简化计微分方程的重要保证，可以保证解的存在性理、图像处理等领域有重要应用算过程，便于求解方程和唯一性偏微分方程的数值解法有限元法21有限差分法谱方法3偏微分方程的数值解法是求解偏微分方程的近似解的方法常用的数值解法包括有限差分法、有限元法和谱方法这些方法将连续问题转化为离散问题，便于计算机求解有限差分法基本思想差分格式应用有限差分法是将偏导数用差商代替的方法有限差分法需要选择合适的差分格式，例有限差分法广泛应用于求解偏微分方程，该方法的基本思想是将求解区域离散化为如向前差分、向后差分、中心差分等不例如热传导方程、波动方程、Laplace方程网格，然后在网格节点上计算近似解同的差分格式对应不同的精度和稳定性等有限差分法简单易懂，便于计算机实现差分格式的稳定性稳定性条件12CFL稳定性是指数值解在计算过程CFL条件是保证差分格式稳定的中不发散的性质稳定性是数重要条件CFL条件限制了时间值解法的重要保证，可以保证步长和空间步长之间的关系，计算结果的可靠性必须满足才能保证计算结果的收敛性分析方法3分析差分格式稳定性的方法包括傅里叶分析法、能量法等这些方法可以用于判断差分格式的稳定性，选择合适的差分格式和步长有限元法基本思想形函数刚度矩阵有限元法是将求解区域有限元法需要选择合适有限元法需要计算刚度分解为有限个单元，然的形函数，例如线性形矩阵，刚度矩阵描述了后在每个单元上构造近函数、二次形函数等单元之间的相互作用似解的方法该方法的形函数用于构造单元上刚度矩阵是求解有限元基本思想是将连续问题的近似解，不同的形函方程的关键，可以用于转化为离散问题，便于数对应不同的精度和计求解近似解计算机求解算量方法Galerkin弱形式21加权残差有限元空间3方法是一种常用的有限元方法该方法的基本思想是选择一组基函数，然后将近似解表示为基函数的线性组合通过求解加权残差Galerkin方程，可以得到近似解方法需要选择合适的基函数和加权函数，才能保证计算结果的精度和稳定性Galerkin能量估计定义能量不等式应用能量估计是分析偏微分方程解的性质的重能量估计需要建立能量不等式，能量不等能量估计广泛应用于偏微分方程的理论分要方法该方法的基本思想是通过估计解式描述了能量随时间的变化关系通过分析和数值计算中能量估计可以用于判断的能量，来判断解的稳定性、收敛性等析能量不等式，可以判断解的性质解的存在性、唯一性和稳定性偏微分方程的分类椭圆型方程抛物型方程双曲型方程123椭圆型方程描述了稳定状态的物理场，抛物型方程描述了随时间变化的物理双曲型方程描述了波的传播过程，例例如Laplace方程、Poisson方程等过程，例如热传导方程、扩散方程等如波动方程、电磁波方程等双曲型椭圆型方程的解具有光滑性、唯一性抛物型方程的解具有耗散性、稳定性方程的解具有能量守恒性、传播性等等性质等性质性质椭圆型方程方程方程问题Laplace PoissonDirichlet方程是典型的椭方程是带有源项问题是椭圆型方Laplace PoissonDirichlet圆型方程，描述了稳定的Laplace方程，描述了程的典型边值问题，描状态的物理场Laplace带有源的稳定状态的物述了给定边界上的物理方程的解是调和函数，理场Poisson方程在电量的情况Dirichlet问题具有良好的性质磁学、引力场等领域有在工程中有重要应用，重要应用例如电场分析抛物型方程扩散方程21热传导方程边界条件3抛物型方程描述了随时间变化的物理过程，例如热传导方程、扩散方程等求解抛物型方程需要考虑初始条件和边界条件，才能得到唯一的解双曲型方程波动方程特征线能量守恒波动方程是典型的双曲型方程，描述了波双曲型方程的解具有特征线，特征线描述双曲型方程的解具有能量守恒性，即系统的传播过程波动方程广泛应用于物理、了波的传播方向和速度特征线在求解双的总能量在传播过程中保持不变能量守工程等领域，例如声波、光波、电磁波等曲型方程中占有重要地位，可以用于分析恒性是双曲型方程的重要性质，可以用于解的性质判断解的性质每种类型方程的物理意义椭圆型抛物型12平衡状态，如温度分布稳定后随时间演化的过程，如热扩散，的情况，电场稳定状态等物质扩散等双曲型3波的传播过程，如声波，电磁波等偏微分方程组定义耦合解法偏微分方程组是指由多偏微分方程组中的各个求解偏微分方程组的常个偏微分方程组成的方方程之间通常是耦合的，用方法包括迭代法、分程组偏微分方程组描即一个方程的解会影响解法等这些方法将方述了多个物理量之间的其他方程的解耦合使程组分解为几个简单的相互关系，广泛应用于得偏微分方程组的求解方程，然后迭代求解物理、工程等领域更加复杂方程组Maxwell电场磁场124电流电荷3方程组描述了电场、磁场、电荷和电流之间的关系它是电磁学的基础方程，广泛应用于无线通信、雷达等领域方程组Maxwell Maxwell由四个方程组成，分别是高斯定律、高斯磁定律、法拉第电磁感应定律和安培环路定律方程组Navier-Stokes流体运动粘性湍流方程组描述了流体的运动，方程组考虑了流体的粘性，方程组可以用于描述湍流现Navier-Stokes Navier-Stokes Navier-Stokes是流体力学的基础方程Navier-Stokes方即流体内部的摩擦力粘性对流体的运动象，即流体的复杂无规则运动湍流的数程组广泛应用于空气动力学、水动力学等有重要影响，例如边界层现象值模拟非常困难，是流体力学研究的重要领域方向常见的偏微分方程组弹性力学方程组反应扩散方程组多孔介质流动方程组123描述弹性体的形变和应力之间的关系，描述化学反应和物质扩散的耦合过程，描述流体在多孔介质中的流动，用于用于分析结构力学问题用于分析化学反应、生物过程等分析石油开采、地下水流动等偏微分方程的弱解经典解弱解泛函分析经典解是指满足偏微分弱解是指在某种意义下弱解的概念需要用到泛方程及其边界条件的函满足偏微分方程的函数函分析的知识，例如数经典解要求函数具弱解允许函数具有较低Sobolev空间、分布理论有足够的光滑性，例如的光滑性，例如不连续等弱解在偏微分方程连续可导或导数不存在的理论分析中占有重要地位空间Sobolev性质21定义应用3空间是一种特殊的函数空间，用于描述函数的广义导数空间在偏微分方程的弱解理论中占有重要地位，可以用于分析解Sobolev Sobolev的存在性、唯一性和稳定性空间需要用到泛函分析的知识，例如范数、内积等Sobolev弱形式的导出分部积分试验函数变分问题弱形式的导出通常需要用到分部积分公式弱形式需要选择合适的试验函数，试验函弱形式可以转化为变分问题，即求解某个分部积分可以将偏导数转移到试验函数上，数通常属于Sobolev空间试验函数用于构泛函的极值问题变分问题在偏微分方程降低对解的光滑性要求造弱形式，并用于证明解的存在性、唯一的理论分析中占有重要地位性和稳定性弱解的存在性和唯一性定理先验估计紧性1Lax-Milgram23Lax-Milgram定理是证明弱解存在性证明弱解的存在性和唯一性通常需要证明弱解的存在性可能需要用到紧性和唯一性的重要工具Lax-Milgram进行先验估计，即估计解的范数先理论，例如Rellich-Kondrachov定理定理需要满足一定的条件，例如双线验估计可以用于控制解的增长，保证紧性可以保证弱解序列的收敛性，从性形式的连续性和强制性解的存在性和唯一性而证明解的存在性课程复习重点回顾习题练习考前准备回顾本课程的重点内容，例如偏微分方程的通过习题练习巩固所学知识，提高解题能力认真阅读教材和笔记，熟悉考试内容和形式分类、求解方法、数值解法等重点掌握基认真完成课后习题，并参考答案进行分析做好考前复习，争取取得好成绩本概念和基本理论重要概念回顾偏微分方程特征线124有限元格林函数3回顾偏微分方程的重要概念，包括偏微分方程的定义、分类、解法等重点掌握特征线、格林函数、有限元等重要概念，理解其物理意义和应用价值解题技巧总结特征线法分离变量法数值解法对于一阶偏微分方程，可以使用特征线法对于二阶偏微分方程，可以使用分离变量对于复杂的偏微分方程，可以使用数值解求解特征线法需要确定特征方程，然后法求解分离变量法需要假设解的形式，法求解常用的数值解法包括有限差分法、求解常微分方程组，得到原方程的解然后将原方程转化为几个常微分方程有限元法等考试要点提示基本概念解法数值解法123熟练掌握偏微分方程的基本概念，例熟练掌握求解偏微分方程的常用方法，了解偏微分方程的数值解法，例如有如偏导数、梯度、散度、旋度等理例如特征线法、分离变量法、Green限差分法、有限元法等理解这些方解这些概念的物理意义和应用价值函数法等能够运用这些方法求解简法的原理和优缺点单的偏微分方程参考文献《偏微分方程》，美劳伦斯伊万斯著

1.[]·C·《应用偏微分方程》，美约翰戴维斯著

2.[]·《偏微分方程数值解法》，李荣华著

3.课后习题•求解一阶线性偏微分方程∂u/∂x+∂u/∂y=0•求解波动方程∂²u/∂t²=c²∂²u/∂x²，初始条件ux,0=sinx，∂u/∂tx,0=0•求解Laplace方程∂²u/∂x²+∂²u/∂y²=0，边界条件u0,y=0，u1,y=0，ux,0=0，ux,1=sinπx。