《离散数学教案》课件

《离散数学》教案欢迎来到《离散数学》的世界！本课程旨在为您构建计算机科学和数学领域的重要基石我们将深入探讨集合论、逻辑学、关系、函数、组合数学、图论和算法等核心概念通过本课程的学习，您将掌握解决实际问题的数学工具，并培养严谨的逻辑思维能力让我们一起开启这段充满挑战和发现的旅程！课程目标知识目标能力目标素质目标掌握离散数学的基本概念、理论和方法理培养抽象思维、逻辑推理和问题解决能力培养严谨的科学态度和创新精神提高自主解集合论、逻辑学、关系、函数、组合数学能够运用离散数学的知识分析和解决计算机学习和团队协作的能力增强对数学的兴趣和图论等核心内容熟悉各种离散结构的性科学中的实际问题提高算法设计和分析的和信心质和应用能力预备知识高中数学基础计算机基础掌握基本的代数、几何和三角函了解计算机的基本组成和工作原数知识熟悉集合、函数和数列理熟悉数据结构和算法的基本等概念具备一定的逻辑推理能概念具备一定的编程能力力逻辑思维能力具备一定的抽象思维和逻辑推理能力能够理解和运用逻辑规则能够分析和解决问题集合论基础集合的定义集合是由一些互不相同的对象组成的整体对象称为集合的元素集合具有无序性和互异性集合的表示列举法列出集合的所有元素，如描述法用谓{1,2,3}词描述集合的元素，如是正整数且小于{x|x4}集合的关系子集⊆，表示的所有元素都是的元素相等A B A B，表示和包含相同的元素A=BA B集合的运算并集∪A B1包含和的所有元素例如，∪A B{1,2}{2,3}={1,2,3}交集A∩B2包含和共有的元素例如，A B{1,2}∩{2,3}={2}差集A-B3包含中但不包含中的元素例如，A B{1,2}-{2,3}={1}补集A4包含全集中但不包含中的元素A命题逻辑命题逻辑联结词1能判断真假的陈述句例如，今天是（非）、∧（与）、∨（或）、（“¬→2星期一是一个命题蕴含）、（等价）”↔命题公式真值表4由命题变量、逻辑联结词和括号组成的3表示逻辑联结词的真值组合表达式谓词逻辑量词1全称量词∀和存在量词∃谓词2描述个体性质或个体之间关系的语句个体词3表示个体的变量或常量谓词逻辑是在命题逻辑的基础上扩展的，可以表达更复杂的逻辑关系通过量词的使用，可以对个体进行更精确的描述，从而更有效地进行推理和判断数理逻辑公理系统形式证明完备性由一组公理和推理规则根据公理和推理规则推指系统中所有真命题都构成的系统用于推导导出结论的过程必须能被证明是评价形式数学定理严格遵循形式规则系统的重要指标推理规则肯定前件Modus Ponens1如果为真，且为真，则为真P→Q P Q否定后件Modus Tollens2如果为真，且为假，则为假P→Q QP假言推理Hypothetical Syllogism3如果为真，且为真，则为真P→Q Q→R P→R析取三段论Disjunctive Syllogism4如果∨为真，且为假，则为真P QPQ形式系统形式语言公理推理规则由一组符号和规则组成的语言用于描不需要证明的基本命题是形式系统的用于从公理或已证明的定理推导出新定述形式系统的语法结构出发点理的规则布尔代数基本运算与、或、非AND ORNOT布尔变量取值为或的变量01布尔表达式由布尔变量、布尔运算和括号组成的表达式开关电路设计逻辑表达式将电路的功能用逻辑表达式表示出来简化表达式利用布尔代数的规则简化逻辑表达式电路实现用逻辑门电路实现简化的逻辑表达式二进制编码二进制数编码由和组成的数计算机内将字符、数字等信息转换成二进01部使用二进制数表示数据制数的过程常见的编码方式有码、码等ASCII Unicode解码将二进制数转换成字符、数字等信息的过程关系的定义有序对笛卡尔积关系由两个元素组成的序列，元素的顺序很两个集合和的笛卡尔积是指由笛卡尔积的子集表示集合中元素之间A BA重要记作的元素和的元素组成的所有有序对的的某种联系a,b B集合记作×AB关系的性质对称性如果对于集合中的任意两个元素A a2和，如果∈，则∈b a,b R b,a R自反性，则关系在上是对称的R A1如果对于集合中的每一个元素，A a都有∈，则关系在上是传递性a,a RR A自反的如果对于集合中的任意三个元素A a、和，如果∈且b ca,b Rb,3∈，则∈，则关系在c Ra,c RR A上是传递的关系的代数关系的复合1设和是集合上的关系，则和的复合关系是指R SA R S由所有组成的集合，其中存在∈，使得a,c bA a,∈且∈记作◦b Rb,c SRS关系的逆2设是集合上的关系，则的逆关系是指由所有R ARb,a组成的集合，其中∈记作⁻a,b RR¹关系的闭包3自反闭包、对称闭包、传递闭包函数的定义定义函数是从一个集合（定义域）到另一个集合（值域）的映射，其中定义域中的每个元素都对应值域中的唯一元素单射定义域中不同的元素映射到值域中不同的元素满射值域中的每个元素都可以由定义域中的某个元素映射得到双射既是单射又是满射的函数函数的性质复合函数反函数12将两个函数组合成一个函数如果函数是双射，f:A→B设，，则则存在反函数⁻f:A→B g:B→C f¹:B→A◦g f:A→C函数的图像3函数的图形表示可以直观地了解函数的性质递归函数递归定义1用自身来定义函数包括基本情况和递归步骤基本情况2递归定义的终止条件必须存在基本情况，否则递归将无限循环递归步骤3将问题分解成更小的子问题，并调用自身来解决子问题递归函数是一种强大的编程技术，可以用于解决许多复杂的问题理解递归的原理和应用是学习算法设计的重要一步排列组合基础计数原理排列组合加法原理和乘法原理从个不同元素中取从个不同元素中取n n是排列组合的基础出个元素进行排列出个元素进行组合r r元素的顺序很重要元素的顺序不重要排列的定义和性质排列的定义从个不同元素中取出个元素进行排列，称为从个元素n r n中取个元素的排列记作或r Pn,r An,r排列数公式Pn,r=n!/n-r!特殊情况全排列从个不同元素中取出个元素进行排列n nPn,n=n!组合的定义和性质组合的定义从个不同元素中取出个元素进行组合，称为从个元素中取个n rn r元素的组合记作或Cn,rnchoose r组合数公式Cn,r=n!/r!*n-r!组合的性质Cn,r=Cn,n-r二项式定理定理内容二项式系数应用是二项式系数，也称为组合数用于展开，计算概率，以及x+y^n=∑k=0to nCn,k*Cn,k x+y^n解决其他组合问题x^n-k*y^k离散概率论基础随机事件1在随机试验中可能发生也可能不发生的事件概率2描述随机事件发生的可能性大小的数值取值范围为[0,1]概率空间3由样本空间、事件集合和概率测度组成的集合离散随机变量定义概率质量函数PMF取值只能是离散值的随机变量描述离散随机变量在每个取值上例如，掷骰子的结果、硬币正面的概率向上的次数累积分布函数CDF描述离散随机变量小于或等于某个值的概率离散概率分布伯努利分布二项分布1描述一次试验的结果，只有两种可能描述次独立伯努利试验中成功的次数n成功或失败2泊松分布几何分布4描述在一定时间或空间内发生事件的次3描述第一次成功所需的试验次数数期望和方差期望随机变量的平均值描述随机变量的中心位置记作EX方差描述随机变量的离散程度记作VarX标准差方差的平方根也描述随机变量的离散程度记作σX马尔可夫链定义描述一个状态序列，其中下一个状态只依赖于当前状态，而与之前的状态无关状态转移矩阵描述从一个状态转移到另一个状态的概率应用用于模拟和预测各种动态系统，如天气预报、股票市场等图论基础图的定义图的表示图的类型由顶点和边组成的集合邻接矩阵、邻接表有向图、无向图、带权边连接两个顶点图图的定义和表示图的定义图，其中是顶点集合，是边集合边连接两G=V,E VE个顶点邻接矩阵用矩阵表示顶点之间的连接关系矩阵的元素表示两个顶点之间是否有边邻接表用链表表示每个顶点的邻居每个顶点对应一个链表，链表中存储该顶点的所有邻居图的性质连通性1描述图中顶点之间的连通情况强连通、弱连通、连通分量度2与顶点相连的边的数量有向图分为入度和出度路径3由顶点和边组成的序列描述从一个顶点到另一个顶点的路线环4起点和终点相同的路径树的定义和性质树的定义树的性质树的类型无环连通图或者说，任意两个顶点之个顶点的树有条边树中任意两二叉树、完全二叉树、满二叉树、平衡n n-1间只有一条路径的图个顶点之间只有一条路径二叉树生成树算法深度优先搜索DFS从一个顶点开始，沿着一条路径一直走2到底，直到无法继续前进，然后回溯到定义上一个顶点，继续探索其他路径1从一个连通图中找到一个包含所有顶点的树生成树的边是原图的边的子集广度优先搜索BFS从一个顶点开始，先访问该顶点的所有邻居，然后访问邻居的邻居，以此类推3图的遍历算法深度优先搜索DFS1递归实现，访问一个顶点后，递归访问其未访问的邻居广度优先搜索BFS2使用队列实现，访问一个顶点后，将其未访问的邻居加入队列，然后从队列中取出顶点进行访问最短路径算法算法Dijkstra Bellman-Ford Floyd-Warshall算法算法用于寻找带权图中两个顶点之间的最短路径用于寻找带权图中两个用于寻找图中任意两个要求图中所有边的权值顶点之间的最短路径顶点之间的最短路径都为非负数允许图中存在负权边，允许图中存在负权边，但不能存在负权环但不能存在负权环最小生成树算法算法Prim从一个顶点开始，逐步扩展生成树，每次选择与当前生成树相连的权值最小的边算法Kruskal将所有边按照权值从小到大排序，然后依次选择边，如果加入该边不会形成环，则将该边加入生成树离散优化问题定义在离散的可能解集合中寻找最优解的问题例如，旅行商问题、背包问题解决策略贪心算法、动态规划、分支限界法完备性NP一类难以找到多项式时间算法解决的问题算法复杂度分析时间复杂度空间复杂度常用复杂度描述算法运行时间随输入规模增长的趋描述算法占用空间随输入规模增长的趋、、、、O1Olog n On Onlog n势常用大符号表示势常用大符号表示、、O OOn^2O2^nOn!算法设计策略分治法动态规划将问题分解成更小的子问题，递将问题分解成重叠的子问题，并归解决子问题，然后将子问题的保存子问题的解，避免重复计算解合并成原问题的解贪心算法每一步都做出局部最优选择，希望最终得到全局最优解但不能保证得到最优解动态规划算法基本思想状态转移方程12将问题分解成重叠的子问题，描述子问题之间的关系是动并保存子问题的解，避免重复态规划算法的核心计算自底向上地求解问题应用3用于解决最优化问题，如背包问题、最短路径问题等。