《高等数学公式》课件

高等数学公式大全欢迎来到这份详尽的高等数学公式课件！本课件旨在系统地梳理高等数学中的核心公式，帮助大家更好地理解和应用数学知识从极限与连续的基础概念，到导数、微分的计算与应用，再到不定积分和定积分的求解，最后深入到多元函数微积分的世界，我们将逐一解析各个知识点，助力大家在数学学习中取得更大的进步极限与连续引言极限的重要性连续性的意义极限是高等数学的基石，它贯穿于整个数学体系导数、积分等连续性描述了函数变化的平滑程度，是函数性质的重要组成部分概念都建立在极限的基础上理解极限，才能真正掌握高等数学连续函数在实际问题中具有广泛的应用，例如物理学中的运动的精髓它不仅仅是一个数学概念，更是一种重要的数学思想方轨迹、经济学中的供需关系等，都是通过连续函数来描述的法数列极限的定义精确定义直观理解12对于数列{an}，若存在常数A当n越来越大时，数列中的每，使得对于任意给定的正数ε一项an无限接近于常数A也，总存在正整数N，当nN时就是说，数列中的每一项与A，都有|an-A|ε成立，则称数的差距可以任意小，只要n足列{an}收敛于A，记作够大可以用几何的方式来理limn→∞an=A解，数列的点越来越靠近A应用举例3考虑数列{1/n}，当n趋于无穷大时，1/n趋于0，因此limn→∞1/n=0这个简单的例子展示了数列极限的实际意义，即随着n的增大，数列的值越来越小，并最终接近于0函数极限的定义函数极限的ε-δ定义左极限与右极限应用场景设函数fx在点x₀的某一去心邻域内左极限limx→x₀⁻fx=A，表示x函数极限在研究函数在某一点附近的有定义如果存在常数A，对于任意给从x₀的左侧趋近于x₀时，fx的极限性质时非常重要例如，判断函数在定的正数ε，总存在正数δ，当0|x-为A右极限limx→x₀⁺fx=A，某一点是否连续，计算函数的导数等x₀|δ时，都有|fx-A|ε成立，则称当表示x从x₀的右侧趋近于x₀时，fx，都需要用到函数极限的概念极限x趋于x₀时，函数fx的极限为A，记的极限为A函数极限存在的必要条件也是微积分的基础概念作limx→x₀fx=A是左极限和右极限都存在且相等极限的性质唯一性性质描述简单证明实际应用如果一个数列或函数存假设数列存在两个极限在求解极限问题时，如在极限，那么这个极限A和B（A≠B），根据极果发现一个数列或函数是唯一的也就是说，限定义，可以推出矛盾收敛于两个不同的值，一个数列或函数不可能，从而证明极限的唯一那么就可以断定该数列同时收敛于两个不同的性这个证明过程体现或函数不存在极限唯值这个性质保证了极了数学的严谨性，也加一性性质可以帮助我们限的确定性，是进行极深了我们对极限概念的快速判断极限的存在性限计算和推理的基础理解极限的性质有界性性质描述1如果一个数列收敛，那么这个数列一定是有界的也就是说，数列中的所有项都落在某个有限的区间内这个性质是判断数列是否收敛的必要条件，但不是充分条件几何意义2在数轴上，收敛数列的所有项都集中在极限值附近，不会无限远离因此，可以用一个有限的区间将数列的所有项都包含在内这个几何意义有助于我们直观地理解有界性的概念反例说明3例如，数列{n}是无界的，因此它不收敛但有界数列不一定收敛，例如数列{-1^n}是有界的，但它不收敛这说明有界性只是收敛的必要条件，而不是充分条件极限的性质保号性性质描述如果limx→x₀fx=A0，那么存在δ0，当0|x-x₀|δ时，fx0也就是说，如果函数的极限大于0，那么在极限点附近，函数的值也大于0推论如果存在δ0，当0|x-x₀|δ时，fx≥0，且limx→x₀fx=A，那么A≥0这个推论说明，如果函数在极限点附近非负，那么它的极限也非负应用保号性在判断函数值的符号时非常有用例如，可以利用保号性判断函数在某一点附近是否大于0，从而确定函数在该点附近的性质无穷小与无穷大无穷大的定义如果对于任意给定的正数M，总存在δ02，当0|x-x₀|δ时，都有|fx|M成立，无穷小的定义则称当x→x₀时，fx为无穷大无穷大也不是一个具体的数，而是一个函数值如果limx→x₀fx=0，则称fx为当1趋于无穷大的过程x→x₀时的无穷小无穷小不是一个具体的数，而是一个函数趋近于0的过程无穷小与无穷大的关系如果fx为无穷大，则1/fx为无穷小；反之，如果fx为无穷小，且fx≠0，则31/fx为无穷大无穷小与无穷大互为倒数关系，可以相互转化极限的四则运算加法1limx→x₀[fx+gx]=limx→x₀fx+limx→x₀gx减法2limx→x₀[fx-gx]=limx→x₀fx-limx→x₀gx乘法3limx→x₀[fx⋅gx]=limx→x₀fx⋅limx→x₀gx除法4limx→x₀[fx/gx]=limx→x₀fx/limx→x₀gx limx→x₀gx≠0这些法则成立的前提是limx→x₀fx和limx→x₀gx都存在利用这些法则，可以将复杂的极限计算转化为简单的计算，从而简化求解过程需要注意的是，除法法则要求分母的极限不为0，否则不能直接应用两个重要极限第一个重要极限1limx→0sinx/x=1这个极限在三角函数的极限计算中非常重要，经常用于化简复杂的三角函数表达式第二个重要极限limx→∞1+1/x^x=e或limx→01+x^1/x=e，其中2e是自然对数的底数，约等于

2.71828这个极限在指数函数的极限计算中非常有用这两个重要极限是求解许多复杂极限问题的基础，需要熟练掌握在实际应用中，可以灵活运用这两个极限及其变形，从而简化计算过程，提高解题效率务必理解它们的推导过程，以便更好地掌握其本质连续函数的定义函数fx在点x₀处连续，需要满足三个条件1函数在该点有定义，即fx₀存在；2函数在该点存在极限，即limx→x₀fx存在；3函数在该点的极限值等于函数值，即limx→x₀fx=fx₀这三个条件缺一不可，任何一个条件不满足，函数在该点就不连续函数的连续性是微积分中一个非常重要的概念连续函数的性质介值定理最值定理一致连续性如果函数fx在闭区间[a,b]上连续，且如果函数fx在闭区间[a,b]上连续，那么函如果函数fx在区间I上一致连续，那么对于fa≠fb，那么对于任意介于fa和fb之间数在该区间上一定能取得最大值和最小值任意给定的正数ε，总存在正数δ，对于任意的数C，至少存在一个x₀∈a,b，使得这个定理保证了连续函数在闭区间上的有界x₁,x₂∈I，当|x₁-x₂|δ时，都有|fx₁-fx₀=C这个定理说明，连续函数在闭区性，并且为我们寻找最大值和最小值提供了fx₂|ε一致连续性比普通连续性更强，间上取遍所有介于端点值之间的值这个定理论基础这个定理在优化问题中非常重要它要求对于整个区间上的任意两点，只要它理在证明方程根的存在性时非常有用们的距离足够小，它们的函数值之差也足够小一致连续性在积分理论中非常重要函数的间断点第一类间断点第二类间断点左右极限都存在可去间断点左右极限存在且相等，但不等于左右极限至少有一个不存在无穷间断点函数在该点的极限为函数在该点的值，或者函数在该点无定义跳跃间断点左右极无穷大振荡间断点函数在该点附近无限振荡第二类间断点限存在但不相等第一类间断点比较容易处理，可以通过修改函比较复杂，一般无法通过简单的方法消除间断需要用到更高级数在该点的值或者重新定义函数来消除间断的数学工具来研究这些间断点导数与微分引言导数的意义微分的意义12导数描述了函数在某一点的变微分是函数变化的线性近似，化率，是微积分的核心概念之是导数的另一种表达形式微一导数可以用来研究函数的分可以用来近似计算函数值的单调性、极值、凹凸性等性质变化，也可以用来简化复杂的，也可以用来解决实际问题中函数表达式微分在数值计算的最优化问题和工程应用中非常重要导数与微分的关系3导数和微分是密切相关的，它们描述了函数在某一点的局部性质导数是微分的系数，微分是导数的线性近似理解导数和微分的关系，可以帮助我们更好地掌握微积分的本质导数的定义导数的定义式左导数与右导数可导与连续的关系设函数y=fx在点x₀的某一邻域内有左导数limΔx→0⁻[fx₀+Δx-如果函数在某一点可导，那么函数在定义，如果极限limΔx→0fx₀]/Δx，表示从x₀的左侧趋近于该点一定连续但是，函数在某一点[fx₀+Δx-fx₀]/Δx存在，则称函数x₀时的导数右导数limΔx→0⁺连续，不一定可导例如，函数fx在点x₀处可导，并称该极限为函[fx₀+Δx-fx₀]/Δx，表示从x₀的右fx=|x|在x=0处连续，但不可导可导数fx在点x₀处的导数，记作fx₀或侧趋近于x₀时的导数函数可导的必是比连续更强的条件dy/dx|x=x₀要条件是左导数和右导数都存在且相等导数的几何意义切线的斜率变化率曲线的形状函数fx在点x₀处的导导数也可以看作是函数导数的正负可以用来判数fx₀表示函数在该fx在点x₀处的变化率断函数的单调性，二阶点处的切线的斜率也当Δx很小时，导数的正负可以用来判就是说，导数反映了函fx₀+Δx≈fx₀+fx断函数的凹凸性通过数在该点处的变化速度₀Δx，这说明函数值导数，我们可以了解曲，切线是函数在该点处的变化可以用导数乘以线的形状，从而更好地的最佳线性近似自变量的变化来近似表理解函数的性质示基本求导公式常数函数1C=0，常数的导数为0，因为常数不随自变量的变化而变化幂函数2x^n=nx^n-1，幂函数的导数等于指数乘以底数的指数减1次方指数函数3a^x=a^x lna，e^x=e^x，指数函数的导数等于自身乘以底数的自然对数特殊地，以e为底的指数函数的导数对数函数等于自身4logₐx=1/x lna，ln x=1/x，对数函数的导数等于1除以自变量乘以底数的自然对数特殊地，自然对数函数三角函数5的导数等于1除以自变量sin x=cos x，cos x=-sin x，tan x=sec²x，cotx=-csc²x，三角函数的导数有固定的规律，需要熟练掌握导数的四则运算加法[ux+vx]=ux+vx，和的导数等于导数的和减法[ux-vx]=ux-vx，差的导数等于导数的差乘法[uxvx]=uxvx+uxvx，积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数除法[ux/vx]=[uxvx-uxvx]/[vx]²vx≠0，商的导数等于分子的导数乘以分母，减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方注意分母不能为0复合函数的导数理解可以把链式法则看作是“层层剥开”的过程，从最外层函数开始，逐步求导，直2到最内层函数每求一层导数，都要乘链式法则以对应函数的导数这个法则在求解复如果y=fu，u=gx，那么dy/dx=1杂函数的导数时非常有效dy/du*du/dx这个法则告诉我们，复合函数的导数等于外层函数的导数乘应用以内层函数的导数链式法则广泛应用于各种函数的导数计算中，例如三角函数、指数函数、对数3函数等熟练掌握链式法则，可以轻松求解各种复合函数的导数反函数的导数公式如果函数y=fx存在反函数x=gy，且fx≠0，那么gy=1/fx反函数的导数等于1原函数导数的倒数几何意义2反函数的导数可以看作是原函数导数的斜率的倒数这是因为反函数的图像是原函数图像关于直线y=x对称的，对称变换会导致斜率的倒数应用反函数的导数公式可以用来求解某些函数的导数，例如反三角函3数的导数通过反函数的导数公式，可以避免直接求解复杂函数的导数，简化计算过程隐函数的导数定义1如果函数y=fx由一个方程Fx,y=0确定，那么称y=fx为隐函数隐函数是指不能显式地表示成y=fx形式的函数求导方法2对Fx,y=0两边同时对x求导，注意y是x的函数，需要使用链式法则然后解出dy/dx，即可得到隐函数的导数这种方法称为隐函数求导法例子例如，由方程x²+y²=1确定的函数y=fx就是一个隐函数3对该方程两边同时对x求导，可以得到2x+2ydy/dx=0，解出dy/dx=-x/y，即可得到隐函数的导数参数方程的导数如果函数x=φt，y=ψt都可导，且φt≠0，那么dy/dx=ψt/φt参数方程的导数等于y对t的导数除以x对t的导数这种方法称为参数方程求导法参数方程的导数可以用来求解曲线的切线方程和曲率等问题理解参数方程的几何意义，可以帮助我们更好地掌握参数方程求导法高阶导数二阶导数n阶导数莱布尼茨公式一阶导数的导数称为二阶导数，记作fx n-1阶导数的导数称为n阶导数，记作莱布尼茨公式用于计算两个函数乘积的n或d²y/dx²二阶导数可以用来判断函数的f^nx或d^ny/dx^nn阶导数可以用来研阶导数uv^n=Σk=0to nCn,k凹凸性，也可以用来求解函数的拐点二究函数的高阶性质，也可以用来展开函数u^n-k v^k，其中Cn,k是二项式系数阶导数在物理学中也有重要的应用，例如的泰勒级数n阶导数在数学分析和数值莱布尼茨公式可以简化复杂函数乘积的高加速度就是位移的二阶导数计算中都有重要的应用阶导数计算微分的定义定义与导数的关系设函数y=fx在点x₀的某一邻域内有定义，如果Δy=fx₀+Δx微分是函数变化的线性近似，导数是微分的系数微分dy=-fx₀可以表示成Δy=AΔx+oΔx，其中A与Δx无关，那么称fxΔx，可以看作是函数y=fx在点x处的切线方向上的增量函数fx在点x₀处可微，并称AΔx为函数fx在点x₀处的微分，微分反映了函数在某一点的局部线性性质，是微积分中一个非常记作dy=AΔx或dy=fx₀Δx重要的概念微分的几何意义切线的增量线性近似12微分dy表示函数y=fx在点x微分是函数在某一点的线性近处切线的增量当Δx很小时似在局部范围内，可以用一，函数的增量Δy可以用微分条直线来近似表示函数曲线dy来近似表示这种近似在工这条直线就是函数在该点处的程计算中非常有用切线，微分就是切线的增量误差估计3利用微分可以估计函数值的变化误差当自变量有微小变化时，可以用微分来估计函数值的变化范围这种方法在误差分析中非常重要微分的近似计算公式例子当Δx很小时，Δy≈dy，即例如，计算√

4.01的近似值设fx₀+Δx-fx₀≈fx₀Δx fx=√x，x₀=4，Δx=

0.01，利用这个公式，可以近似计算函则fx=1/2√x，f4=1/4根数值的变化据公式，√

4.01≈√4+1/4*

0.01=2+

0.0025=

2.0025这个近似值与真实值非常接近应用微分的近似计算广泛应用于工程、物理等领域在这些领域中，经常需要计算函数值的变化，但直接计算可能很困难，利用微分可以简化计算过程，得到近似结果中值定理与导数的应用引言罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理罗尔定理是中值定理的拉格朗日中值定理是罗柯西中值定理是拉格朗基础，它描述了函数在尔定理的推广，它描述日中值定理的推广，它闭区间上可导且端点值了函数在闭区间上可导描述了两个函数在闭区相等的情况下，导数在的情况下，导数在区间间上可导的情况下，它区间内至少存在一点为内至少存在一点等于函们的导数之比在区间内0的性质数在该区间上的平均变至少存在一点等于函数化率的性质在该区间上的平均变化率之比的性质罗尔定理条件1如果函数fx满足1在闭区间[a,b]上连续；2在开区间a,b内可导；3fa=fb，那么在a,b内至少存在一点ξ，使得fξ=0这三个条件缺一不可，任何一个条件不满足，罗尔定理就不成立几何意义2罗尔定理的几何意义是，如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且端点值相等，那么在函数图像上至少存在一点，该点处的切线平行于x轴也就是说，函数在某个区间内先上升后下降，或者先下降后上升，那么在最高点或最低点处，切线一定是水平的应用3罗尔定理可以用来证明方程根的存在性，也可以用来求解函数的极值罗尔定理是中值定理的基础，也是微积分中一个非常重要的定理理解罗尔定理的几何意义，可以帮助我们更好地掌握其本质拉格朗日中值定理条件如果函数fx满足1在闭区间[a,b]上连续；2在开区间a,b内可导，那么在a,b内至少存在一点ξ，使得fξ=[fb-fa]/b-a这两个条件缺一不可，任何一个条件不满足，拉格朗日中值定理就不成立几何意义拉格朗日中值定理的几何意义是，如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在函数图像上至少存在一点，该点处的切线平行于连接端点a,fa和b,fb的直线也就是说，函数在某个区间内的平均变化率等于函数在该区间内某一点的瞬时变化率应用拉格朗日中值定理可以用来估计函数值的变化范围，也可以用来证明不等式拉格朗日中值定理是微积分中一个非常重要的定理，它将函数的局部性质和整体性质联系起来柯西中值定理几何意义柯西中值定理可以看作是参数方程形式条件2的拉格朗日中值定理设x=gt，y=如果函数fx和gx满足1在闭区间ft，那么柯西中值定理描述了曲线在某个区间内的平均变化率之比等于曲线在[a,b]上连续；2在开区间a,b内可导1该区间内某一点的瞬时变化率之比；3gx≠0，那么在a,b内至少存在一点ξ，使得[fb-fa]/[gb-ga]=应用fξ/gξ这三个条件缺一不可，任何一个条件不满足，柯西中值定理就不柯西中值定理可以用来证明洛必达法则成立，也可以用来求解某些极限问题柯西3中值定理是微积分中一个非常重要的定理，它将两个函数的变化联系起来洛必达法则0/0型如果limx→x₀fx=0，limx→x₀gx=0，且limx→x₀[fx/gx]存在，那么limx→x₀[fx1/gx]=limx→x₀[fx/gx]∞/∞型2如果limx→x₀fx=∞，limx→x₀gx=∞，且limx→x₀[fx/gx]存在，那么limx→x₀[fx/gx]=limx→x₀[fx/gx]应用洛必达法则可以用来求解0/0型和∞/∞型不定式极限使用洛必达法则需3要注意验证条件，只有满足条件才能使用洛必达法则可以简化复杂极限的计算，提高解题效率洛必达法则的核心思想是将复杂函数的极限转化为简单函数的极限，通过求导简化计算需要注意的是，每次使用洛必达法则都需要验证是否满足条件，如果条件不满足，则不能使用洛必达法则可以重复使用，直到求出极限为止函数单调性的判断递增1如果fx0，那么函数fx在该区间内单调递增也就是说，函数值随着自变量的增大而增大递减2如果fx0，那么函数fx在该区间内单调递减也就是说，函数值随着自变量的增大而减小常数3如果fx=0，那么函数fx在该区间内为常数函数也就是说，函数值不随自变量的变化而变化通过判断导数的正负，可以确定函数的单调性单调性是函数的重要性质，可以用来描述函数的变化趋势利用导数判断单调性，可以避免直接观察函数图像的困难，提高分析效率函数极值的定义极大值极小值如果函数fx在点x₀的某一邻域内有定义，且对于该邻域内的任意x（x≠x₀），都有fxfx₀，那么称fx₀为函数fx的极大值如果对于该邻域内的任意x（x≠x₀），都有fxfx₀，那么称fx₀为函数fx的极小值极大值和极小值统称为极值极值是函数的局部最大值或最小值，不是全局最大值或最小值函数极值的求法第一种方法第二种方法求出导数fx，令fx=0，解出所有可能的极值点检查每个极值点附求出导数fx和二阶导数fx，令fx=0，解出所有可能的极值点计近的导数符号，如果导数由正变负，那么该点为极大值点；如果导数由算每个极值点处的二阶导数值，如果fx0，那么该点为极大值点；如负变正，那么该点为极小值点如果导数符号不变，那么该点不是极值果fx0，那么该点为极小值点如果fx=0，那么该方法失效，需点这种方法称为第一种方法要使用第一种方法这种方法称为第二种方法函数最大值与最小值步骤应用求出函数在定义域内的所有极值点求出函数在定义域端点的值最大值和最小值广泛应用于各种优化问题中，例如求解利润最大比较所有极值点和端点的值，其中最大的值为最大值，最小的化、成本最小化等问题求解最大值和最小值需要综合考虑函数值为最小值最大值和最小值是函数在整个定义域内的最大值和的极值和端点值，才能得到正确的结果最小值，而极值只是函数的局部最大值或最小值函数凹凸性的判断凹函数凸函数12如果fx0，那么函数fx在如果fx0，那么函数fx在该区间内为凹函数凹函数的该区间内为凸函数凸函数的图像在该区间内位于其切线的图像在该区间内位于其切线的上方凹函数的切线斜率随着下方凸函数的切线斜率随着自变量的增大而增大自变量的增大而减小直线3如果fx=0，那么函数fx在该区间内为直线直线的图像与切线重合直线的切线斜率不变函数拐点的求法定义求法如果函数fx在点x₀处连续，且求出二阶导数fx，令fx=0，在x₀的某一邻域内，函数fx的解出所有可能的拐点检查每个凹凸性发生改变，那么称x₀为点附近的二阶导数符号，如果二函数fx的拐点拐点是函数图阶导数符号发生改变，那么该点像上凹凸性发生改变的点为拐点如果二阶导数符号不变，那么该点不是拐点意义拐点是函数图像上凹凸性发生改变的点，可以用来描述函数的变化趋势拐点在函数图像的描绘中非常重要，可以帮助我们更准确地绘制函数图像函数图形的描绘求交点求单调性求极值求凹凸性求出函数与坐标轴的交点，包括与利用导数判断函数的单调性，确定求出函数的极值点，确定函数的极利用二阶导数判断函数的凹凸性，x轴的交点（即函数的零点）和与y函数在哪些区间内递增，在哪些区大值和极小值极值可以帮助我们确定函数在哪些区间内为凹函数，轴的交点（即函数的函数值）交间内递减单调性可以帮助我们了确定函数图像的峰值和谷值在哪些区间内为凸函数凹凸性可点可以帮助我们确定函数图像的位解函数的变化趋势以帮助我们了解函数图像的弯曲程置度求拐点求出函数的拐点，确定函数图像上凹凸性发生改变的点拐点可以帮助我们更准确地绘制函数图像不定积分引言积分的意义1积分是微积分的另一个核心概念，它是导数的逆运算积分可以用来求解面积、体积、弧长等几何量，也可以用来解决物理学中的运动问题和概率论中的概率分布问题不定积分2不定积分是求导的逆运算，它求解的是一个函数族，而不是一个具体的函数不定积分的结果是一个带有任意常数的函数，这个常数称为积分常数不定积分在求解微分方程和计算定积分时非常重要定积分3定积分是积分的另一种形式，它求解的是函数在某个区间上的面积定积分的结果是一个具体的数值，而不是一个函数定积分在求解几何量和物理量时非常重要不定积分的定义定义设Fx是fx的一个原函数，则称Fx+C为fx的不定积分，记作∫fxdx=Fx+C，其中C为任意常数不定积分是指所有导数为fx的函数原函数如果Fx=fx，那么称Fx为fx的一个原函数一个函数有无数个原函数，它们之间只差一个常数原函数是不定积分的基础，求解不定积分就是寻找原函数积分常数由于常数的导数为0，因此不定积分的结果中包含一个任意常数C，称为积分常数积分常数表示不定积分的不确定性，需要根据具体问题确定其值基本积分公式指数函数幂函数∫aˣdx=aˣ/lna+C，∫eˣdx=eˣ+C，∫xⁿdx=x^n+1/n+1+C n≠-1，1指数函数的积分等于自身除以底数的自幂函数的积分等于指数加1，再除以指2然对数，再加上积分常数特殊地，以e数加1，再加上积分常数为底的指数函数的积分等于自身其他三角函数4∫1/x dx=ln|x|+C，∫1/1+x²dx=∫sin x dx=-cos x+C，∫cos x dx=sin x3arctan x+C，∫1/√1-x²dx=arcsin x++C，∫tan x dx=-ln|cos x|+C，∫cot xC，这些基本积分公式需要熟练掌握，dx=ln|sin x|+C，三角函数的积分有固才能进行更复杂的积分计算定的规律，需要熟练掌握不定积分的性质线性性∫[afx+bgx]dx=a∫fx dx+b∫gx dx，积分的线性性是指积分可以分配到加法和数乘1运算中积分的导数2d/dx[∫fx dx]=fx，积分的导数等于原函数这个性质是不定积分的定义，也是微积分基本定理的一部分导数的积分3∫fx dx=fx+C，导数的积分等于原函数加上积分常数这个性质是不定积分的定义，也是微积分基本定理的一部分这些性质是不定积分计算的基础，可以用来简化复杂的积分计算需要注意的是，积分的线性性要求积分函数是可积的，才能进行分配积分的导数和导数的积分反映了积分和导数的互逆关系，是微积分的核心内容换元积分法第一类方法1如果∫fgxgx dx存在，那么令u=gx，du=gx dx，则∫fgxgx dx=∫fu du这种方法称为第一类换元积分法，也称为凑微分法思路将积分函数中的一部分看作一个整体，通过换元将其转化为更简单的函数，然后进行2积分这种方法需要一定的技巧，需要熟练掌握各种函数的导数公式，才能找到合适的换元方法例子例如，计算∫sinx²*2x dx令u=x²，du=2x dx，则∫sinx²*32xdx=∫sinu du=-cosu+C=-cosx²+C通过换元，将复杂的积分转化为简单的积分，从而简化计算过程换元积分法第二类如果∫fx dx存在，那么令x=gt，dx=gt dt，则∫fx dx=∫fgtgt dt这种方法称为第二类换元积分法第二类换元积分法适用于含有根式、三角函数等复杂函数的积分计算通过换元，可以将积分转化为更简单的形式，从而简化计算过程需要注意的是，换元后需要将积分变量还原为原来的变量，才能得到最终结果理解第二类换元积分法的思路，可以帮助我们更好地掌握积分计算技巧分部积分法公式选择u和dv例子∫u dv=uv-∫v du其中u和v都是x的函数选择合适的u和dv非常重要，选择的原则例如，计算∫x sin xdx令u=x，dv=sin分部积分法适用于求解两个函数乘积的是u容易求导，dv容易积分，且∫v du比∫u xdx，则du=dx，v=-cos x根据公式，积分，其中一个函数容易求导，另一个函dv更容易计算一般来说，可以选择幂函∫x sinxdx=-x cos x-∫-cosxdx=-x cos数容易积分数、对数函数、反三角函数等作为u，选x+sinx+C通过分部积分，将复杂的积择指数函数、三角函数等作为dv分转化为简单的积分，从而简化计算过程定积分引言定义应用定积分是积分的另一种形式，它求解的是函数在某个区间上的面定积分广泛应用于各种领域，例如求解面积、体积、弧长、物理积定积分的结果是一个具体的数值，而不是一个函数定积分学中的功、概率论中的概率分布等定积分是微积分中一个非常在求解几何量和物理量时非常重要重要的概念，也是解决实际问题的重要工具定积分的定义黎曼和定积分的定义式12将区间[a,b]分成n个小区间，∫ₐᵇfx dx=limn→∞Σi=1每个小区间的长度为Δx=b-to nfξᵢΔx定积分是黎曼a/n，在每个小区间内任取一和的极限，它表示函数fx在点ξᵢ，则fξᵢΔx称为黎曼和区间[a,b]上的面积定积分是黎曼和是定积分的近似值，当一个具体的数值，而不是一个n趋于无穷大时，黎曼和趋于函数定积分的值可积条件3如果函数fx在区间[a,b]上连续，或者只有有限个间断点，那么函数fx在区间[a,b]上可积可积是指函数存在定积分，可积条件是定积分计算的前提定积分的几何意义面积有向面积定积分∫ₐᵇfx dx表示函数fx在当函数fx在区间[a,b]上既有正区间[a,b]上与x轴围成的面积值又有负值时，定积分表示有向如果fx0，那么定积分表示正面积，即正面积减去负面积有面积；如果fx0，那么定积分向面积可以用来描述函数在某个表示负面积定积分可以用来求区间上的整体变化趋势解各种几何图形的面积例子例如，计算函数y=x²在区间[0,1]上与x轴围成的面积∫₀¹x²dx=[x³/3]₀¹=1/3这个面积表示函数y=x²在区间[0,1]上与x轴围成的图形的面积定积分的性质线性性可加性比较性对称性∫ₐᵇ[afx+bgx]dx=a∫ₐᵇfx∫ₐᶜfx dx+∫ᶜᵇfx dx=∫ₐᵇfx如果fx≤gx，那么∫ₐᵇfx dx如果fx是偶函数，那么∫₋ₐᵃdx+b∫ₐᵇgx dx定积分的线dx定积分的可加性是指定积≤∫ₐᵇgx dx定积分的比较性fx dx=2∫₀ᵃfx dx；如果性性是指定积分可以分配到加分可以分解成多个小区间的积是指如果一个函数小于等于另fx是奇函数，那么∫₋ₐᵃfx法和数乘运算中分之和一个函数，那么它们的定积分dx=0定积分的对称性可以也小于等于简化偶函数和奇函数的积分计算定积分的计算牛顿莱布尼茨公式-公式1∫ₐᵇfx dx=Fb-Fa，其中Fx是fx的一个原函数牛顿-莱布尼茨公式将定积分的计算转化为求原函数的问题，是计算定积分最常用的方法步骤2求出被积函数的原函数Fx计算原函数在积分上限和下限的值Fb和Fa将Fb和Fa相减，得到定积分的值需要注意的是，牛顿-莱布尼茨公式要求被积函数在积分区间上连续例子3例如，计算∫₀¹x²dx原函数为Fx=x³/3根据公式，∫₀¹x²dx=F1-F0=1/3-0=1/3通过牛顿-莱布尼茨公式，可以快速计算定积分的值定积分的换元积分法换元步骤例子令x=gt，dx=gt dt，并改变积分上下限选择合适的换元函数x=gt计算dx=gt dt例如，计算∫₀¹√1-x²dx令x=sin t，dx=如果x=a时，t=α；x=b时，t=β，那么∫ₐᵇ改变积分上下限计算积分∫αβfgtgt dtcos t dt，当x=0时，t=0；x=1时，t=π/2fx dx=∫αβfgtgt dt在进行换元时，需需要注意的是，换元函数需要满足一定的条那么∫₀¹√1-x²dx=∫₀^π/2√1-sin²t要同时改变积分上下限，才能保证积分结果的件，例如可导、单调等，才能保证换元的有效cos t dt=∫₀^π/2cos²tdt=π/4通过换元正确性性，将复杂的积分转化为简单的积分，从而简化计算过程定积分的分部积分法步骤选择合适的u和dv计算du和v根据公式，将定积分转化为[uv]ₐᵇ-∫ₐᵇv du计2算[uv]ₐᵇ和∫ₐᵇv du需要注意的是，选择公式合适的u和dv可以简化计算过程，提高解题效率∫ₐᵇu dv=[uv]ₐᵇ-∫ₐᵇv du其中u和v都1是x的函数定积分的分部积分法与不例子定积分的分部积分法类似，只是需要在计算结果中代入积分上下限例如，计算∫₀¹x eˣdx令u=x，dv=eˣdx，则du=dx，v=eˣ根据公式，3∫₀¹x eˣdx=[x eˣ]₀¹-∫₀¹eˣdx=e-e-1=1通过分部积分，将复杂的积分转化为简单的积分，从而简化计算过程定积分的应用面积的计算与x轴围成的面积如果函数fx在区间[a,b]上连续，那么函数fx在区间[a,b]上与x轴围成的面积为∫ₐᵇ|fx|dx需1要注意的是，如果fx在区间[a,b]上既有正值又有负值，那么需要将积分区间分成多个小区间，分别计算正面积和负面积，然后取绝对值相加两曲线围成的面积如果函数fx和gx在区间[a,b]上连续，那么函数fx和gx在区间[a,b]上围成的面2积为∫ₐᵇ|fx-gx|dx需要注意的是，如果fx和gx在区间[a,b]上有多个交点，那么需要将积分区间分成多个小区间，分别计算面积，然后相加参数方程围成的面积如果曲线由参数方程x=φt，y=ψt给出，那么曲线与x轴围成的面3积为∫αβψtφtdt需要注意的是，需要根据参数方程确定积分上下限，并保证φt0或φt0，才能保证计算结果的正确性定积分的应用体积的计算旋转体体积1如果函数fx在区间[a,b]上连续，那么将函数fx的图像绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积为π∫ₐᵇ[fx]²dx这种方法称为圆盘法一般体积2如果已知物体在垂直于x轴的截面积为Ax，那么物体的体积为∫ₐᵇAx dx这种方法称为截面法例子例如，计算半径为R的球体的体积设球心在坐标原点，那么球体的方程为x²+y²+z²=R²垂直于x轴的截面是一个圆，其半径为3√R²-x²，面积为πR²-x²根据截面法，球体的体积为∫₋RᴿπR²-x²dx=4/3πR³通过定积分，可以精确计算各种几何体的体积定积分的应用弧长的计算如果函数fx在区间[a,b]上连续可导，那么函数fx的图像在区间[a,b]上的弧长为∫ₐᵇ√1+[fx]²dx如果曲线由参数方程x=φt，y=ψt给出，那么曲线在区间[α,β]上的弧长为∫αβ√[φt]²+[ψt]²dt弧长计算需要用到定积分，可以精确计算各种曲线的长度理解弧长计算的公式，可以帮助我们更好地掌握定积分的应用多元函数微积分引言多元函数偏导数全微分多元函数是指自变量多于一个的函数，例偏导数是指多元函数对其中一个自变量求全微分是指多元函数所有自变量的微小变如z=fx,y多元函数在实际问题中非常导，而将其他自变量看作常数偏导数可化对函数值的影响之和全微分可以用来常见，例如温度、压力、速度等物理量都以用来研究多元函数在某个方向上的变化近似计算多元函数值的变化，也可以用来可以看作是多元函数率求解多元函数的极值多元函数的基本概念定义极限连续设D是ℝⁿ的一个子集，如果对于D中的每设fx,y是定义在点x₀,y₀的某个去心设fx,y是定义在点x₀,y₀的某个邻域一个点x₁,x₂,...,x，都有唯一的一邻域内的函数，如果存在常数A，对于任内的函数，如果limx,y→x₀,y₀fx,ₙ个实数fx₁,x₂,...,x与之对应，那么意给定的正数ε，总存在正数δ，当0y=fx₀,y₀，那么称函数fx,y在点ₙ称f为定义在D上的n元函数，记作z=√x-x₀²+y-y₀²δ时，都有|fx,y-x₀,y₀处连续多元函数的连续性比fx₁,x₂,...,x D称为函数的定义域A|ε成立，那么称当x,y趋于x₀,y₀一元函数的连续性更复杂，需要考虑多ₙ，fD={fx₁,x₂,...,x|x₁,x₂,...,时，函数fx,y的极限为A，记作limx,个方向的极限ₙx∈D}称为函数的值域y→x₀,y₀fx,y=Aₙ偏导数的定义1对x的偏导数2对y的偏导数设函数z=fx,y在点x₀,y₀设函数z=fx,y在点x₀,y₀的某一邻域内有定义，如果极的某一邻域内有定义，如果极限limΔx→0[fx₀+Δx,y₀-限limΔy→0[fx₀,y₀+Δy-fx₀,y₀]/Δx存在，那么称fx₀,y₀]/Δy存在，那么称该极限为函数fx,y在点x₀,该极限为函数fx,y在点x₀,y₀处对x的偏导数，记作y₀处对y的偏导数，记作∂f/∂x|x₀,y₀或fₓx₀,y₀∂f/∂y|x₀,y₀或fᵧx₀,y₀几何意义3偏导数∂f/∂x表示函数fx,y在点x₀,y₀处沿x轴方向的变化率，偏导数∂f/∂y表示函数fx,y在点x₀,y₀处沿y轴方向的变化率偏导数可以用来研究多元函数在不同方向上的变化趋势全微分的定义定义可微条件设函数z=fx,y在点x₀,y₀的某一如果函数fx,y在点x₀,y₀处存在邻域内有定义，如果Δz=fx₀+Δx,偏导数∂f/∂x和∂f/∂y，且它们在该点y₀+Δy-fx₀,y₀可以表示成Δz=处连续，那么函数fx,y在该点处可AΔx+BΔy+oρ，其中A和B与Δx和微可微是比存在偏导数更强的条件Δy无关，ρ=√Δx²+Δy²，那么，可微可以保证函数在某一点附近的称函数fx,y在点x₀,y₀处可微，线性近似的准确性并称AΔx+BΔy为函数fx,y在点x₀,y₀处的全微分，记作dz=AΔx+BΔy或dz=∂f/∂xΔx+∂f/∂yΔy全微分的意义全微分dz表示函数z=fx,y在点x,y处的线性近似当Δx和Δy很小时，函数的增量Δz可以用全微分dz来近似表示全微分在工程计算和误差分析中非常有用多元复合函数的求导法则链式法则隐函数求导高阶偏导数如果z=fu,v，u=如果Fx,y,z=0，那么多元函数可以求高阶偏φx,y，v=ψx,y，那∂z/∂x=-∂F/∂x/导数，例如∂²z/∂x²、么∂z/∂x=∂F/∂z，∂z/∂y=-∂²z/∂y²、∂²z/∂x∂y、∂z/∂u∂u/∂x+∂F/∂y/∂F/∂z这∂²z/∂y∂x等如果函数∂z/∂v∂v/∂x，∂z/∂y个法则可以用来求解隐的二阶偏导数连续，那=∂z/∂u∂u/∂y+函数的偏导数，其中z么∂²z/∂x∂y=∂²z/∂y∂x∂z/∂v∂v/∂y这个是x和y的函数需要注高阶偏导数可以用来法则告诉我们，多元复意的是，分母∂F/∂z不研究多元函数的更高级合函数的偏导数等于每能为0性质个中间变量的偏导数乘以该中间变量对自变量的偏导数之和。