一次函数图像与性质 课件

一次函数图像与性质欢迎来到关于一次函数图像与性质的精彩探索之旅！在这个课件中，我们将一起揭开一次函数的神秘面纱，从基本的定义和表达式入手，逐步深入到图像的绘制、性质的分析以及实际应用通过生动的案例和互动练习，你将掌握一次函数的核心概念，并能够灵活运用它们解决各种问题让我们开始吧！课程导入什么是函数？输入与输出关系规则函数就像一个神奇的盒函数是一种特殊的关系函数通过特定的运算来子，你给它一个输入，，它要求每一个输入都定义，例如加法、乘法它会按照一定的规则，只能对应一个输出如或更复杂的表达式运给你一个唯一的输出果一个输入对应多个输算规则定义了如何根据这个规则就是函数的定出，那就不是函数了输入计算输出了解这义，它描述了输入和输例如，一个人的身高对些规则是掌握函数的关出之间的关系应一个体重，这就是一键个函数关系温故知新复习函数的基本概念定义域值域对应关系函数的定义域是指所有可能的输入值的值域是指所有可能的输出值的集合它函数最重要的概念是对应关系，即每一集合只有在定义域内的值才能作为函是函数所有可能的输出结果的范围例个输入值在定义域内都必须有一个唯一数的输入，产生有意义的输出例如，如，的值域是所有非负实数，因为确定的输出值这种一一对应的关系保y=x²的定义域是除了以外的所有实数平方的结果不可能是负数证了函数的可预测性和规律性y=1/x0一次函数的定义形式线性12一次函数是指形如一次函数被称为线性函数，因y=kx+b的函数，其中和是常数，为它的图像是一条直线直线k b x是自变量，是因变量不意味着变化率是恒定的，即每y k能为，否则函数会变成常数增加一个单位的，的变化量0x y函数是固定的变量3一次函数中有两个变量，自变量和因变量的值取决于的值，通x y y x过一次函数的关系式可以计算出对应的值y一次函数的表达式y=kx+by因变量1表示函数的值，即输出它是随着的变化而变化的，因此被称为因变量在坐y x标系中，代表纵坐标yx自变量2表示函数的输入，它可以取定义域内的任何值它是独立的，不依赖于其他变x量，因此被称为自变量在坐标系中，代表横坐标xk斜率3是斜率，表示直线倾斜的程度它决定了函数值随变化的快慢越大，直线k y x k越陡峭；越小，直线越平缓kb截距4是截距，表示直线与轴的交点当时，，所以是直线在轴上的截距b y x=0y=b b y截距决定了直线在坐标系中的垂直位置和的意义斜率和截距k b斜率（）截距（）k b斜率描述了直线相对于轴的倾斜程度当为正数时，直线向截距是直线与轴的交点的纵坐标它表示当时，的值k x k b y x=0y上倾斜，函数是增函数；当为负数时，直线向下倾斜，函数是截距决定了直线在轴上的位置如果为正数，直线与轴交于k y b y减函数斜率的绝对值越大，直线越陡峭正半轴；如果为负数，直线与轴交于负半轴；如果为，直b yb0线经过原点图像的初步认识画点法选择点描点连线选择几个合适的值，通常选择容易计算将计算得到的坐标在坐标系中描绘用直线将描绘的点连接起来由于一次x x,y的整数值例如，可以选择出来每个坐标对应一个点确保描绘函数的图像是直线，所以只需要两个点x=0,1,-1等将这些值代入一次函数表达式的点准确无误，这样才能保证绘制的图就可以确定一条直线确保直线经过所x y=，计算出对应的值像正确有描绘的点，并向两端延伸kx+b y描点连线绘制一次函数的图像计算坐标选取至少两个不同的值，通过函数表达式计算出对应的值，得到点的坐标x y x,y绘制坐标系在坐标纸上绘制直角坐标系，标出轴和轴，以及刻度确保坐标系的绘制准确，以便x y后续描点描点根据计算出的坐标，在坐标系中找到对应的点，并用小圆圈或点标出x,y连线用直线连接描出的点由于一次函数的图像是直线，所以只需要两个点就可以确定一条直线用直尺辅助，确保连接的直线平直且经过所有点观察图像初步感受斜率和截距对图像的影响正斜率负斜率正截距负截距当斜率为正数时，直线从左当斜率为负数时，直线从左当截距为正数时，直线与轴当截距为负数时，直线与轴k k b yb y到右上升，函数值随着的增到右下降，函数值随着的增交于正半轴，即在轴上方交于负半轴，即在轴下方x x y y大而增大斜率越大，直线上大而减小斜率的绝对值越大截距越大，直线与轴的交点截距的绝对值越大，直线与y y升的速度越快，直线下降的速度越快越高轴的交点越低斜率的影响k增减性1时，随增大而增大；时，随增大而减小k0y x k0y x倾斜程度2越大，直线越陡峭|k|方向3，图像向右上；，图像向右下k0k0图像上升，函数值随增大k0x而增大12正斜率增函数当斜率为正数时，直线向上倾斜这意味着因为函数值随着的增大而增大，所以当k x k0随着值的增加，值也随之增加函数图像时，一次函数是一个增函数增函数在数学x y从左到右呈现上升趋势和实际应用中都非常常见3应用例如，随着工作年限的增加，工资也会增加，这可以用一个的一次函数来模拟类k0似的应用还有很多，比如气温随海拔升高而升高图像下降，函数值随增大而减小k0x减函数负斜率因为函数值随着的增大而x减小，所以当，图像在当斜率为负数时，直线向k0k轴正半轴，反之在轴负下倾斜这意味着随着值y yx半轴的增加，值反而减小函y数图像从左到右呈现下降趋势，与的情况相反k0213图像与轴交于正半轴b0y正截距起始值12当截距为正数时，直线与在实际问题中，正截距通常b yb轴的交点位于轴的正半轴，代表一个起始值或初始状态y即轴上方这意味着当例如，一个水池初始有升水y x=0b时，的值是正数，然后以每分钟升的速度注y k水应用3正截距在经济学、物理学等领域都有广泛应用例如，在成本函数中，可能代表固定成本，即不随产量变化而变化的成本b图像与轴交于负半轴b0y负截距负起始值当截距为负数时，直线与轴的在实际问题中，负截距可能代b yb交点位于轴的负半轴，即轴下表一个负的起始值或初始状态y y方这意味着当时，的值例如，一个账户初始欠款元，x=0yb是负数然后每月还款元k应用负截距在金融、工程等领域也有应用例如，在温度变化中，可能代表b一个低于零度的初始温度，然后随着时间推移逐渐升高图像经过原点b=0没有截距1当截距等于时，一次函数的表达式简化为这意味b0y=kx着直线直接穿过坐标系的原点，没有在轴上的截距0,0y正比例关系2当时，与成正比例关系的值完全由的值和斜率决b=0y x y xk定每增加一个单位，就增加个单位x y k应用3正比例函数在各个领域都有广泛应用例如，路程与时间成正比，即，其中是速度，是路程，是时间当不变s=vt v s tv时，和成正比例关系s t特殊的一次函数正比例函数形式简单1y=kx必过原点2图像是一条经过原点的直线决定方向k3，图像向右上；，图像向右下k0k0正比例函数的表达式y=kx因变量自变量比例系数y xk代表函数的值，即输代表函数的输入，它是比例系数，表示与y xk y出它是随着的变化可以取定义域内的任何的比值它决定了函x x而变化的，因此被称为值它是独立的，不依数值随变化的快慢y x因变量的值直接取赖于其他变量，因此被越大，随变化的幅yk y x决于的值，通过斜率称为自变量是影响度越大；越小，随xk x ykyx联系在一起值的唯一因素变化的幅度越小正比例函数的图像一条经过原点的直线原点直线倾斜方向正比例函数的图像必定经过坐标系的原正比例函数的图像是一条直线只需要直线的倾斜方向取决于比例系数当k k点这是因为当时，确定一个点（除了原点），就可以画出为正数时，直线向上倾斜；当为负数时0,0x=0k，所以直线必须经过原点整条直线通常选择，计算出，，直线向下倾斜的绝对值越大，直线y=k*0=0x=1y=k k然后连接原点和越陡峭1,k图像的平移图像平移是指在坐标系中将直线沿着某个方向移动一定的距离平移不会改变直线的斜率，只会改变直线的位置平移分为向上平移、向下平移、向左平移和向右平移向上平移y=kx+b+c原始函数平移后函数效果原始函数是它的图像是一条向上平移个单位后的函数是向上平移的效果是所有点的坐标都增加y=kx+b c y=kx+b y直线，斜率为，截距为这条直线是平它的图像也是一条直线，斜率仍然了直线的位置发生了改变，但直线的倾k b+c c移的基础是，但截距变成了整条直线向上斜程度没有改变平移后的直线与原始直k b+c移动了个单位线平行c向下平移y=kx+b-c原始函数平移后函数12原始函数是它的向下平移个单位后的函数是y=kx+b cy图像是一条直线，斜率为，它的图像也k=kx+b-c截距为这是向下平移的基是一条直线，斜率仍然是，b k础但截距变成了整条直b-c线向下移动了个单位c效果3向下平移的效果是所有点的坐标都减少了直线的位置发生了改变y c，但直线的倾斜程度没有改变平移后的直线与原始直线平行左右平移的讨论（较为复杂，可选）向左平移向右平移向左平移个单位，函数表达式变为注意这里向右平移个单位，函数表达式变为这里的变cy=kx+c+b cy=kx-c+b的变化是变成了化是变成了x x+c x x-c图像变化注意左右平移会改变直线与轴的交点，但不会改变斜率图像整体沿左右平移比上下平移稍微复杂，需要注意表达式中的变化，而不x x着轴移动是直接加减常数x例题讲解已知函数，求图像题目1已知一次函数，请绘制其图像y=2x+3解题步骤2选取两个值，例如和；计算对应的值当

1.x x=0x=

12.y时，；当时，；得到x=0y=2*0+3=3x=1y=2*1+3=

53.两个坐标点和；在坐标系中描绘这两个点，0,31,

54.并用直线连接图像3绘制出的直线就是一次函数的图像这条直线经y=2x+3过和，斜率为，截距为0,31,523练习绘制不同的一次函数图像y=x+11斜率，截距11y=-x+22斜率，截距-12y=3x-13斜率，截距3-1自己动手绘制这些函数图像，体会斜率和截距对图像的影响可以通过选择不同的值，计算值，然后描点连线来完成注意观察正x y斜率和负斜率的区别，以及截距对直线位置的影响课堂互动学生上台展示，教师点评展示点评讨论学生将自己绘制的一次教师对学生的展示进行全班同学可以对展示的函数图像展示给全班同点评，指出优点和不足图像进行讨论，提出问学，并讲解绘制过程和，并给出改进建议教题和看法，共同学习和图像特点通过展示，师的点评可以帮助学生进步讨论可以促进学学生可以分享自己的理更好地理解一次函数的生之间的互动和交流解和经验概念和性质利用图像解方程方程的本质图像的意义解方程方程的本质是寻找使等式成立的变量值一次函数的图像反映了变量之间的关系利用图像解方程，就是找到图像上满足例如，方程的本质是寻找通过观察图像，我们可以找到满足特方程条件的点的坐标例如，在2x+3=5y=2x使等式成立的值定条件的变量值例如，我们可以找到的图像上找到的点，对应的值x y+3y=5x中时对应的值就是方程的解=2x+3y=5x2x+3=5一次函数与一元一次方程的关系2函数（）y=ax+b a≠0方程1（）ax+b=0a≠0关系方程的解是函数图像与轴的交点x3图解法通过图像找到方程的解绘制图像找交点验证将方程转化为一次函数，绘制函数图像找到函数图像与轴的交点交点的横坐标将找到的解代入原方程，验证是否满足方x例如，解方程，可以绘制函数就是方程的解例如，的图像程例如，将代入2x+3=0y=2x+3x=-

1.52x+3=0的图像与轴的交点是，所以方程，得到，验证通过y=2x+3x-

1.5,02x+2*-

1.5+3=0的解是3=0x=-

1.5利用图像解不等式1理解不等式不等式是指用不等号（、的图像中，的部分对应的的取值范围就是不0y0x等式的解集2x+30图解法通过图像找到不等式的解集确定范围根据不等号的方向，确定满足不等式的2图像部分例如，解不等式2x+30，需要找到的图像部分，即轴上方y0x绘制图像的部分1将不等式转化为一次函数，绘制函数图像例如，解不等式，可2x+30确定解集以绘制函数的图像y=2x+3找到满足不等式的图像部分对应的的取x值范围，这就是不等式的解集例如，3的图像在时，y=2x+3x-

1.5y0所以不等式的解集是2x+30x-

1.5两个一次函数的交点图像1两条直线相交函数值2交点处两个函数值相等坐标3交点坐标是方程组的解交点坐标的意义两个函数值相等函数值相等1在交点处，两个一次函数的值相等这意味着两个函数在同一个值处有相同的输出yx方程组的解2交点的和坐标是两个一次函数组成的方程组的解这个解同时满足两个函数的表x y达式应用3交点坐标在实际问题中代表一个平衡点或临界点例如，在成本分析中，交点可能代表盈亏平衡点解方程组求交点坐标方程组方法交点两个一次函数表达式组可以通过代入法、加减方程组的解就是两个一成一个方程组例如，法或图像法求解方程组次函数图像的交点坐标和代入法是将一个表达例如，y=2x+3y=-x y=2x+3组成一个方程组式代入另一个表达式；和的交点是+6y=-x+6加减法是通过加减消去，所以方程组的1,5一个变量；图像法是找解是x=1,y=5到两个函数图像的交点实际应用线性模型描述关系预测未来解决问题用一次函数描述实际问题中两个变量之通过已知的数据，建立一次函数模型，利用一次函数模型，可以解决实际问题间的线性关系例如，用表示温度，可以预测未来的趋势例如，通过过去例如，计算水费、路程、成本等一yx表示时间，可以用一次函数描述温度随几年的销售数据，可以预测未来的销售次函数模型可以帮助我们更好地理解和时间的变化额解决实际问题例如水费计算，路程与时间的关系水费通常由基本水费和超额水费两部分组成，可以用一次函数来描述其中，基本水费是截距，超额水费的单价是斜率，用水量是自变量，总水费是因变量路程与时间的b kx y关系可以用正比例函数来描述，当速度不变时，路程与时间成正比例关系vst案例分析结合实际问题，运用一次函数解决计算路程计算水费成本分析小明以每小时公里的速度行驶，行驶了某市水费收取标准是基本水费每月元某公司生产一件产品的固定成本是60101000小时，求行驶的总路程可以用一次函，超额用水每立方米元小李家本月用元，每生产一件产品需要额外成本元3250数来描述，其中是路程，是时水量是立方米，求应缴水费可以用一如果该公司生产件产品，求总成本s=60t st15100间将代入，得到次函数来描述，其中是用可以用一次函数来描述t=3s=60*3=180y=2x+10x y=50x+1000公里水量，是水费将代入，得到，其中是产品数量，是总成本将yx=15y=x y元代入，得到2*15+10=40x=100y=50*100+元1000=6000性质的总结表达式1（）y=kx+b k≠0图像2一条直线斜率3决定直线的倾斜程度和方向k截距4决定直线与轴的交点b y单调性增函数和减函数增函数当时，一次函数是增函数这意味着随着的增大，也k0x y增大图像从左到右上升减函数当时，一次函数是减函数这意味着随着的增大，反k0x y而减小图像从左到右下降截距的意义与坐标轴的交点轴截距y1当时，，所以是直线与轴的交点轴截距决定了直线在轴上的位置x=0y=b b y yy轴截距x2当时，，所以是直线与轴的交点轴截距可以通过解方程y=0x=-b/k-b/kx x kx+b得到=0应用3截距在实际问题中代表初始值或临界值例如，轴截距可能y代表一个初始状态，轴截距可能代表一个平衡点x图像的快速绘制技巧两点确定一条直线利用斜率和截距12只需要确定两个点，就可以画先确定轴截距，然后y0,b出一条直线通常选择根据斜率，从出发，0,b k0,b和这两个点，即向右移动个单位，向上或向-b/k,0y1轴截距和轴截距下移动个单位，得到另一个xk点，连接这两个点即可简化计算3选择容易计算的点例如，当和都是整数时，选择或，可k bx=1x=-1以简化计算两点确定一条直线找两个特殊点轴截距y当时，，所以是直线与轴的交点这个点很容易找到，而且通常是已知x=0y=b0,b yb的轴截距x当时，，所以是直线与轴的交点这个点可以通过解方程y=0x=-b/k-b/k,0x kx+b得到=0方便计算选择容易计算的值例如，如果和都是整数，可以选择或，这样可以简化xkbx=1x=-1计算，得到整数的值y避免重合选择的两个点不能重合如果选择的两个点重合，就无法确定一条直线例如，如果，则直线是水平的，无法找到轴截距k=0x利用斜率和截距快速定位图像利用斜率确定截距根据斜率，从出发，向右移动个单位，然后向k0,b1上或向下移动个单位如果，向上移动；如果|k|k0k0首先在轴上找到截距，这个点是直线与轴的交点，也是绘制直线的起点y0,b y时，容易混淆图像是上升还是下降要记住，时图k0像上升，时图像下降k012截距4误以为截距是直线与轴的交点要记住，截距是直线与x3y轴的交点x轴截距需要通过解方程kx+b=0得到斜率的正负容易混淆增减性k0k0k=0当斜率为正数时，函数是增函数，图像当斜率为负数时，函数是减函数，图像当斜率为时，函数是常数函数，图像是k kk0从左到右上升容易误以为图像下降从左到右下降容易误以为图像上升水平直线容易误以为没有增减性截距的符号与坐标轴的交点位置1b02b0当截距为正数时，直线与当截距为负数时，直线与b yby轴交于正半轴（轴上方）轴交于负半轴（轴下方）yy容易误以为交于轴正半轴容易误以为交于轴负半轴xx3b=0当截距为时，直线经过原点容易误以为直线没有截距b0变式练习提高解题能力改变条件改变已知条件，例如改变斜率或截距，让学生重新求解这可以帮助学生更好地理解一次函数的关系改变问题改变问题类型，例如求方程的解变为求不等式的解，或者求两个函数的交点这可以帮助学生掌握不同的解题技巧综合应用将一次函数与其他知识点结合，例如几何、概率等，让学生综合应用所学知识这可以提高学生的综合解题能力实际问题将一次函数应用于实际问题，例如水费计算、路程问题等，让学生体会一次函数的实际价值综合题型将一次函数与其他知识点结合几何1一次函数与几何图形结合，例如直线与三角形、四边形的交点问题，求面积、周长等概率2一次函数与概率结合，例如用一次函数描述事件发生的概率，求概率的期望值等方程3一次函数与方程结合，例如解方程组，求方程的根等一次函数是解决代数问题的有力工具课堂小结知识回顾与梳理定义1（）y=kx+b k≠0图像2一条直线性质3斜率、截距、增减性一次函数是数学中的重要概念，它具有简单的表达式、直观的图像和丰富的性质通过学习一次函数，我们可以更好地理解变量之间的关系，解决实际问题，并为后续学习更高级的数学知识打下坚实的基础在本次课件中，我们系统地学习了一次函数的定义、表达式、图像、性质和应用希望同学们能够认真复习，掌握一次函数的精髓作业布置巩固练习绘制图像解方程实际问题绘制不同一次函数的图利用图像解方程和不等将一次函数应用于实际像，体会斜率和截距对式，例如解方程问题，例如水费计算、2x+图像的影响例如，绘、解不等式路程问题等用一次函5=0-x+制、等通过图像找数模型解决实际问题，y=3x+2y=-

30、等到方程的解和不等式的并体会其应用价值2x+1y=x-3函数的图像解集拓展延伸分段函数定义分段函数是指在不同的区间内用不同的函数表达式表示的函数例如，当时，；当的图像绘制与应用这可以帮助学生更x0y=xx0好地理解函数的概念和应用绝对值函数的性质分析非负性对称性12绝对值函数的值始终大于等于绝对值函数通常具有对称性这意味着图像位于轴上例如，关于轴对称，0xy=|x|y方或与轴重合关于对称xy=|x-a|x=a分段性3绝对值函数可以看作是分段函数，根据绝对值内的表达式的正负，分为两个或多个区间进行分析常见题型归纳求解析式求交点根据已知条件，求一次函数的表达式这需要掌握斜率和截距的意求两个一次函数图像的交点坐标这需要掌握解方程组的方法，例义，并能够灵活运用如代入法、加减法等解不等式实际应用利用一次函数图像解不等式这需要掌握增减性的判断，并能够根将一次函数应用于实际问题，例如水费计算、路程问题等这需要据图像找到解集掌握建模的思想，并能够将实际问题转化为数学问题求解析式已知两点求斜率如果已知直线上的两个点₁₁和x,y1首先，计算斜率₂₁k=y-y/₂₂，可以通过以下步骤求出直x,y2₂₁斜率描述了直线的倾斜程x-x线表达式度和方向结果求截距4最后，将和代入，得到一然后，选择其中一个点代入kby=kx+by=kx+b3次函数的表达式这个表达式可以描述，求出截距截距表示直线与轴的交by直线上的所有点点。