严谨的数学分析复习课件

严谨的数学分析复习欢迎参加本次严谨的数学分析复习课程！数学分析是现代数学的基础，对于理解和应用数学至关重要本次复习将系统回顾数学分析的核心概念、定理和方法，并通过精选例题加深理解和应用能力希望通过本次复习，大家能够更加自信地应对数学分析相关的学习和工作挑战数学分析的重要性回顾理论基础应用广泛数学分析是高等数学的基础，为后续学习实分析、复分析、泛函数学分析广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域例如，在分析等课程奠定坚实的基础它不仅提供了一套严谨的数学语言物理学中，微分方程用于描述物理现象；在工程学中，优化理论和推理方法，还培养了抽象思维和逻辑推理能力用于设计最优方案；在经济学中，微积分用于分析市场行为课程目标与内容概览目标内容12本次课程旨在帮助大家系统回课程内容包括极限理论、连续顾数学分析的核心概念和定理性、导数与微分、中值定理、，掌握常用的解题方法和技巧泰勒公式、洛必达法则、函数，提高数学分析的应用能力单调性与极值、不定积分、定积分、反常积分、多元函数微积分等重点3课程将重点讲解极限的计算、导数的应用、积分的计算以及多元函数微积分的基本概念和方法极限理论序列极限定义与性质序列极限定义对于数列，如果存在常数，使得对于任意给定的正数，总存在正{an}aε整数，当时，有，则称数列收敛于，记作N nN|an-a|ε{an}alimn→∞an=a序列极限性质唯一性如果序列存在极限，则极限唯一•有界性收敛数列必有界•保号性如果，则存在，当时，•limn→∞an=a0N nNan0序列极限例题解析例题一求limn→∞1+1/n^n解利用重要极限，可得limx→∞1+1/x^x=e limn→∞1+1/n^n=e例题二求limn→∞n/n+1^n解原式可化为limn→∞1+1/n^-n=limn→∞1+1/n^n^-1=e^-1=1/e函数极限定义与性质函数极限定义函数极限性质设函数fx在点x0的某去心邻域内有定义如果存在常数A，使•唯一性如果函数存在极限，则极限唯一得对于任意给定的正数，总存在正数，当时，有εδ0|x-x0|δ局部有界性如果函数在某点存在极限，则在该点附近有界•，则称函数当趋于时极限为，记作|fx-A|εfx xx0Alimx→x0fx=A保号性如果，则存在，当•limx→x0fx=A0δ0|x-时，x0|δfx0函数极限例题解析例题一求limx→0sinx/x解利用重要极限，可得limx→0sinx/x=1limx→0sinx/x=1例题二求limx→∞1+1/x^x解利用重要极限，可得limx→∞1+1/x^x=e limx→∞1+1/x^x=e极限的四则运算加法法则1如果，，则lim fx=A lim gx=B lim[fx+gx]=A+B减法法则2如果，，则lim fx=A lim gx=B lim[fx-gx]=A-B乘法法则3如果，，则lim fx=A lim gx=B lim[fx*gx]=A*B除法法则4如果lim fx=A，limgx=B，且B≠0，则lim[fx/gx]=A/B两个重要极限重要极限一1这个极限在三角函数的极限计算中非常常limx→0sinx/x=1用重要极限二2这个极限在指数函数的极限计算中非常常limx→∞1+1/x^x=e用无穷小量与无穷大量无穷小量如果，则称为当趋于某值时的无穷小量无穷小量不lim fx=0fx x是一个数，而是一个函数无穷大量如果对于任意给定的正数，总存在，当时，有Mδ0|x-x0|δ|fx|M，则称为当趋于时的无穷大量fx xx0极限存在的判定准则夹逼准则1如果，且，则gx≤fx≤hx limgx=lim hx=A limfx=A单调有界准则2单调有界数列必有极限即，如果数列单调递增（或递减）且有上界（或下界），则该数列必收敛连续性函数连续的定义函数连续的定义连续的条件设函数在点的某邻域内有定义如果有定义；fx x0limx→x0fx=•fx0，则称函数在点处连续fx0fx x0存在；•limx→x0fx•limx→x0fx=fx0间断点的类型第一类间断点可去间断点左右极限存在且相等，但不等于函数在该点的值•跳跃间断点左右极限存在但不相等•第二类间断点至少有一个单侧极限不存在连续函数的性质局部有界性局部有界性1如果函数在点处连续，则在的某邻域内有界fx x0fx x0证明思路2利用连续性的定义，对于任意给定的，存在，当时ε0δ0|x-x0|δ，有，从而可以推出在的某邻域内有界|fx-fx0|εfx x0最值定理与介值定理最值定理介值定理如果函数在闭区间上连续如果函数在闭区间上连续fx[a,b]fx[a,b]，则在上必能取得最大值，且，则对于介于与fx[a,b]fa≠fb fa和最小值fb之间的任何数c，至少存在一点∈，使得ξa,b fξ=c一致连续性的概念一致连续定义与连续的区别设函数fx在区间I上有定义如果对于任意给定的正数ε，总存连续性是针对某一点而言的，而一致连续性是针对整个区间而言在正数δ，使得对于I上任意两点x1和x2，当|x1-x2|δ时，有的一致连续性比连续性更强，则称函数在区间上一致连续|fx1-fx2|εfx I导数与微分导数的定义与几何意义导数的定义设函数在点的某邻域内有定义如果极限fx x0limΔx→0存在，则称函数在点处可导，该极限值为[fx0+Δx-fx0]/Δx fx x0在点处的导数，记作fx x0fx0导数的几何意义导数表示函数在点处的切线斜率fx0fx x0可导性与连续性的关系可导必连续1如果函数在点处可导，则在点处连续fx x0fx x0连续不一定可导2如果函数在点处连续，则在点处不一定可导例如，fx x0fx x0在处连续但不可导fx=|x|x=0导数的四则运算加法法则1[fx+gx]=fx+gx减法法则2[fx-gx]=fx-gx乘法法则3[fx*gx]=fx*gx+fx*gx除法法则4[fx/gx]=[fx*gx-fx*gx]/[gx]^2gx≠0反函数求导法则反函数求导如果函数存在反函数，且，则y=fx x=gy fx≠0gy=1/1fx复合函数求导法则复合函数求导如果，，则y=fu u=gx dy/dx=dy/du*du/dx=fu*1gx高阶导数高阶导数定义高阶导数的表示如果函数的导数仍然可导，则称的导数为的二阶导数可以表示为或fx fx fx fxn f^nx d^n y/dx^n阶导数，记作类似地，可以定义三阶导数、四阶导数等fx微分的定义与几何意义微分的定义设函数在点处可导，如果可以表示为y=fx xΔy=fx+Δx-fxΔy，其中与无关，则称为函数在点处的Δy=AΔx+oΔx AΔx AΔx y=fx x微分，记作dy=AΔx=fxdx微分的几何意义微分表示函数在点处的切线的增量dy fx x微分的计算基本函数微分四则运算微分复合函数微分根据导数公式，可以得到基本函数的微分du+v=du+dv，du-v=du-dv dy=fu du，其中u=gx，公式，例如，，，dsinx=cosx dxduv=vdu+udv du/v=vdu du=gxdx，dcosx=-sinx dx dx^n=-udv/v^2等nx^n-1dx中值定理费马引理费马引理1如果函数在点处可导，且是的极值点，则fx x0x0fx fx0=0几何意义2在极值点处，函数的切线水平罗尔定理罗尔定理几何意义如果函数fx满足1在闭区间[a,b]上连续；2在开区间在满足条件的区间内，至少存在一点，函数的切线水平内可导；，则至少存在一点∈，使得a,b3fa=fbξa,bfξ=0拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理几何意义如果函数fx满足1在闭区间[a,b]上连续；2在开区间在满足条件的区间内，至少存在一点，函数的切线斜率等于该区a,b内可导，则至少存在一点ξ∈a,b，使得fξ=[fb-间端点连线的斜率fa]/b-a柯西中值定理柯西中值定理1如果函数和满足在闭区间上连续；在fx gx1[a,b]2开区间内可导；，则至少存在一点∈a,b3gx≠0ξa,b，使得[fb-fa]/[gb-ga]=fξ/gξ罗尔定理2拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当时gx=x，柯西中值定理退化为拉格朗日中值定理泰勒公式泰勒公式的定义泰勒公式定义如果函数在点处具有阶导数，则可以将表示为fx x0n fx fx=fx0+fx0x-x0+fx0x-x0^2/2!+...+f^nx0x-x0^n/n!，其中为余项+Rnx Rnx泰勒公式的余项拉格朗日余项佩亚诺余项，其中介于与Rnx=f^n+1ξx-x0^n+1/n+1!ξx0x Rnx=ox-x0^n之间泰勒公式的应用函数近似计算近似计算利用泰勒公式，可以将复杂函数近似表示为多项式函数，从而简化计算例如，可以利用泰勒公式近似计算、sinx cosx、等函数的值e^x误差估计利用泰勒公式的余项，可以估计近似计算的误差范围洛必达法则洛必达法则的适用条件洛必达法则如果，，或者，，且lim fx=0limgx=0lim fx=∞limgx=∞存在，则lim fx/gx lim fx/gx=limfx/gx适用条件洛必达法则适用于型和型不定式极限的计算0/0∞/∞洛必达法则的应用例题一求limx→0sinx/x解limx→0sinx/x=limx→0cosx/1=1例题二求limx→∞x/e^x解limx→∞x/e^x=limx→∞1/e^x=0函数单调性的判定判定方法应用如果fx0，则fx单调递增；如果fx0，则fx单调递利用函数单调性，可以判断函数在某个区间内的变化趋势减；如果，则为常数fx=0fx函数极值的判定一阶导数判定法极值点1如果是的极值点，则或不存在x0fx fx0=0fx0判定方法2如果在的两侧符号相反，则是的极值点如果fx x0x0fx在的两侧符号相同，则不是的极值点fx x0x0fx二阶导数判定法判定方法适用条件如果fx0=0，且fx00，则x0是fx的极小值点；如果二阶导数判定法适用于二阶导数存在的函数，且，则是的极大值点fx0=0fx00x0fx函数最大值与最小值问题求解步骤求出函数在区间内的所有极值点；•求出函数在区间端点的值；•比较所有极值点和端点的值，最大的为最大值，最小的为最小值•函数的凹凸性与拐点凹凸性拐点如果，则为凹函数；如果，则为凸如果，且在的两侧符号相反，则是的fx0fx fx0fxfx0=0fxx0x0fx函数拐点函数作图函数作图步骤步骤一求出函数的定义域步骤二求出函数的单调区间和极值点步骤三求出函数的凹凸区间和拐点步骤四求出函数的渐近线步骤五绘制函数图像不定积分不定积分的定义不定积分定义如果，则称为的不定积分，记作Fx=fx Fxfx∫fxdx=Fx+C，其中为任意常数C基本积分公式∫x^n dx=x^n+1/n+1+C n≠-112∫1/x dx=ln|x|+C∫e^xdx=e^x+C34∫sinx dx=-cosx+C∫cosx dx=sinx+C5换元积分法第一类换元法第二类换元法，其中，其中∫fgxgxdx=∫fudu u=gx∫fxdx=∫fgtgtdt x=gt分部积分法分部积分1∫udv=uv-∫vdu定积分定积分的定义与几何意义定积分定义设函数在区间上有界将分成个小区间，在fx[a,b][a,b]n[xi-1,xi]每个小区间内任取一点，作和，如果当，且ξiΣfξiΔxi n→∞时，该和的极限存在，则称在上可积，该极限max{Δxi}→0fx[a,b]值为在上的定积分，记作到fx[a,b]∫a b fxdx几何意义定积分到表示函数在区间上与轴围成的面积（∫a b fxdx fx[a,b]x在轴下方的面积取负值）x可积条件可积条件函数在区间上连续；•fx[a,b]函数在区间上有界，且只有有限个间断点•fx[a,b]定积分的性质线性性质1∫a到b[fx+gx]dx=∫a到b fxdx+∫a到bgxdx常数性质2∫a到b kfxdx=k∫a到bfxdx区间可加性3∫a到c fxdx=∫a到bfxdx+∫b到cfxdx定积分中值定理中值定理如果函数在区间上连续，则至少存在一点∈fx[a,b]ξa,b1，使得到∫a bfxdx=fξb-a牛顿莱布尼茨公式-公式1如果，则到Fx=fx∫a bfxdx=Fb-Fa定积分的计算步骤一求出被积函数的不定积分Fx步骤二计算Fb-Fa反常积分无穷限积分定义到到如果极限存在，则称反常积分收敛；如果极限不存在，则称反常积分发散∫a∞fxdx=limb→∞∫a bfxdx瑕积分定义如果函数在点处无定义或无界，则称为的瑕点到到fxx0x0fx∫a bfxdx=limε→0∫a x0-εfxdx+limε→0∫x0+ε到如果极限存在，则称瑕积分收敛；如果极限不存在，则称瑕积分发散bfxdx反常积分的判别法比较判别法1如果，且到收敛，则到0≤fx≤gx∫a∞gxdx∫a∞收敛；如果，且到发散fxdx fx≥gx≥0∫a∞gxdx，则到发散∫a∞fxdx柯西判别法2对于任意给定的，存在，当时，有到ε0A0baA|∫a b，则到收敛fxdx|ε∫a∞fxdx多元函数微积分多元函数极限与连续多元函数极限多元函数连续设函数在点的某去心邻域内有定义如果存在设函数在点的某邻域内有定义如果fx,y x0,y0fx,y x0,y0常数，使得对于任意给定的正数，总存在正数，当，则称函数Aεδlimx,y→x0,y0fx,y=fx0,y0fx,y时，有，则称在点处连续0√x-x0^2+y-y0^2δ|fx,y-A|εx0,y0函数当趋于时极限为，记作fx,y x,y x0,y0Alimx,y→x0,y0fx,y=A偏导数与全微分偏导数全微分设函数在点的某邻域内有定义如果极限设函数在点的某邻域内有定义如果fx,y x0,y0fx,y x0,y0Δz=存在，则称该极限可以表示为limΔx→0[fx0+Δx,y0-fx0,y0]/Δxfx0+Δx,y0+Δy-fx0,y0Δz=AΔx+BΔy+为在点处对的偏导数，记作类，其中和与和无关，则称在fx,y x0,y0x∂f/∂xx0,y0o√Δx^2+Δy^2A BΔxΔy fx,y似地，可以定义在点处对的偏导数，记作点处可微，为在点处的全微fx,y x0,y0y x0,y0AΔx+BΔy fx,y x0,y0分，记作∂f/∂yx0,y0dz=AΔx+BΔy=∂f/∂xx0,y0dx+∂f/∂yx0,y0dy多元复合函数求导法则求导法则如果，，，则z=fu,v u=gx,y v=hx,y∂z/∂x=∂z/∂u*，1∂u/∂x+∂z/∂v*∂v/∂x∂z/∂y=∂z/∂u*∂u/∂y+∂z/∂v*∂v/∂y隐函数求导法则隐函数求导法则如果方程确定了是的函数，则称是的隐函数如果方程确定了是的隐函数，且，则Fx,y=0y xy xFx,y=0y x∂F/∂y≠0dy/dx=-∂F/∂x/∂F/∂y多元函数极值必要条件充分条件如果是的极值点，则，设，，x0,y0fx,y∂f/∂xx0,y0=0∂f/∂xx0,y0=0∂f/∂yx0,y0=0A=∂^2，，∂f/∂yx0,y0=0f/∂x^2x0,y0B=∂^2f/∂x∂yx0,y0C=∂^2，则如果，且，则f/∂y^2x0,y01AC-B^20A0是的极小值点；如果，且x0,y0fx,y2AC-B^20A，则是的极大值点；如果0x0,y0fx,y3AC-B^2，则不是的极值点；如果0x0,y0fx,y4AC-B^2=0，则需要进一步判断条件极值与拉格朗日乘数法条件极值拉格朗日乘数法求函数在满足条件下的极值构造拉格朗日函数，解方程组fx,yφx,y=0Lx,y,λ=fx,y+λφx,y∂L/∂x，，，求出可能的极值点=0∂L/∂y=0∂L/∂λ=0数学分析的应用实例物理学工程学经济学微分方程用于描述物理现象，如牛顿运优化理论用于设计最优方案，如电路设微积分用于分析市场行为，如供需关系动定律、电磁场方程等计、控制系统设计等、利润最大化等总结与回顾本次课程系统回顾了数学分析的核心概念、定理和方法，并通过精选例题加深了理解和应用能力希望大家能够更加自信地应对数学分析相关的学习和工作挑战数学分析是现代数学的基础，掌握好数学分析对于后续学习和应用至关重要感谢大家的参与！。