[妙用运算律,巧解对数题]猪油的妙用巧用

妙用运算律巧解对数题猪油的妙用巧用下面先给出换底公式及其证明，然后再推导出四条特殊运算律换底公式[,]证明设＝，则＝log bn=log anlog ab log bn两边均取以为底的对数，得x bx n，a，log abx=log an，即∴x log ab=log an∴x=log anlog ab运算律外移律log bn=log anlog ab本推论可称为外移公式，即底数与真数的幂分别外移成一个分数的分子与分母1——log a n b m=mn log ab特例当＝时，有“”，m n，log an bn=log ab－log1a1b=log ab证明由换底公式，得log1a b=loga1b=log abloganbm=log abm logaa n=mn l例计算ogab分析本题可用外移公式解决1log89log2732解原式＝（）（）log2332log3325=23log2353log32运算律连锁律=23×53=1092——log ab log bc本推论可称连锁律log cd=log ad特例，“”log ablog ba=1证明由换底公式，得log ab=1log ba log ablog bclogcd=log mblog malog mc logmb例已知log mdlogmc=log ad，求的值2log34log48分析根据本题的特征，可利用连锁律解决log8m=log416m解由已知，得，“”即，得＝＝log3m=log416运算律真数互换律log3m=2m393——log xa log yb=log xb推广log yalog xalog yblog zc=log xblog yc log za=log xclog ya本推论特点是真数互换律log zb证明由“”，log ab=log xblog xa=log yblog即有ya还可推广为log xalog yb=log xblog yalog xalog yblog zc=log xblogyclogza=log xc例求的值log yalog zb分析对于不同底的对数相乘，可利用真数互换律3log2125log318log519解原式＝“”（－）（－）（－）－log218log319log5125运算律底真互换=3×2×2=12本推论特点是底、真互换4——alog cb=blog ca“”证明由推论知，，3log cblog ca=log calog cb，即∴log calogcb=logcblogca例求的值alogcb=blogca解原式＝－（）（47lg2012lg

0.7－）（－）＝71+lg221lg7=7×27lg2×2例解方程－－＝lg7=142lg7×2lg714解由推论知，，则原方程可化为52x lg33lg x5x lg

330.（）－－＝，43lg x=x lg3即（＋）（－）＝2x lg325x lg330＞，有＋＞2x lg31x lg330从而－＝，解之，得＝，即＝∵x02x lg310例解方程（－）x lg330x lg33x10解由推论，得＝，67log32x29x+14=4log37故原方程可化为（－）44log377log347log32x29x+14（－）=7log34－＋＝，解之，得＝或＝∴log32x29x+14=log34经检验，它们都是原方程的解∴2x29x144x2x52例设＞，且，解关于的方程－（）7a0a≠1x a lg xx lg a2解由推论，可设＝＝，则原方程可化为alg x+x lga+3=0－＋＝，解之，得＝或＝，4t algxx lga t2即＝或＝4t30t1t3故＝或，＝x lga1x lga3经检验，它们都是原方程的解x31lgax1运算律运用乘法公式5——指利用平方差、立方差、完全平方公式等，进行因式分解（或逆用），从而使问题简化例计算以下各式（）－－；8（）＋＋1lg lg25lg22lg25lg4解（）分子利用平方差公式即可分解，得2lg35lg323lg2lg5原式＝（）（－）－1－lg lg5+lg2lg5lg22lg52lg2（）逆用（＋）＝＋＋（＋）即得=lg lg2+lg52=lg12=lg2原式＝＋＋2a b3a3b33ab ab＝＋＋（＋）lg35lg323lg2lg51＝（＋）＝（）＝lg35lg323lg2lg5lg2lg5（作者单位河南省泌阳一高）lg2lg53lg1021。