函数图像的变换 课件

函数图像的变换本演示文稿将深入探讨函数图像变换的奥秘我们将从基本变换类型入手，逐步过渡到复杂变换的应用，并通过丰富的实例和练习，帮助大家掌握函数图像变换的核心思想理解这些变换对于函数性质的分析、方程的求解以及不等式的解决至关重要准备好迎接这场视觉与思维的盛宴了吗？让我们一起开始吧！课程目标理解函数图像变换的类型掌握基本变换类型熟悉变换的具体规则12理解平移变换、伸缩变换和了解每种变换的具体规则，对称变换这三种基本类型是例如平移变换中的“左加右学习的重点我们将详细讲减”，伸缩变换中系数与变解每种变换的规则和特点，化方向的关系，以及对称变确保大家能够准确识别和应换中不同对称轴的选择用能够综合应用各种变换3学习如何将多种变换组合起来，对函数图像进行复杂的操作这需要对每种变换的理解都非常透彻，并能够灵活运用平移变换左右平移变换规则图像特点图像向左平移a个单位，则将x替换为x+a；图像向右图像的形状和大小保持不变，只是在水平方向上移动了位平移a个单位，则将x替换为x-a即“左加右减”置所有点都沿着x轴方向移动了相同的距离平移变换上下平移变换规则图像特点图像向上平移b个单位，则将y替换为y-b，或者直接图像的形状和大小保持不变，只是在垂直方向上移动了位在函数后面加上b；图像向下平移b个单位，则将y替换置所有点都沿着y轴方向移动了相同的距离为y+b，或者直接在函数后面减去b即“上加下减”伸缩变换横向伸缩变换规则图像特点为了得到y=fax的图像，当|a|1时，将y=fx图图像在水平方向上被压缩或拉伸注意系数与变化方向相像上的所有点的横坐标缩短到原来的1/|a|倍；当0|a|反，大于1时缩小，小于1时放大1时，将y=fx图像上的所有点的横坐标伸长到原来的1/|a|倍伸缩变换纵向伸缩变换规则图像特点为了得到y=Afx的图像，当|A|1时，将y=fx图图像在垂直方向上被拉伸或压缩注意系数与变化方向相像上的所有点的纵坐标伸长到原来的|A|倍；当0|A|同，大于1时放大，小于1时缩小1时，将y=fx图像上的所有点的纵坐标缩短到原来的|A|倍对称变换关于轴对称x变换规则图像特点为了得到y=-fx的图像，将y=fx图像上的所有点图像关于x轴翻转原来在x轴上方的部分变换到下方，关于x轴作对称变换，即所有点的纵坐标变为原来的相反原来在x轴下方的部分变换到上方数对称变换关于轴对称y变换规则图像特点为了得到y=f-x的图像，将y=fx图像上的所有点图像关于y轴翻转原来在y轴左侧的部分变换到右侧，关于y轴作对称变换，即所有点的横坐标变为原来的相反原来在y轴右侧的部分变换到左侧数对称变换关于原点对称变换规则图像特点为了得到y=-f-x的图像，将y=fx图像上的所有点图像关于原点翻转如果函数是奇函数，则其图像关于原关于原点作对称变换，即所有点的横坐标和纵坐标都变为点对称原来的相反数这相当于先关于x轴对称，再关于y轴对称，或者反过来图像变换的综合应用在实际问题中，我们经常需要将多种图像变换组合起来应用例如，先平移，再伸缩，最后对称理解每种变换的特点和规则，是进行综合应用的基础灵活运用变换，可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质掌握图像变换的综合应用，可以解决更复杂的问题例如，已知一个函数的图像，求经过一系列变换后得到的新的函数的解析式或者，根据函数的解析式，画出其图像，并分析其性质平移变换的具体规则（左加右减）向左平移向右平移12将函数fx中的x替换为将函数fx中的x替换为x+a，其中a0，图x-a，其中a0，图像向左平移a个单位像向右平移a个单位理解记忆3“左加右减”是平移变换的精髓记住这个口诀，可以避免在变换时出错上下平移的具体规则（上加下减）向上平移向下平移12将函数fx变为fx+b将函数fx变为fx-b，其中b0，图像向上，其中b0，图像向下平移b个单位平移b个单位理解记忆3“上加下减”是上下平移变换的精髓记住这个口诀，可以避免在变换时出错横向伸缩的具体规则（系数大于，缩小；系数小于，放大11）系数大于1系数小于1当|a|1时，函数fx变为当0|a|1时，函数fx变fax，图像在x轴方向上缩小为fax，图像在x轴方向上放为原来的1/|a|倍大为原来的1/|a|倍注意点横向伸缩与系数大小变化趋势相反系数越大，图像越“窄”；系数越小，图像越“宽”纵向伸缩的具体规则（系数大于，放大；系数小于，缩小11）系数大于1系数小于1当|A|1时，函数fx变为当0|A|1时，函数fx变Afx，图像在y轴方向上放大为Afx，图像在y轴方向上缩为原来的|A|倍小为原来的|A|倍注意点纵向伸缩与系数大小变化趋势相同系数越大，图像越“高”；系数越小，图像越“矮”关于轴对称的变换规则x变换规则函数fx变为-fx，图像关于x轴对称操作方法将原函数图像在x轴上方的部分翻转到下方，将原函数图像在x轴下方的部分翻转到上方对称轴x轴是图像对称的对称轴关于轴对称的变换规则y变换规则函数fx变为f-x，图像关于y轴对称操作方法将原函数图像在y轴左侧的部分翻转到右侧，将原函数图像在y轴右侧的部分翻转到左侧对称轴y轴是图像对称的对称轴关于原点对称的变换规则变换规则函数fx变为-f-x，图像关于原点对称操作方法可以将原函数图像先关于x轴对称，再关于y轴对称，或者反过来奇函数如果函数是奇函数，则其图像关于原点对称例1y=fx-y=fx+2变换类型变换规则图像变化平移变换（左加右减）将x替换为x+2，图像向左平移原函数图像整体向左移动2个单位，2个单位形状大小不变例2y=fx-y=fx-3变换类型变换规则图像变化平移变换（左加右减）将x替换为x-3，图像向右平移原函数图像整体向右移动3个单位，3个单位形状大小不变例3y=fx-y=fx+1变换类型变换规则图像变化平移变换（上加下减）将函数整体加上1，图像向上平移1原函数图像整体向上移动1个单位，个单位形状大小不变例4y=fx-y=fx-2变换类型变换规则图像变化平移变换（上加下减）将函数整体减去2，图像向下平移2原函数图像整体向下移动2个单位，个单位形状大小不变例5y=fx-y=2fx变换类型变换规则图像变化伸缩变换（纵向伸缩）将函数整体乘以2，图像在y轴方向原函数图像在y轴方向上被拉伸，变上放大为原来的2倍得更“高”例6y=fx-y=1/2fx变换类型变换规则图像变化伸缩变换（纵向伸缩）将函数整体乘以1/2，图像在y轴方原函数图像在y轴方向上被压缩，变向上缩小为原来的1/2倍得更“矮”例7y=fx-y=f2x变换类型变换规则图像变化伸缩变换（横向伸缩）将x替换为2x，图像在x轴方向上原函数图像在x轴方向上被压缩，变缩小为原来的1/2倍得更“窄”例8y=fx-y=f1/2x变换类型变换规则图像变化伸缩变换（横向伸缩）将x替换为1/2x，图像在x轴方向原函数图像在x轴方向上被拉伸，变上放大为原来的2倍得更“宽”例9y=fx-y=-fx变换类型变换规则图像变化对称变换（关于x轴）将函数整体乘以-1，图像关于x轴原函数图像关于x轴翻转对称例10y=fx-y=f-x变换类型变换规则图像变化对称变换（关于y轴）将x替换为-x，图像关于y轴对称原函数图像关于y轴翻转例11y=fx-y=-f-x变换类型变换规则图像变化对称变换（关于原点）将函数整体乘以-1，并将x替换为原函数图像关于原点翻转-x，图像关于原点对称练习已知，求的图像1y=x^2y=x+1^2原函数变换类型y=x^2的图像是开口向上的抛物线，顶点在原点平移变换（左加右减）变换规则最终图像将x替换为x+1，图像向左平移1个单位y=x+1^2的图像是开口向上的抛物线，顶点在-1,0练习已知，求2y=x^2y=的图像x^2-3原函数y=x^2的图像是开口向上的抛物线，顶点在原点变换类型平移变换（上加下减）变换规则将函数整体减去3，图像向下平移3个单位最终图像y=x^2-3的图像是开口向上的抛物线，顶点在0,-3练习已知，求3y=sinx y=的图像2sinx原函数y=sinx的图像是正弦曲线，值域为[-1,1]变换类型伸缩变换（纵向伸缩）变换规则将函数整体乘以2，图像在y轴方向上放大为原来的2倍最终图像y=2sinx的图像是正弦曲线，值域为[-2,2]练习已知，求的图像4y=cosx y=cosx/2原函数变换类型y=cosx的图像是余弦曲线，周期为2π伸缩变换（横向伸缩）变换规则最终图像将x替换为x/2，图像在x轴方向上放大为原来的2倍y=cosx/2的图像是余弦曲线，周期为4π练习已知，求5y=e^x y=的图像e^-x原函数y=e^x的图像是指数函数图像，单调递增变换类型对称变换（关于y轴）变换规则将x替换为-x，图像关于y轴对称最终图像y=e^-x的图像是指数函数图像，单调递减复杂变换1y=fx-y=2fx+1步骤平移11y=fx-y=fx+1，图像向左平移1个单位步骤伸缩22y=fx+1-y=2fx+1，图像在y轴方向上放大为原来的2倍复杂变换2y=fx-y=-fx-2+3步骤1平移1y=fx-y=fx-2，图像向右平移2个单位步骤2对称2y=fx-2-y=-fx-2，图像关于x轴对称步骤3平移3y=-fx-2-y=-fx-2+3，图像向上平移3个单位复杂变换3y=fx-y=f2x-1步骤伸缩11y=fx-y=f2x，图像在x轴方向上缩小为原来的1/2倍步骤平移22y=f2x-y=f2x-1，图像向下平移1个单位复杂变换4y=fx-y=-1/2f-x步骤1对称1y=fx-y=f-x，图像关于y轴对称步骤2伸缩2y=f-x-y=1/2f-x，图像在y轴方向上缩小为原来的1/2倍步骤3对称3y=1/2f-x-y=-1/2f-x，图像关于x轴对称复杂变换的步骤分解（先平移，再伸缩）平移优先注意点在进行复杂变换时，如果既先平移，后伸缩，每一步都有平移变换，又有伸缩变换要仔细，确保变换的正确性，可以先进行平移变换，再进行伸缩变换适用情况这种方法适用于大多数复杂变换，但并非所有情况都是最优解复杂变换的步骤分解（先伸缩，再平移）伸缩优先注意点在进行复杂变换时，如果既先伸缩，后平移，需要特别有平移变换，又有伸缩变换注意平移单位的变化，防止，也可以先进行伸缩变换，出现错误再进行平移变换适用情况这种方法在某些情况下可以简化计算，但需要更高的熟练度图像变换的应用函数单调性的判断递增递减不变通过图像变换，可以通过图像变换，可以平移和对称变换不改直观地判断函数在某直观地判断函数在某变函数的单调性，伸个区间内是否单调递个区间内是否单调递缩变换可能会改变单增减调区间图像变换的应用函数奇偶性的判断奇函数偶函数非奇非偶奇函数的图像关于原点对称，即f-x偶函数的图像关于y轴对称，即f-x如果函数既不满足奇函数的条件，也=-fx=fx不满足偶函数的条件，则该函数为非奇非偶函数图像变换的应用函数周期的判断周期性平移变换伸缩变换周期函数是指在定义域内，存在平移变换不改变函数的周期横向伸缩变换会改变函数的周期一个常数T，使得fx+T=fx，纵向伸缩变换不改变函数的周对于任意x都成立期图像变换的应用解方程思路示例将方程转化为两个函数图像的交点问题，通过图像变换，例如，求解方程fx=gx，可以转化为求函数y=fx可以更方便地找到交点，从而求解方程和y=gx的图像的交点图像变换的应用不等式思路示例将不等式转化为两个函数图像的大小关系问题，通过图像例如，求解不等式fxgx，可以转化为求函数y=变换，可以更直观地判断函数的大小关系，从而求解不等fx的图像在y=gx的图像上方时，x的取值范围式总结平移变换口诀左加右减，上加下减这是平移变换的精髓，记住这个口诀，可以避免在变换时出错无论是左右平移还是上下平移，都遵循这个规律理解口诀的含义，可以更好地掌握平移变换总结伸缩变换口诀横向相反，纵向相同横向伸缩变换与系数大小变化趋势相反，系数越大，图像越“窄”；系数越小，图像越“宽”纵向伸缩变换与系数大小变化趋势相同，系数越大，图像越“高”；系数越小，图像越“矮”总结对称变换口诀关于x轴，纵标反；关于y轴，横标反；关于原点，都相反记住这个口诀，可以快速判断对称变换的规则关于x轴对称，纵坐标变为原来的相反数；关于y轴对称，横坐标变为原来的相反数；关于原点对称，横坐标和纵坐标都变为原来的相反数注意事项变换顺序的重要性在进行复杂变换时，变换的顺序非常重要不同的变换顺序可能会得到不同的结果因此，在进行复杂变换时，一定要仔细分析，选择合适的变换顺序通常情况下，先平移，再伸缩，最后对称，是一个比较稳妥的选择但是，在某些情况下，先伸缩，再平移，可能会更方便因此，需要灵活运用，根据具体情况选择合适的变换顺序注意事项系数的正负号在进行图像变换时，系数的正负号非常重要正负号决定了变换的方向和性质例如，平移变换中，x替换为x+a，表示向左平移；x替换为x-a，表示向右平移对称变换中，函数整体乘以-1，表示关于x轴对称；x替换为-x，表示关于y轴对称因此，在进行图像变换时，一定要仔细分析系数的正负号，确保变换的正确性常见错误平移方向的判断错误理解正确理解12错误地认为x替换为x+x替换为x+a表示向左a表示向右平移，x替换平移，x替换为x-a表为x-a表示向左平移示向右平移记住“左加右减”的口诀，可以避免这种错误解决方法3可以代入特殊值进行验证，例如，x替换为x+1后，原点0,0变为-1,0，因此是向左平移常见错误伸缩倍数的理解错误理解正确理解12错误地认为x替换为2x x替换为2x表示缩小为原表示放大为原来的2倍，来的1/2倍，x替换为1/2x替换为1/2x表示缩小x表示放大为原来的2倍为原来的1/2倍记住“横向相反，纵向相同”的口诀，可以避免这种错误解决方法3可以代入特殊值进行验证，例如，x替换为2x后，1,0变为1/2,0，因此是缩小为原来的1/2倍常见错误对称轴的选择错误理解正确理解12混淆关于x轴对称和关于关于x轴对称，是将函数y轴对称的规则，错误地整体乘以-1；关于y轴对选择对称轴称，是将x替换为-x记住“关于x轴，纵标反；关于y轴，横标反；关于原点，都相反”的口诀，可以避免这种错误解决方法3可以画出简单的函数图像，例如y=x，然后进行对称变换，观察图像的变化，从而确定对称轴提高练习已知，求的图像1y=|x|y=|x-1|原函数1变换类型24最终图像变换规则3原函数y=|x|的图像是V字形，顶点在原点将x替换为x-1，图像向右平移1个单位最终图像y=|x-1|的图像是V字形，顶点在1,0提高练习已知，求的图像2y=|x|y=|x|+2原函数1变换类型24最终图像变换规则3原函数y=|x|的图像是V字形，顶点在原点将函数整体加上2，图像向上平移2个单位最终图像y=|x|+2的图像是V字形，顶点在0,2提高练习已知的图像3y=|sinx|操作方法1将y=sinx图像在x轴下方的部分翻转到上方，x轴上方的部分保持不变特点2性质3将正弦曲线y=sinx在x轴下方的部分翻转到上方，x轴上方的部分保持不变最终得到的图像是所有纵坐标都大于等于0的正弦曲线提高练习已知的图像4y=sin|x|操作方法将y=sinx图像在y轴右侧的部分保持不变，然后将该部分关于y轴对称，得到左侧1的图像特点2性质3由于sin|x|是偶函数，因此它的图像关于y轴对称可以将y=sinx图像在y轴右侧的部分保持不变，然后将该部分关于y轴对称，得到左侧的图像实际应用案例信号处理中的图像变换信号分析图像处理在信号处理中，经常需要对信号进行各种变换，例如傅里图像也可以看作是一种信号，图像处理中的各种滤波、增叶变换、拉普拉斯变换等这些变换可以将信号从时域转强、压缩等操作，都可以看作是对图像进行各种变换这换到频域，从而更方便地分析信号的频率成分些变换可以改善图像的质量，提取图像的特征，从而实现各种应用，例如人脸识别、图像识别等实际应用案例图像识别中的图像变换特征提取数据增强在图像识别中，经常需要对图像进行各种预处理，例如缩通过对图像进行各种变换，可以增加训练数据的数量，从放、旋转、平移等这些变换可以使图像的特征更加明显而提高模型的泛化能力例如，可以将图像进行旋转、翻，从而提高识别的准确率转、缩放等操作，生成新的训练数据实际应用案例计算机图形学中的图像变换三维建模渲染在计算机图形学中，经常需要对三维模型进行各种变换，在渲染过程中，需要将三维模型投影到二维屏幕上这个例如旋转、平移、缩放等这些变换可以改变模型的位置过程也涉及到各种变换，例如透视投影、正交投影等这、大小、方向，从而实现各种动画效果些变换可以使三维模型在二维屏幕上呈现出逼真的效果总结函数图像变换的核心思想•理解基本变换类型平移变换、伸缩变换、对称变换•掌握变换的具体规则左加右减、上加下减、横向相反、纵向相同•灵活运用变换的顺序先平移，后伸缩，或者先伸缩，再平移•注意系数的正负号正负号决定了变换的方向和性质•将图像变换应用于实际问题解方程、不等式、判断函数性质等通过掌握函数图像变换的核心思想，可以更好地理解和分析函数的性质，解决各种数学问题希望本演示文稿能够帮助大家掌握函数图像变换的奥秘！。